九年级数学微专题10：相似三角形核心模型专题复习（广东专版）

九年级数学微专题10：相似三角形核心模型专题复习（广东专版）

一、教学基本信息与核心理念定位

本设计适用于广东省九年级中考数学一轮复习，课题为《微专题10：相似三角形核心模型专题复习》。本课基于“图形与几何”领域的核心素养要求，深度契合《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于“几何直观”、“推理能力”与“模型观念”的培养目标。本设计以“大单元教学”理念为引领，打破传统课时壁垒，将零散的相似三角形判定与性质知识，整合为以“五大模型”为核心的专题复习。通过引导学生经历从复杂图形中“识模”、到不同情境下“建模”、再到综合问题中“用模”的完整思维链条，旨在帮助学生实现知识的结构化、思维的系统化、解题的模型化，最终达成从“解题”到“解决问题”的能力跃升，精准对接广东省中考数学综合题压轴题的命题趋势与能力考查要求。

二、教学内容深度整合与模型架构

本节内容并非简单重复相似三角形的判定定理，而是将重点放在几何基本图形的“模型化”提炼与应用上。我们将系统梳理在广东中考及模拟题中高频出现的五大相似模型，构建起学生的几何解题“思维图谱”。

【基础·核心模型】模型一：A字型及其变式（平行型与斜交型）

【基础·核心模型】模型二：8字型及其变式（平行型与对顶型）

【重要·高频模型】模型三：旋转型（手拉手模型）

【难点·高频模型】模型四：一线三等角型（K型图）

【难点·培优模型】模型五：母子型与射影定理（特殊直角下的双垂直）

三、学情精准分析与教学靶向定位

经过前期的学习，广东九年级学生已掌握相似三角形的基本判定与性质，但对知识的理解多处于“点状”、“孤立”状态。在面对中考几何综合题时，主要存在以下痛点：一是“看不清”，无法从复杂的背景图形（如圆、矩形、函数图像）中剥离出核心的相似模型；二是“联不上”，难以将已知条件与隐含的模型特征建立有效关联，找不到解题突破口；三是“想不到”，对于需要构造辅助线以补全模型的情境缺乏思路。因此，本课教学的核心靶向就是打通从“知识”到“模型”再到“应用”的堵点，通过模型的力量，将学生的思维从“直觉反应”提升至“理性分析”的层面。

四、教学目标分层设定（核心素养导向）

1.知识与技能（模型观念）：学生能准确识别并完整叙述相似三角形的五大核心模型的图形结构、对应关系及结论（比例式）。能根据模型特征，快速解决基础性的求线段长、求角度、证明比例式等问题。

2.过程与方法（几何直观、推理能力）：经历“观察—猜想—验证—归纳”的模型探究过程，掌握从复杂图形中“剥离”或“补全”基本模型的方法。在动态几何问题中，能运用模型思想分析变量关系，体会分类讨论和转化思想。

3.情感态度与价值观（科学精神）：感受几何模型的结构美与简洁美，增强运用模型思想解决综合题的自信心，培养敢于探究、严谨推理的科学态度。

五、教学重难点突破策略

【教学重点】熟练掌握五大相似模型的特征及结论，并能直接在图形中加以应用。

【教学难点】在复杂的几何图形（如存在多条线段、或与其他知识交汇）中，识别、构造或转换出基本的相似模型。

【突破策略】

结构化呈现：将五大模型以图谱形式动态生成，揭示模型间的内在联系与演变过程（如A字型通过旋转可得旋转型，通过特殊化可得母子型）。

变式训练法：每个模型的讲解均遵循“基本图形—变式图形—综合图形”的阶梯，层层递进，强化学生在“变”中发现“不变”的能力。

问题链驱动：设计环环相扣的问题串，引导学生思考“为什么是这个模型？”、“模型中哪些边角对应？”、“缺少条件时如何构造？”，将思维过程外显化。

六、教学实施过程（核心环节，占比超70%）

（一）温故知新，构建模型图谱（约8分钟）

教师活动：呈现一个由平行线截线段得到的开放图形（如△ABC中，DE∥BC），引导学生快速口答出相似三角形及比例式。随后，利用几何画板动态演示，将DE绕点A旋转，衍生出“斜A型”（即△ADE和△ACB，∠A公用，另一组角如∠ADE=∠C）。以此为契机，引出“模型化学习”的主题。

教师提问：“几何学习的精髓在于‘万变不离其宗’。刚才的图形变化中，不变的相似核心是什么？今天，我们就来系统梳理广东中考中最青睐的五个‘宗’——五大相似模型。”随后，板书并利用动态图示展示五大模型的结构图谱，让学生对全课内容形成整体感知。

（二）模型精讲与变式探究（约27分钟）

1.【基础·核心模型】A字型与8字型（约8分钟）

（1）A字型（平行型与斜交型）

模型呈现：出示平行A字型（DE∥BC）和斜交A字型（∠AED=∠B或∠ADE=∠C）。

核心追问：两个模型的公共特点是什么？（有一个公共角或等角）。在斜交型中，如何准确写出比例式？（强调“共边”的特殊性，如斜交型中，常出现AC²=AD·AB的结论，因为AC是共边，是“母子”的雏形）。

【重要·针对训练】：出示一道结合等腰三角形与斜A型的题目。例如：△ABC中，AB=AC，点D在AB上，∠DCB=∠A。求证：△ABC∽△CBD，并写出比例式。引导学生体验从基本图形到结论的推导过程，点明这是斜A型的直接应用【高频考点】。

（2）8字型（平行型与对顶型）

模型呈现：出示平行8字型（AB∥CD）和对顶8字型（∠A=∠C或∠B=∠D）。

核心追问：8字型中最核心的等量关系是什么？（对顶角相等，再结合一组已知等角）。在平行8字型中，比例式有何特征？（常与“X”型辅助线结合，用于求线段比值）。

【基础·针对训练】：出示一个简单的8字型图形，已知两条线段比和一条线段长，求另一条线段长。快速巩固模型应用。

1.【重要·高频模型】旋转型（手拉手模型）（约6分钟）

模型构建：动态演示从“A字型”开始，将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度，得到两个三角形看似“分离”却又相似的状态。

核心结论归纳：旋转型相似有两个核心结论：一是“相似出旋转”，即旋转前后的两个三角形本身相似（△ADE∽△ABC）；二是“旋转出相似”，即由旋转产生的第三对三角形也相似（△ADB∽△AEC）。教师需带领学生严格证明后一个结论（利用旋转角相等和对应边成比例证明SAS相似）。

【难点·突破设计】：出示一个等腰直角三角形旋转的问题。例如：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE。求证：BD=CE且BD⊥CE。此题是旋转型的经典应用，通过此例让学生深刻理解“手拉手”模型中，两条“拉手线”（BD和CE）的数量与位置关系。

1.【难点·高频模型】一线三等角型（K型图）（约8分钟）

模型引入：呈现一个矩形ABCD，点E在BC上运动，且∠AEF=90°，交CD于F。引导学生观察在点E运动过程中，△ABE与△ECF有什么关系？从而引出“一线三垂直”，进而推广到“一线三等角”一般形式。

模型剖析：核心特征是“一条直线上有三个相等的角”。无论这三个角是90°、60°还是任意角，其本质都是利用“等角的余角相等”或“三角形内角和”来证明另外一组角相等，从而得到两个三角形相似【重要】。

【难点·变式探究】：

变式1（数量关系）：若将矩形改为等边三角形，在底边BC上有一动点P，∠APD=60°，交AC于D。探究线段BP、PC、CD之间的数量关系。引导学生建立函数模型或方程模型。

变式2（轨迹与最值）：在正方形ABCD中，E为AB中点，F是射线AD上一动点，将△AEF沿EF翻折得△GEF，连接GC，求GC的最小值。此题为K型图与翻折、最值问题的综合，难度较大，旨在培养学生综合运用知识的能力，是【热点】题型。

1.【难点·培优模型】母子型与射影定理（约5分钟）

模型辨析：强调母子型（尤其是直角三角形斜边上的高）是一种特殊的、也是最重要的相似模型。引导学生归纳出“双垂直”下的三对相似三角形，以及由此产生的射影定理（AC²=AD·AB，BC²=BD·BA，CD²=AD·DB）。

【高频考点·链接中考】：出示一道广东中考或模考真题，题目背景是在圆中，直径所对的圆周角是90°，结合垂径定理或切线，构造出双垂直图形，从而利用射影定理求线段长。让学生体会模型在不同知识板块（圆与相似）中的迁移应用。

（三）综合建模与思维进阶（约10分钟）

【综合挑战】：呈现一道综合性较强的题目。例如：已知抛物线经过点A、B、C，顶点为D。点P是对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标。

师生活动：教师引导学生进行如下思维分析：

第一步（识模）：△BOC是直角三角形。那么△PAD要与之相似，也必须是什么三角形？由此确定分类讨论的起点。

第二步（建模）：根据△PAD中哪个角是直角，分情况讨论（如∠PAD=90°或∠ADP=90°或∠APD=90°）。在每一种情况下，寻找或构造相似模型。例如，若∠PAD=90°，且∠PAD=∠BOC=90°，则只需再有一组角对应相等即可。此时，过点P作坐标轴的垂线，往往能构造出“一线三垂直”模型来列比例式求解。

第三步（用模）：根据模型得出的比例式，建立方程，求解并检验。

设计意图：此环节将五大模型与函数、分类讨论思想深度融合，代表中考压轴题的典型解法。通过教师的引导性提问，帮助学生拆解难题，将复杂的综合题转化为“模型识别+模型应用”的简单组合，有效突破思维障碍，提升解题自信。

七、分层作业与拓展延伸

1.基础巩固（面向全体）：完成学案中针对五大模型的“模型识别”和“基础