14.3.2角的平分线的判定（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.

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2026年7月17日

14.3.2角的平分线的判定第十四章

全等三角形14.3.2角的平分线的判定

同步精讲练习题一、核心知识点精讲1.角平分线的判定定理（重点）定理内容：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。简单理解：等距

➜

在平分线上（性质是：在平分线上

➜

等距，二者互为逆定理）。2.标准几何语言（考试必背）已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE∴OP平分∠AOB（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）3.性质与判定完整对比（必考辨析）性质定理：点在角平分线上

→

垂线段距离相等（知线得等距）判定定理：垂线段距离相等

→

点在角平分线上（知等距得线）4.判定成立的三个必备条件①

点在角的内部；②

向角两边作垂直；③

两条垂线段长度相等。缺一不可！没有垂直、点在角外，都不能判定角平分线。5.重要拓展结论三角形内部，到三边距离相等的点，是三角形三条角平分线的交点（内心）。6.解题作用无需证明三角形全等，直接通过垂线段相等，证明射线是角平分线，简化证明过程。二、基础练习题（一）选择题1.能判定一条射线是角平分线的条件是（）A.点在角内部B.点到角两边线段相等C.点在角内部，且到两边垂直距离相等D.以上都不对2.已知点P在∠AOB内，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则（）A.OP平分∠AOBB.OP=OAC.∠AOB=90°D.PM∥PN3.三角形内心是三角形（）的交点A.高线B.中线C.角平分线D.垂直平分线（二）填空题4.在角的内部，到角两边________的点，在这个角的平分线上。5.若点P在∠BAC内部，PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，则AP________∠BAC。6.判定角平分线，必须满足点在角内部、________、距离相等三个条件。（三）基础证明题7.已知：点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD。求证：OP平分∠AOB。8.已知：在△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF。求证：AD平分∠BAC。三、能力提升题9.如图，△ABC的∠B、∠C的平分线交于点P，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC。求证：点P在∠A的平分线上。10.已知：CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BD=CE，BE、CD交于点O。求证：AO平分∠BAC。四、参考答案与详细解析（一）选择题1.C解析：角平分线判定核心：角内+双垂直+距离相等。2.A解析：满足判定定理条件，可直接得出OP平分∠AOB。3.C解析：三角形内心为三条角平分线交点，到三边距离相等。（二）填空题4.距离相等5.平分6.两边垂直（三）基础证明题7.证明：∵点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD∴OP平分∠AOB（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，点D在∠BAC内部∴AD平分∠BAC（角平分线判定定理）（四）能力提升题解析9.证明：∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PD⊥BC∴PE=PD（角平分线性质）∵CP平分∠ACB，PF⊥AC，PD⊥BC∴PF=PD（角平分线性质）∴PE=PF又∵PE⊥AB，PF⊥AC，点P在∠BAC内部∴点P在∠A的平分线上（角平分线判定定理）10.证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中，∠BDO=∠CEO，∠BOD=∠COE，BD=CE∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OD=OE∵OD⊥AB，OE⊥AC，点O在∠BAC内部∴AO平分∠BAC（角平分线判定定理）五、本节易错总结1.判定定理必须要有垂直，普通线段相等不能判定角平分线；2.区分性质与判定：知平分线证线段相等用性质，知线段相等证平分线用判定；3.必须强调点在角的内部，否则结论不成立。通过探究角的平分线的判定定理，使学生能够利用角的平分线的判定进行证明，培养学生的推理能力.在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识，增强学生解决问题的信心.能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题.ODPP到OA的距离PDP到OB的距离PE.P是角平分线上的点几何语言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB.∴PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

叙述角平分线的性质定理.不必再证全等E复习引入知识点角平分线的判定我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？已知：角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.求证：这个点在这个角的平分线上.自己证明看看？知识点角平分线的判定已知：如图，P

为∠AOB

内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE.求证：点P

在∠AOB

的平分线上.证明：如图，过点P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在

Rt△OPD和Rt△OPE中，

COP=OP，PD=PE，知识点角平分线的判定已知：如图，P

为∠AOB

内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE.求证：点P

在∠AOB

的平分线上.证明：∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）.∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线上.C知识点角平分线的判定角平分线的判定定理：

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.符号语言：如图，∵P

为∠AOB

内部一点，PD⊥OA

于点D，PE⊥OB

于点E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上，即OP

平分∠AOB.知识点角平分线的判定角的平分线上的点到角两边的距离相等；从上面两个结论可以看出：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.所以在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.证明：(1)如图，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

例1如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等.A

B

C

P

N

M

EDF知识点角平分线的判定

(2)由(1)得，点P

到边AB，CA

的距离相等，∴点P

在∠A

的平分线上.∴△ABC

的三条角平分线交于一点.

例1如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：

(2)△ABC的三条角平分线交于一点.A

B

C

P

N

M

EDF知识点角平分线的判定证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD,又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，跟踪训练

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.求证：AD平分∠BAC.BD=CD，BE=CF，知识点角平分线的判定证明：∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF,又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.跟踪训练

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.求证：AD平分∠BAC.知识点角平分线的判定（第1题）

A

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（第2题）A.

平行线之间的距离处处相等B.

角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.

三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.

角的内部到角的两边