2025-2026学年上海市杨浦区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市杨浦区高二（下）期末数学试卷一、填空题（满分54分）.1．2和4的等差中项为．2．抛物线的焦点坐标为．3．抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为．4．半径为1的球的表面积是．5．等比数列的首项为1、公比为2，其前6项的和的值为．6．圆的圆心坐标是．7．某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧：该组学生单日志愿者服务时长的中位数为分钟．8．已知，1，，，0，，且与垂直，则的值为．9．某社区开展青少年实践活动，现有15人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这15人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下：甲组：12、10、17、16、16、13、15、11；乙组：13、15、11、10、11、16、14．社区计划将甲组的1人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为岁的成员换到乙组．10．正方体中，为正方形的中心，若，则的值为．11．如图，在空间中，由点引出三条射线、、，从中任取两条射线与点构成的角均为．在上取点，使得线段的长度为1．过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；，以此类推，得到一系列点为正整数），连接点和，则直线与直线所成角的余弦值为．12．已知双曲线的左右焦点分别是、，在双曲线的右支上取2026个不同的点、、、，要求同时满足下列两个条件：①△且是锐角三角形；②令，数列是共有2026项的等差数列，则数列的公差的一个可能的值为（答案不唯一）．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑。13．下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（）A． B． C． D．14．已知事件A和B互斥，下列等式一定成立的为（）A．P（A∪B）＝1 B．P（A∩B）＝P（A）P（B） C．P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．P（A）+P（B）＝115．若数列满足，则称是差增数列．对于以下两个命题：①若是差增数列，则是严格增数列；②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列，下列判断正确的为（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题16．甲同学要计算图中伞面布料的面积．他观察发现伞面有8根伞骨支撑，测量得到伞口处长为90厘米，伞拱高为28厘米．甲作假设：①忽略伞面布料重叠和接缝的面积；②_____．甲根据假设和已知条件建立数学模型，计算得到伞面布料的面积约为6905平方厘米，则假设②为（）A．将伞面视作圆锥的侧面 B．将伞面视作正八棱锥的侧面 C．将伞面视作圆台的侧面和上底面之和，其上底面的半径视作下底面半径的三分之二 D．将伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤。17．如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求证：平面．18．已知三条直线，，，．（1）若，求的值；（2）若、、不能围成三角形，求的值．19．（16分）为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表、、、、均为自然数）使用时间，，，，，高一51232高二616534高三4（1）已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值；（2）用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间；（3）现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在，”，判断事件和事件是否独立，并说明理由．20．（18分）如图，“斗”是中国古代标准容积量器，其形状可视作一个正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1．已知该正四棱台的高为15.8厘米，AB＝30厘米，A1B1＝20厘米．（1）求证：B1D1∥BD；（2）求AA1与平面ABCD所成角的大小；（3）古代的米店里用“斗”给顾客量米时，为了显示诚信，用斗量米并用木尺刮平斗口后，会特意再抓一把米小心翼翼地添在斗口中央，让米堆起来形成一个“尖”的形状．假设将这个“尖”视作以A1B1C1D1为底面的正四棱锥，记作P﹣A1B1C1D1．根据物理学中“休止角”的理论，大米的休止角约为30°，即可视作二面角P﹣A1B1﹣C1的最大值为30°．若忽略“斗”壁的厚度，求这个“斗”加上“尖”最多可以装大米多少立方厘米．（保留到整数位）21．（18分）已知椭圆，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点．（1）求椭圆的离心率；（2）设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值；（3）点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点作垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点．

参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果。1．2和4的等差中项为3．解：根据题意，设2和4的等差中项为，则有，解可得．故答案为：3．2．抛物线的焦点坐标为．解：抛物线是焦点在轴正半轴的标准方程，焦点坐标为：故答案为：3．抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为．解：抛掷1枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为1，2，3，4，5，6，共6种，每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为2，4，6，共3种，抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为．故答案为：．4．半径为1的球的表面积是．解：由题意，半径为1的球的表面积是．故答案为．5．等比数列的首项为1、公比为2，其前6项的和的值为63．解：首项为1，公比为2的等比数列的前6项和．故答案为：63．6．圆的圆心坐标是．解：由方程可得，圆心坐标为．故答案为：．7．某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧：该组学生单日志愿者服务时长的中位数为75分钟．解：共16个数据，第8和第9个数分别为72和78，故该组学生单日志愿者服务时长的中位数为：分钟．故答案为：75．8．已知，1，，，0，，且与垂直，则的值为．解：，1，，，0，，，1，，0，，，，1，，0，，2，，与垂直，，，故答案为：9．某社区开展青少年实践活动，现有15人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这15人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下：甲组：12、10、17、16、16、13、15、11；乙组：13、15、11、10、11、16、14．社区计划将甲组的1人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为13岁的成员换到乙组．解：根据题意，设将甲组年龄为的人调到乙组，调整之前，甲组的平均数为，乙组的平均数，若调整之后，甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则有，又由，10，17，16，16，13，15，，则．故答案为：13．10．正方体中，为正方形的中心，若，则的值为1．解：因为点是底面的中心，所以．因为，所以，由，则，，，所以．故答案为：1．11．如图，在空间中，由点引出三条射线、、，从中任取两条射线与点构成的角均为．在上取点，使得线段的长度为1．过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；，以此类推，得到一系列点为正整数），连接点和，则直线与直线所成角的余弦值为．解：在△中，，，所以，由题意可得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，点所在的射线规律为，，，，，，，，，，，，向量，，，直线与直线所成角为，．故答案为：．12．已知双曲线的左右焦点分别是、，在双曲线的右支上取2026个不同的点、、、，要求同时满足下列两个条件：①△且是锐角三角形；②令，数列是共有2026项的等差数列，则数列的公差的一个可能的值为0.001（答案不唯一）．解：由题可得，故，因此焦点，离心率．设，，则，因为，所以．根据焦半径公式得，故的最小值为．因为△为锐角三角形，故，，，又，综上，得，因此，因此区间长度，所以，解得．故答案为：0.001（答案不唯一）．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑。13．下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（）A． B． C． D．解：因为几何体为圆锥与圆柱的组合体，所以选项的平面图形旋转后能得到的只有选项．故选：．14．已知事件A和B互斥，下列等式一定成立的为（）A．P（A∪B）＝1 B．P（A∩B）＝P（A）P（B） C．P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．P（A）+P（B）＝1解：对于A，若事件A和B互斥，且不妨设，，此时，所以A不一定正确；对于B，由事件A和B互斥，可得A∩B＝∅，所以P（A∩B）＝0，因为P（A）P（B）不一定为0，所以P（A∩B）与P（A）P（B）不一定相等，所以B不正确；对于C，由互斥事件的概率加法公式，若事件A和B互斥，可得P（A∪B）＝P（A）+P（B），所以C正确；对于D，若事件A和B互斥，且不妨设，，则，所以D不一定正确．故选：C．15．若数列满足，则称是差增数列．对于以下两个命题：①若是差增数列，则是严格增数列；②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列，下列判断正确的为（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题解：对于命题①，设数列为0，，，0，6，，则，，，，这几项满足差增数列条件，但数列不是严格增数列．故命题①为假命题．对于命题②，设奇数项，偶数项，奇数项差为，偶数项差为：当时，，当时，，显然奇数项与偶数项组成的子数列满足差增数列，但，，，不满足差增数列，因此数列不是差增数列，故命题②为假命题．故选：．16．甲同学要计算图中伞面布料的面积．他观察发现伞面有8根伞骨支撑，测量得到伞口处长为90厘米，伞拱高为28厘米．甲作假设：①忽略伞面布料重叠和接缝的面积；②_____．甲根据假设和已知条件建立数学模型，计算得到伞面布料的面积约为6905平方厘米，则假设②为（）A．将伞面视作圆锥的侧面 B．将伞面视作正八棱锥的侧面 C．将伞面视作圆台的侧面和上底面之和，其上底面的半径视作下底面半径的三分之二 D．将伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二解：由题意可知，伞口处长为90厘米，即底面外接圆直径，解得厘米，伞拱高厘米．对于选项，若将伞面视作圆锥的侧面，则母线长厘米，则面积平方厘米，与6905不符，故错误；对于选项，若将伞面视作正八棱锥的侧面，底面为正八边形，其外接圆半径厘米．如图，取边中点，连接，则，，，，所以底面边厘米，底面边心距米，侧面等腰三角形底边上的高（斜高）厘米，侧面积平方厘米，与题意相符，故正确；对于选项，若视作圆台，下底半径，上底半径，高，母线，侧面积，加上上底面积，总面积远大于6905，故错误；对于选项，伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二，如图，取边中点，取边中点，连接，，则，，，，下底面边长厘米，下底面边心距厘米，上底面边长厘米，上底面边心距厘米，侧面等腰梯形的高（斜高）厘米，所以正八棱台侧面积平方厘米，上底面面积为平方厘米，所以正八棱台的侧面积与上底面面积和为平方厘米，算也远大于6905平方厘米，故错误．综上所述，假设②为将伞面视作正八棱锥的侧面．故选：．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤。17．如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求证：平面．解：（1）已知四棱锥的底面是正方形，平面，，则，，，又，则为异面直线与所成角的平面角，即，即异面直线与所成角的大小为；（2）证明：因为，又平面，则，又，即平面．18．已知三条直线，，，．（1）若，求的值；（2）若、、不能围成三角形，求的值．解：（1）因为，所以，所以；（2）若，，三条直线不能围成三角形，有以下情况：①三条直直线交于一点，则，由得，的交点坐标为，代入的方程，得，解得或，当或时，，，交于一点；②若则，若，则；若则；（3）若，则，故当或或或时，三条直线不能构成三角形．19．（16分）为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表、、、、均为自然数）使用时间，，，，，高一51232高二616534高三4（1）已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值；（2）用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间；（3）现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在，”，判断事件和事件是否独立，并说明理由．解：（1）由题意，所抽取的100名学生中高一学生人数为人，，解得．（2）由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为：．（3）事件与事件不是相互独立事件．理由如下：由题意（A），（B），，（A）（B），（A）（B），事件与事件不是相互独立事件．20．（18分）如图，“斗”是中国古代标准容积量器，其形状可视作一个正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1．已知该正四棱台的高为15.8厘米，AB＝30厘米，A1B1＝20厘米．（1）求证：B1D1∥BD；（2）求AA1与平面ABCD所成角的大小；（3）古代的米店里用“斗”给顾客量米时，为了显示诚信，用斗量米并用木尺刮平斗口后，会特意再抓一把米小心翼翼地添在斗口中央，让米堆起来形成一个“尖”的形状．假设将这个“尖”视作以A1B1C1D1为底面的正四棱锥，记作P﹣A1B1C1D1．根据物理学中“休止角”的理论，大米的休止角约为30°，即可视作二面角P﹣A1B1﹣C1的最大值为30°．若忽略“斗”壁的厚度，求这个“斗”加上“尖”最多可以装大米多少立方厘米．（保留到整数位）【解答】（1）证明：证明：由正四棱台的性质，BB1与DD1相交于一点，所以B，B1，D，D1四点共面