2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版1.1.1　第2课时　空间向量的数量积

第一章

空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算第2课时空间向量的数量积课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影的意义．教学重点：1.空间向量夹角的概念.2.空间向量数量积的概念、性质及计算方法．教学难点：投影的概念及利用向量的数量积解决立体几何问题．核心素养：1.通过对空间向量数量积的概念、性质的学习提升数学抽象素养.2.通过运用空间向量的数量积求空间向量的夹角、证明垂直提升数学运算素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握[0，π]〈a，b〉a⊥b零|a||b|cos〈a，b〉0ba在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积a在e上的投影a′的数量a·b＝0|a|2a2≤λ(a·b)b·aa·c＋b·c2核心素养形成题型一空间向量的夹角90°120°【感悟提升】找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．题型二空间向量数量积的计算

例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算：【感悟提升】空间向量数量积的运算方法(1)直接利用空间向量数量积的定义并结合运算律进行计算．(2)在几何体中求空间向量的数量积的步骤题型三空间向量数量积的应用(2)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________．解析∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，则a2＋2a·b＋b2＝576，∴2a·b＝576－132－192＝46.又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22.22【感悟提升】利用空间向量的数量积可以求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题等．(3)(多选)设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，则下列结论正确的是(

)A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|－|b|<|a－b|C．(c·b)a－(c·a)b与c垂直 D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2解析：对于A，由空间向量数量积的定义可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故A错误；对于B，由于空间向量a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，故|a|－|b|<|a－b|，故B正确；对于C，因为[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(c·b)a－(c·a)b与c垂直，故C正确；由空间向量数量积的运算律可知D正确．故选BCD.随堂水平达标1．对于空间向量a，b，c和实数λ，下列命题为真命题的是(

)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，但向量a和b可能均不为零向量，A为假命题；B为真命题；对于C，当a2＝b2时，只能推得|a|＝|b|，而不能得到a＝b或a＝－b，C为假命题；对于D，当a·b>0时，〈a，b〉也可能为0，D为假命题．故选B.5．已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝________．课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点空间向量数量积的性质空间向量数量积的计算空间向量的垂直；空间向量的夹角空间向量数量积的计算空间向量的模空间向量的模投影的数量题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点空间向量数量积的计算；空间向量的模空间向量数量积的计算空间向量数量积的计算空间向量数量积的计算；空间向量的夹角空间向量数量积的计算；空间向量的模空间向量的夹角；空间向量数量积的计算空间向量的垂直；空间向量的夹角一、选择题1．下列命题正确的是(

)A．|a|a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2C．a(a·b)＝b·a2 D．|a·b|≤|a||b|解析：根据空间向量数量积的性质可判断出D正确．二、填空题6．已知空间向量a，b，c两两的夹角均为60°，其模均为1，则|a＋2b－3c|＝________．1，2，30三、解答题9．已知a，b是空间向量，且〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4.求：(1)a·b；(2)a2与b2；(3)(3a－2b)·(a＋2b)．解：(1)a·b＝3×4×cos120°＝－6.(2)a2