信号与系统（第6版）课件 第3章 连续信号与系统的频域分析（上）

3.3周期信号的频谱及特点3.2周期信号的傅里叶级数3.4傅里叶变换3.1信号分解为正交函数3.5傅里叶变换的性质第3章连续信号与系统的频域分析(上)3.6能量谱和功率谱矢量正交一、矢量的正交分解两矢量V1与V2正交，夹角为90°两正交矢量的内积为零

正交矢量集:由两两正交的矢量组成的矢量集合。如矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交，其内积为0，即3.1信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。

例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即

A=vx+2.5vy+4vz

矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。（1）信号正交

定义在(t1，t2)区间的两个函数

1(t)和

2(t),若满足(两函数的内积为0)则称

1(t)和

2(t)在区间(t1，t2)内正交。二、信号的正交分解说明：实函数正交(内积为0)（2）正交函数集若n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。说明：如果，称为标准正交函数集。（3）完备正交函数集

如果在正交函数集{

1(t),

2(t),…,

n(t)}之外，不存在任何函数

(t)(≠0)满足则称此函数集为完备正交函数集。例两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。（1）三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}（2）虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}（4）信号的正交分解

设有n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。思考问题：如何选择各系数Cj，使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？为使上式最小，有展开被积函数，并求导，只有两项不为0，写为：即：所以系数后续傅里叶级数里的系数就是按照这个公式推导计算的！代入，得最小均方误差在用正交函数去近似f(t)时，所取的项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（完备正交函数集），均方误差为零。任意信号f(t)可以表示为无穷多个正交函数之和：结论实变函数下复变函数下广义傅里叶系数上式称为信号的正交展开式，也称为广义傅里叶级数。帕斯瓦尔方程：信号的能量各正交分量的能量物理意义：在区间(t1,t2)，信号f(t)所含有的能量恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量之和，即能量守恒定理,也称帕斯瓦尔定理。

三、帕斯瓦尔定理大神傅里叶，“一个支配你大学恐惧的男人！”传奇人生1768年出生于法国欧塞尔，孤儿出身1798年随拿破仑远征埃及，任埃及研究院秘书1801年回国任教，潜心研究热传导问题1822年发表《热的分析理论》，提出傅里叶级数1830年逝世，享年62岁学术成就法兰西科学院院士（1817年）法兰西学院终身秘书（1822年）英国皇家学会外籍会员（1823年）法兰西学院院士（1826年）1804年起，傅里叶开始研究热传导问题。当时法国工业革命蓬勃发展，对热机效率的研究需求迫切。理论突破他提出：任何周期函数都可以表示为正弦和余弦函数的无穷级数。这一思想revolutionized了数学和物理学。拉普拉斯、拉格朗日等大数学家最初质疑傅里叶级数的严格性。但傅里叶坚持自己的观点，最终获得了认可。科学探索之路研究背景遭遇质疑3.2周期信号的傅里叶级数一、周期信号三角形式的傅里叶级数三角函数集

{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}设周期信号f(t)，其周期为T，角频率

=2

/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可展开为三角形式的傅里叶级数。

系数an,bn称为傅里叶系数。

（1）三角形式的傅里叶级数余弦分量系数：正弦分量系数：直流分量：直流n次余弦分量n次正弦分量用三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}做完备正交函数集分解周期信号，就是将周期信号展开为三角形式的傅里叶级数

=T

积分为0

类似地，由上面计算式易知：an

是关于n（或nΩ）的偶函数,

bn是关于n（或nΩ）的奇函数（2）狄里赫利(Dirichlet)条件：条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点；条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；条件3：在一个周期内，函数绝对可积。（3）余弦形式的傅里叶级数合并n次正余弦分量（第一种形式）（第二种形式）关于n（或nΩ）的偶函数关于n（或nΩ）的奇函数A0/2为直流分量；A1cos(

t+

1)称为基波或一次谐波，角频率与原周期信号相同；A2cos(2

t+

2)称为二次谐波；…Ancos(n

t+

n)称为n次谐波。表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。例将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。解：考虑到Ω=2π/T，可得：信号的傅里叶级数展开式为：直流基波3次谐波n次谐波/fourier/（a）1次谐波（基波）

（c）1&3&5次谐波（f）1&3&…&999次谐波（e）1&3&…&99次谐波（d）1&3&5&7次谐波（b）1&3次谐波约9%偏差吉布斯现象二、周期信号波形的对称性和谐波特性（1）f(t)为偶函数——对称于纵轴f(t)=f(-t)bn

=0，展开为余弦级数。（2）f(t)为奇函数——对称于原点f(t)=-f(-t)an

=0，展开为正弦级数。（3）f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即：a0=a2=…=b2=b4=…=0

（4）f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)

其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即：a1=a3=…=b1=b3=…=0三、指数形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。三角形式傅里叶级数利用欧拉公式-n→nA–n=An

–n=–

n令复数称为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。

是关于n（或nΩ）的偶函数

指数形式的傅里叶级数复傅里叶系数表明：周期信号f(t)分解为不同频率的虚指数信号之和，Fn

是频率为n

的分量的系数，F0

=A0/2为直流分量。例求如图所示周期信号的指数形式的傅里叶级数。解：指数形式的傅里叶级数为：四、两种傅里叶级数展开形式的关系三角形式的傅里叶级数：指数形式的傅里叶级数：n取0,1,2，…单边n取…,-2,-1,0,1,2，…双边五、周期信号的功率周期信号一般是功率信号，其平均功率为傅里叶级数三角形式

二倍角余弦公式在T上周期再现，积分为0

直流n次谐波振幅n次谐波有效值的平方=n次谐波产生的平均功率直流产生的平均功率含义：周期信号平均功率=直流和谐波分量平均功率之和。表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现。

3.3周期信号的频谱及特点牛顿：三棱镜实验结论：自然光可以由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种不同颜色光合成得到。什么是频谱？(Spectrum)信号按频率拆开，看每个频率分量的幅度和相位，画成图，就是频谱一、周期信号的频谱频谱：周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率的变化，分别为幅度谱和相位谱。三角函数形式分解虚指数函数形式分解频谱图：将幅度和相位分量用一定高度的直线表示；其中幅度谱图反映了信号不同频率分量的大小。三角函数形式分解虚指数函数形式分解频谱分类直流分量幅度相位n单边谱

A0/2

An

n

n=0，1，2，…

双边谱

F0

|Fn|

n

n=0，±1,±2,…,

二、单边谱和双边谱的关系关系：|Fn|是n的偶函数，双边幅度谱的谱线高度为单边幅度谱的一半，且关于纵轴对称；而直流分量值不变。

n是n

的奇函数，双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称。例周期信号求基波角频率Ω，平均功率P，画出频谱图。解:

化为标准形式：的周期T1=8的周期T2=6f(t)的周期：T=24s基波角频率:Ω=2π/T=π/12rad/s根据帕斯瓦尔等式1是f(t)的直流分量。是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量。|Fn|偶函数

n奇函数例有一幅度为1，脉冲宽度为

的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。解：三、周期矩形脉冲信号频谱的特点设T=4τ

画图零点为两零点间谱线间隔数确定基频ωFn0令T=4τ离散性：以基频Ω

为间隔的若干离散谱线组成；谐波性：谱线仅含有基频Ω的整数倍分量；收敛性：整体趋势减小。周期信号频谱的特点：分析：T不变，

变小谱线间隔

不变幅度下降零点右移，两零点间的谱线数目(T/

)

增加。谱线结构与波形参数的关系:结论：T不变，

变小时域压缩，频域展宽

不变，T↑，幅度↓，间隔

↓，频谱变密。T→∞时，谱线间隔

=2π/T→0，谱线幅度→0，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。谱线结构与波形参数的关系:收敛性分析:(1)振幅是收敛的：信号的能量主要集中在低频分量中。按照1/n缓慢衰减(2)收敛具有不同速度：按照1/n2

快速衰减信号连续光滑，幅度谱快速衰减。低频反映信号的主要信息，高频表现细节。收敛性分析:令T=4τ频带宽度第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）.由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。周期矩形脉冲信号的频带宽度(1)一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

语音信号 频率大约为 300~3400Hz，音乐信号 频率大约为50~15,000Hz，

扩音器/扬声器有效带宽约为15~20,000Hz。(3)系统的通频带>信号的带宽，才能不失真。(2)对于一般周期信号，将幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。宽度与脉宽成反比f1(t)=asin(ωt)tf1(t)tf2(t)

f2(t)=bsin(2ωt)tf(t)

f(t)=asin(ωt)+bsin(2ωt)3.4傅里叶变换T→∞时，谱线间隔

=2π/T→0，谱线幅度→0，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。谱线结构与波形参数的关系:一、定义为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。(单位频率上的频谱）称F(jω)为频谱密度函数。考虑到：T→∞，Ω→无穷小，记为dω；

nΩ→ω（由离散量变为连续量），而同时，∑→∫于是，傅里叶变换式傅里叶反变换式F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数也可简记为

F(jω)=F[f(t)]

f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(j)一般为复函数幅度谱相位谱说明：(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件：(2)用下列关系还可方便计算一些积分①单边指数函数二、常用信号的傅里叶变换幅度频谱：相位频谱：②双边指数函数频谱图③门函数(矩形脉冲)取样函数Sa(x)=sin(x)/x频谱图幅度谱相位谱频谱图④冲激函数

(t)、

'(t)、

(n)(t)↔傅里叶变换⑤常数1有些函数(如1，

(t)等)不满足绝对可积这一充分条件，但傅里叶变换却存在，直接用定义式不易求解。可构造一函数fn(t)逼近f

(t)，即构造函数fn(t)满足绝对可积条件，其傅里叶变换Fn(j

)是极限收敛的，则f(t)的傅里叶变换F

(j

)为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。所以因此，1←→2()构造又另一种求法：

(ω)

代入反变换定义式，有傅里叶变换⑥符号函数

构造⑦阶跃函数

(t)=+归纳记忆1.F变换对2.常用函数F变换对δ(t)ε(t)e-

t

ε(t)gτ(t)sgn(t)e–

|t|112πδ(ω)则若一、线性性质3.5傅里叶变换的性质f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)F(jω)=2πδ(ω)–2Sa(ω)=-例

f(t)如下图所示，计算解：二、奇偶性则若证明：显然：下面具体研究时间函数与其频谱的奇偶虚实关系(1)f(t)为实函数R(ω)X(ω)显然：结论：f(–t)↔F(–jω)=F*(jω)R(ω)=R(–ω)X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|

(ω)=–

(–ω)若f(t)为实偶函数,F(jω)为实偶函数若f(t)为实奇函数,F(jω)为虚奇函数(2)f(t)为虚函数f(t)=j

g(t)X(ω)R(ω)显然：请同学们参照实函数进行分析。三、对称性则若则若证明：令ω→-ω

可得：式中，令t→ω，ω→t

，可得：例1求f(t)=1的傅里叶变换。解:例2求f(t)=ωc

Sa(ωc

t/2)

的傅里叶变换。ω→t,τ→ωc解:←→F(jω)=?解:例3当α=1时根据对称性所以证明：则,a为非零实数。若当a>0时，当a<0时，四、尺度变换特性(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。0<a<1，脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。(2)

a>1时域压缩，频带扩展。a>1，脉冲持续时间短，变化快了。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。意义：(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩;(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍;说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。(3)

a=-1,f(–t)↔F(–jω)。脉宽*频宽=常数实际数据传输中常常希望脉宽较小频宽较小f(t)=←→F(jω)=?解:根据对称性，利用尺度变换特性，令

a=-1，可得例所以证明：五、时移特性则,t0为实常数。若若则幅度频谱无变化，只影响相位频谱，相移±ωt0。说明：f(t)如图所示，F(jω)=?解:例1‖+f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→f

(t)=f1(t)+f2(t)

f1(t)=g6(t-5)求若例2解:根据时移特性，根据尺度变换特性，或者:根据尺度变换特性，根据时移特性，例3F(jω)=?解:α=1整理根据对称性，所以，六、频移特性M证明：则,ω0为实常数。若频移特性的实质是频谱搬移，它是通信理论中信号调制与解调的理论基础。例1已知f(t)=

ejω0t，求其傅里叶变换。解:时域f(t)乘ejω0t，频谱右移ω0时域f(t)乘e-jω0t，频谱左移ω0f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?例2解:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]f(t)=sinω0t

←→F(jω)=?例3解:F(jω)=jπ[δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)]cos(ω0t)频谱图sin(ω0t)频谱图f(t)cosω0t

←→?例4解:cos(ω0t)频谱图f(t)频谱图f(t)cos(ω0t)频谱图cos(ω0t)调制信号—载波ω0调制频率—载频ω0>>ωm频移特性的应用——频分复用技术七、卷积定理时域卷积定理频域卷积定理则若则若证明：由时移特性：代入得，根据对称性例1解:根据频域卷积定理，f(t)cosω0t

←→?例2解:cos(ω0t)频谱图f(t)频谱图f(t)cos(ω0t)频谱图思考：如何解调？证明：八、时域微积分特性若时域微分：时域积分：其中根据对称性，例1解:根据时域微分特性，推论1：若证明：所以则示例:dε(t)/dt=

(t)←→1ε(t)←→1/(jω)+π

(ω)推论2：若且则例2解:用推论2求解九、频域微积分特性若频域微分：频域积分：其中例1解:例2计算解:证明：则若十、相关定理对自相关函数：信号(电压或电流)f(t)在1Ω电阻上的瞬时功率为|f(t)|2,在区间(-∞,∞)的能量为一、能量谱（1）信号能量（复习）能量信号满足0<E<∞，即能量有限。例如门函数，三角形脉冲，单边或双边指数衰减信号等。3.6能量谱和功率谱证明:（2）帕斯瓦尔方程（能量方程）时域中计算的能量频域中计算的能量（3）能量密度谱E

(ω)：单位频率的信号能量物理意义：能量在频域中的分布，简称为能量频谱或能量谱。

在频带df内信号的能量为

E

(ω)df，因而信号在整个频率区间（-∞,∞）的总能量为：与帕斯瓦尔能量方程进行比较可知，由相关定理：信号的能量谱