小学五年级数学《有序思考 通向成功-练习十七（解决问题的策略拓展课）》教学设计

小学五年级数学《有序思考通向成功——练习十七（解决问题的策略拓展课）》教学设计一、教学内容分析（一）教材地位与作用本节课是苏教版五年级上册第七单元“解决问题的策略”的练习拓展课，对应教材第97页练习十七的综合练习部分【重要】。“解决问题的策略”这一单元在整个小学数学学习中具有承上启下的关键地位。此前，学生已经学习了从条件出发、从问题出发分析数量关系的策略，以及列表、画图等辅助策略。本单元首次系统引入“一一列举”这一基本策略，要求学生通过有条理的思考，将问题的所有可能答案不重复、不遗漏地呈现出来，从而解决问题【基础】。练习十七作为本单元的收尾环节，其功能不仅仅是巩固例1（长方形围栏问题）和例2（足球比赛场次问题）所学的基本列举方法，更重要的是通过变式问题和综合性问题的解决，帮助学生深化对列举策略本质的理解，提升在不同情境中灵活运用策略的能力，并初步体会分类列举、图表辅助等更高层次的思维方法【热点】。本节练习课的质量，直接关系到学生能否将“列举”内化为一种自觉的思维习惯，为后续学习更复杂的组合问题、概率问题以及优化思想奠定坚实的基础。（二）核心知识体系1.策略内涵：所谓“一一列举”，是指把事情发生的各种可能按照一定的顺序，用列表、画图等方式逐个罗列出来，从而找到问题答案的解题策略【基础】。其核心价值在于将模糊的、复杂的问题清晰化、条理化。2.关键要素：【非常重要】实施列举策略必须把握三个关键：一是“有序”，即按照一定的顺序（如数量大小、时间先后、类别划分等）进行思考，这是保证不重复、不遗漏的前提；二是“不重复”，同一个答案只能出现一次；三是“不遗漏”，所有符合条件的情况都必须被考虑到。3.表现形式：列举可以用文字叙述、表格记录、连线画图、树状图等多种形式呈现。其中，表格法因其清晰明了而最为常用；连线法和画图法在解决搭配问题、组合问题时更具直观性【重要】。4.思维进阶：从简单的“所有可能”列举，到需要先“分类”再列举的复杂问题（如练习十七第6题投中与投两次的区别），再到结合图形特征进行枚举（如图形中的正方形个数），体现了思维从单一维度向多维度的跃升【难点】。二、学情诊断分析（一）知识经验基础五年级的学生已经积累了较为丰富的解决问题经验。他们掌握了长方形周长与面积的计算方法，理解了倍数关系的概念，具备了一定的组合意识。在学习了本单元的新授课后，学生对“列举”策略有了初步的认知，能够模仿例题解决结构相似的简单问题【基础】。大多数学生已经意识到“有序”的重要性，但在面对数据较多或条件复杂的问题时，容易发生思维混乱。（二）可能存在的学习困难1.有序思维的自觉性不足：【难点】部分学生在解决问题时，仍然习惯于随意尝试，而非主动地、有意识地运用有序思考。他们可能能找到几个答案，但难以保证找全所有答案。2.分类讨论的意识薄弱：【非常重要】当问题情境发生变化时，例如练习十七第6题“投中两次”与“投了两次”的区别，学生往往难以意识到需要先根据投中的次数进行分类，再对每一类进行列举。缺乏分类思想，是导致列举遗漏或重复的主要原因。3.信息处理能力的局限：面对条件隐含或信息量大的问题（如发车时间问题、网站更新问题），学生提取关键信息、将文字语言转化为数学表征（如表或图）的能力有待加强【重要】。4.规律的发现与运用：在列举出所有可能后，如何对结果进行分析、比较，从而发现隐含的规律（如周长一定时长宽越接近面积越大，面积一定时长宽相差越大周长越长），并运用规律进行解释或预测，这对学生的抽象概括能力提出了挑战【热点】。（三）本课教学的着力点基于以上分析，本节课的教学不能停留在“会做题目”的层面，而应着力于：强化有序思考的自觉性，渗透分类列举的思想方法，提升信息转化与表征的能力，引导学生在列举的基础上观察、发现并运用规律，从而真正实现策略的建构与内化。三、教学目标定位1.知识与技能目标：使学生进一步掌握用一一列举的策略解决实际问题的基本方法，能根据问题的特点，选择合适的列举方式（如列表、画图、连线等），做到有序思考、不重复、不遗漏地找到所有符合要求的答案【基础】。2.过程与方法目标：让学生在解决“练习十七”中一系列由浅入深、由简到繁的实际问题的过程中，经历“理解题意—有序列举—检验调整—发现规律”的完整思维链条，体会分类列举对于解决复杂问题的必要性，提升思维的条理性和逻辑性【重要】。3.情感态度与价值观目标：使学生在不断挑战思维难度的过程中，获得成功的体验，增强运用策略解决问题的信心；感受数学思考的有序之美、严谨之美，逐步养成全面思考问题的良好习惯。四、教学重难点（一）教学重点：能对问题中的信息进行有序梳理，运用列举策略不重复、不遗漏地找出问题的所有答案，并对列举结果进行分析和比较【非常重要】【高频考点】。（二）教学难点：1.在复杂情境中，能根据问题的内在逻辑进行合理分类，再对不同类别进行列举【难点】。2.在列举的基础上，通过观察和比较，发现并概括出蕴含的数学规律。五、教学准备（一）教师准备：多媒体课件（PPT），包含动态演示、表格生成、答案验证等功能；精心设计的课堂练习单（学习单），涵盖基础巩固、综合应用、拓展挑战等不同层次的题目。（二）学生准备：课本、练习本、笔。六、教学过程设计（一）激活经验，引入练习课堂伊始，教师以简洁的语言引导学生回顾：同学们，在刚刚结束的新授课上，我们学习了一种非常有用的解决问题的策略，是什么？（学生回答：一一列举）。谁能用一句话说说，什么样的方法是一一列举？（引导学生说出：把事情发生的所有可能，按照一定的顺序一个个列出来）。运用一一列举策略时，我们最需要提醒自己注意什么？（学生回答：有序、不重复、不遗漏）【基础】。教师小结并板书核心词：有序、不重复、不遗漏。随即揭示课题：今天这节课，我们就继续运用这个本领，去闯过一道又一道的智慧关卡，看看谁能在练习十七的挑战中，把“列举”这个武器用得最熟练、最巧妙！【设计意图：通过回顾核心概念，激活学生的已有认知，明确本课的学习方向和评价标准，为后续的练习活动做好心理和知识上的准备。】（二）基础巩固，强化有序教师出示练习十七第1题：两个自然数相乘，积是36的乘法算式有多少个？【基础】【高频考点】首先引导学生明确题意：什么是“自然数”？“两个自然数相乘，积是36”意味着什么？学生明确，要找的是所有两个自然数相乘得36的算式。教师追问：在列举时，怎样保证既不漏掉，又不重复？学生讨论后得出：可以从一个因数最小的自然数1开始，有序地思考。学生独立在练习本上列举，教师巡视，收集典型资源。展示学生作品，重点对比两类：一类是无序的、可能遗漏的（如只列出1×36、2×18、3×12、4×9、6×6，漏掉了交换位置的算式是否算不同的算式？），另一类是有序且考虑周全的（明确指出：乘法算式中，因数交换位置得到的是不同的算式，因此共有9个算式：1×36，2×18，3×12，4×9，6×6，9×4，12×3，18×2，36×1）。教师组织学生评议：为什么有序列举能保证不遗漏？从1开始，一个因数逐渐增大，直到两个因数相等，再继续就会重复，这种思考方法好在哪？学生深刻体会“有序”的价值。最后小结：当两个因数相同时，要特别注意是否只算一次。【设计意图：选取最基础的乘法算式列举，旨在让学生在最简单的情境中再次夯实“有序”的操作方法，并初步渗透“边界”意识（因数相同时的处理），为后续复杂列举打下基础。】（三）综合应用，发展思维1.生活中的搭配问题（练习十七第3题变式及拓展）教师创设情境：小芳是一位集邮爱好者，她有下面4枚邮票（课件出示：80分、80分、1.2元、1.2元的面值邮票）。问题是：用这些邮票能付多少种不同的邮资？【重要】这是一个典型的组合问题，且含有相同面值的邮票，比教材原题（通常为不同面值）更具挑战性。教师引导学生分析：什么是“邮资”？这里邮票的面值有几种？有什么特别的地方？（有相同的面值）。在列举时，我们可以按什么顺序来思考？（按选取邮票的张数来分类列举，从选1张开始，到选4张结束）。学生以四人小组为单位进行合作探究，填写学习单上的表格。选1张：可以选1张80分，或1张1.2元。但注意，80分的邮票有两张，但面值相同，所以“选一张80分”代表的邮资只有一种80分，而不是两种。因此，选1张得到2种邮资：80分（0.8元）、1.2元。选2张：情况变得复杂，需要有序组合。教师引导学生可以先固定一张，去配另一张。列举如下：①两张都是80分：0.8+0.8=1.6元；②一张80分和一张1.2元（注意，这里80分有两张，但用哪一张结果相同，只算一种组合）：0.8+1.2=2.0元；③两张都是1.2元：1.2+1.2=2.4元。所以选2张得到3种邮资：1.6元、2.0元、2.4元。选3张：可以反向思考，即剩下1张。剩下1张有几种可能？剩下1张80分（邮资为总面值减去0.8元，总面值0.8+0.8+1.2+1.2=4.0元，4.00.8=3.2元），剩下1张1.2元（4.01.2=2.8元）。所以选3张得到2种邮资：2.8元、3.2元。选4张：全部选出，邮资为4.0元，1种。最后，将四类结果合并，去掉重复的邮资数额（检查是否有相同数值），得到所有可能的邮资种类。教师引导学生总结：当问题中的元素有相同之处时，分类列举是一种强大的工具，它能帮助我们化繁为简，条理清晰【非常重要】。2.时间中的周期问题（练习十七第8、9、10题整合）教师出示问题：公交车总站里，1路车和2路车早上6：30同时发出第一班车。1路车每8分钟发一班，2路车每10分钟发一班。你能帮车站调度员想一想，到早上7：30为止，这两路车会同时发车几次？分别在什么时刻？【热点】这道题将教材中分散的时间问题（音乐钟、网站更新、发车时间）整合为一个更贴近生活的情境。学生需要先理解“每隔8分钟”和“每隔10分钟”的含义。教师指导学生用列表法分别列举出1路车和2路车在6：30至7：30之间的所有发车时间，然后找出重合的时刻。1路车（每8分钟）：6：30，6：38，6：46，6：54，7：02，7：10，7：18，7：26，7：34（7：34已超过7：30，不计）。列举到7：30前最后一个即可。2路车（每10分钟）：6：30，6：40，6：50，7：00，7：10，7：20，7：30。观察两个时间序列，发现同时出现的时刻有：6：30，7：10。所以到7：30为止，同时发车2次。教师追问：如果一直发下去，下一次同时发车会在什么时候？引导学生发现，7：10之后再过40分钟（8分钟和10分钟的最小公倍数）是7：50，这个规律可以帮助我们验证列举结果的正确性。通过这个练习，学生不仅巩固了列举法，还初步感知了列举与最小公倍数知识的内在联系【难点】。3.几何图形中的枚举（练习十七第11题）教师出示：用若干个边长1厘米的小正方形拼成面积是12平方厘米的长方形，有几种不同的拼法？拼成的长方形周长各是多少？你发现了什么？【重要】这是一个数形结合的问题。学生理解题意：面积12平方厘米，意味着长和宽（整厘米数）的乘积等于12。问题转化为：找出所有乘积为12的两个因数（长和宽），且一般约定长≥宽，以避免重复。学生独立列举：（长，宽）可能为（12，1），（6，2），（4，3）。一共3种拼法。分别计算周长：（12+1）×2=26厘米，（6+2）×2=16厘米，（4+3）×2=14厘米。教师引导学生观察数据：当面积一定时，长和宽越接近，周长越小；长和宽相差越大，周长越大。这与本单元例1中“周长一定，面积的变化规律”形成鲜明对比，有助于学生构建更加完整的认知结构，体会数学中的变与不变【热点】。（四）挑战难点，提升智慧教师出示练习十七第6题：一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中两次，可能得到多少环？【非常重要】【难点】此题的关键在于理解“投中两次”的含义。它与“投了两次”有本质区别。“投中两次”意味着每一次都投中了，没有脱靶的情况。因此，可能的得分就是两次投中的环数之和。教师引导学生进行分类列举：我们可以按第一次投中的环数来有序思考。如果第一次得10环，那么第二次可能得10、8、6环，和分别为20、18、16。如果第一次得8环，那么第二次可能得10、8、6环，和分别为18、16、14。注意，这里出现了18和16与前面重复，是否需要合并？题目问的是“可能得到多少环”，即有多少种不同的得分，因此重复的环数只算一种。如果第一次得6环，那么第二次可能得10、8、6环，和分别为16、14、12。将所有可能得分汇总：20、18、16、14、12。一共5种不同的可能。教师进一步追问：如果题目改成“投了两次”（可能有一次没投中或两次都没中），结果又会怎样？【拓展】这就涉及“脱靶”的情况，需要分成“两次都中”、“中一次”、“两次都不中”三类进行列举，情况更为复杂。通过这个对比，学生对分类讨论思想的理解将更加深刻。（五）全课总结，内化策略教师引导学生回顾本节课解决的问题：我们从简单的乘法算式，到复杂的邮票邮资、公交车发车、图形拼摆，再到靶纸得分问题，我们用了什么法宝？（一一列举）。在列举的过程中，哪些经验让你印象最深？学生畅谈收获：列举要有顺序；遇到复杂问题要先分类；可以用列表、画图帮忙；列举完还要观察比较，发现规律……教师总结：一一列举不仅仅是一种解题方法，更是一种重要的思维方式。它教会我们，面对纷繁复杂的信息，要沉下心来，按一定的顺序，一条一条地梳理，这样才能看得清、想得全、做得对。希望同学们在今后的学习和生活中，能常常想起这个法宝，做一个思路清晰、考虑周全的人。七、板书设计小学五年级数学《有序思考