信号与系统（第6版）课件 第4章 连续信号与系统的S域分析

4.3拉普拉斯逆变换4.2拉普拉斯变换的性质4.4连续系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换定义第4章连续信号与系统的S域分析4.5连续系统的信号流图与梅森公式数学巨匠：皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(1749-1827)法国著名数学家、天文学家

天体力学的奠基人

概率论的集大成者一封改变命运的论文年轻的拉普拉斯被达朗贝尔拒之门外后，凭借一篇精彩论文赢得了大师的赏识，并因此获得了教授职位，开启了传奇学术生涯。与拿破仑的经典对话当被问及《天体力学》为何不提上帝时，他坚定回答：“我不需要那个假设。”

这体现了他彻底的科学决定论思想。天体力学奠基人巨著《天体力学》完美解释了太阳系的运行机制，被誉为“法国的牛顿”。概率论集大成者1812年发表著作《概率分析理论》将概率论从单纯的组合分析发展为成熟的数学学科，奠定了现代概率论的基础。不可或缺的数学工具提出的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程等，已成为现代工程学、物理学和信号处理中最基础的工具之一。一、双边拉普拉斯变换的定义有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t（

为实常数）乘信号f(t)，适当选取

的值，使乘积信号f(t)e-t当t

∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。4.1拉普拉斯变换定义Fb(+j

)=ℱ[f(t)e-t]=相应的傅里叶逆变换为f(t)e-t=令s=+j

，d=ds/j，有双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。

Fb(+j

)=本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。只有选择适当的

值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。收敛域：使f(t)拉氏变换存在的

取值范围。二、收敛域例1因果信号f1(t)=e

t

(t)，求其拉普拉斯变换。

解：

可见，对于因果信号，仅当Re[s]=

>

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛边界收敛域例2

反因果信号f2(t)=et

(-t)，求其拉普拉斯变换。解：

可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=

<

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界例3

双边信号求其拉普拉斯变换。解：

其双边拉普拉斯变换Fb(s)=F1b(s)+F2b(s)仅当

>

时，其收敛域为

<Re[s]<

的一个带状区域，如图所示。例4

求下列信号的双边拉氏变换。

f1(t)=e-3t

(t)+e-2t

(t)，

f2(t)=–e-3t

(–t)–e-2t

(–t)，

f3(t)=e-3t

(t)–e-2t

(–t)解：

Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<

<–2可见，原函数不同，象函数却相同；但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。结论：1、对于双边拉普拉斯变换而言，Fb(s)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：2、不同的信号可以有相同的Fb(s)，但收敛域不同。三、单边拉氏变换的定义通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。简记为F(s)=L[f(t)]

f(t)=L

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)四、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Re[s]>

0

要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标

0的值可分为以下三种情况：（1）

0<0，即F(s)的收敛域包含j

轴，则f(t)的傅里叶变换存在，并且

F(j

)=F(s)

s=j

如f(t)=e-2t

(t)←→F(s)=1/(s+2),

>-2；则F(j

)=1/(j

+2)。（2）

0=0，即F(s)的收敛边界为j

轴，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s(验证一下)=

(

)+1/j

（3）

0>0，F(j

)不存在。如f(t)=e2t

(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里叶变换不存在。五、常见信号的拉普拉斯变换1.

(t)←→1，

>-∞2.

(t)或1←→1/s

，

>03.指数函数es0t←→

>Re[s0]cos

0t=(ej

0t+e-j

0t

)/2←→sin

0t=(ej

0t–e-j

0t

)/2j←→4.周期信号fT(t)例：

T(t)←→1/(1–e-sT)时域中进行周期延拓的标志信号第一个周期部分的拉氏变换周期信号的拉氏变换

在数学软件

Matlab

的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行

Laplace

变换与

Laplace

逆变换。(1)F

=

laplace

(

f

)对函数

f(

t

)

进行Laplace变换，对并返回结果

F

(

s

)。

(2)f

=

ilaplace

(

F

)对函数

F

(

s

)

进行Laplace逆变换，对并返回结果

f

(

t

)。

解：Matlab

程序clear;symst;f=t*exp(-3*t)*sin(2*t);

F=laplace(f)；F=4/((s+3)^2+4)^2*(s+3)输出求函数的

Laplace

变换。例即

一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]>

1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>

2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(

1,

2)如f(t)=

(t)+

(t)←→1+1/s，

>04.2拉普拉斯变换的性质（单边LT、双边LT都适用）二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]>

0，且有实数a>0则f(at)←→Re[s]>a0

证明：（单边LT）例如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)若f(t)

←→F(s),Re[s]>

0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)

(t-t0)←→e-st0F(s),Re[s]>

0

（收敛域不变）三、时移性质如果f(t)是因果信号，则有f(t-t0)←→e-st0F(s)（对于双边LT，是f(t-t0)

←→e-st0F(s)）（单边LT）f(at-t0)

(at-t0)←→与尺度变换相结合例1例2求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=

(t)–

(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)例3已知f1(t)←→F1(s)，求f2(t)←→F2(s)解：

f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例4求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?解：f(t)=e2e-2tε(t)四、复频移特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有复常数sa=

a+j

a,则f(t)esat

←→F(s-sa),Re[s]>

0+

a

证明：（单边LT、双边LT都适用）例1已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→例2f(t)=cos(2t–π/4)←→

F(s)=?解：cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)五、时域微分特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则f'(t)←→sF(s)–f(0-)

f''(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f'(0-)证明：（单边LT）推广：若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)例1

(n)(t)←→?例2

例3位置处开始运动，的外力为。例质量为

m

的物体挂在弹簧系数为

k的弹簧一端(如图)若物体自静止平衡求该物体的运动规律，作用在物体上解：(1)由

Newton

定律及

Hooke

定律有即物体运动的微分方程为解：

(1)对方程组两边取

Laplace

变换，并代入初值得(2)令记有当具体给出时，即可以求的运动方程并利用卷积定理有(3)由六、时域积分特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则（单边LT）（双边LT，是）证明：①②①②例1t2

(t)

←→?解：例2已知因果信号f(t)如图,求F(s)。解：对f(t)求导得f'(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0由于f'(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→F1(s)若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)←→Fn(s)则f(t)←→Fn(s)/sn七、s域微分性质若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则（单边LT、双边LT都适用）证明：例t2e-2t

(t)←→?t2e-2t

(t)←→解：e-2t

(t)←→

1/(s+2)八、s域积分性质若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则（单边LT、双边LT都适用）证明：例1

解：例2

解：时域卷积定理

若因果函数f1(t)←→F1(s),Re[s]>

1

f2(t)

←→F2(s),Re[s]>

2则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域卷积定理九、卷积定理（单边LT）（双边LT不要求两个卷积信号都是因果信号）证明：例1

tε(t)←→?例2

已知F(s)=初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞),而不必求出原函数f(t)。初值定理f(t)←→F(s)，若F(s)为假分式化为真分式，则终值定理若f(t)当t→∞时存在，f(t)←→F(s),Re[s]>

0,

0<0，则十、初值、终值定理例1

例2

，计算原信号的初值和终值。4.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n

（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。一、F(s)为单极点（单根）特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2=–

±j

)K2=K1*

f1(t)=2|K1|e-

tcos(

t+

)

(t)若K1,2=A±jB，f1(t)=2e-

t[Acos(

t)–Bsin(

t)]

(t)例1已知，求其逆变换。解：部分分式展开法：例2已知，求其逆变换。解：假分式通过长除法整理为多项式+真分式例3解：已知，求其逆变换。例4

求象函数F(s)的原函数f(t)。解：极点是s1=0，s2=–1，s3,4=

j1，s5,6=–1

j1，故

K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1

K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(

/2),K4=K3*=(1/2)e-j(

/2)

K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=，K6=K5*二、F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=p1处有r重根，

K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1

K12=d[(s–p1)rF(s)]/ds|s=p1例5已知，求其逆变换。解：一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y′(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若f(t)在t=0时接入系统，则f(n)(t)←→snF(s)4.4连续系统的复频域分析y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代数方程Yzi(s)Yzs(s)例

描述某LTI系统的微分方程为

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=2f′(t)+6f(t)已知y(0-)=1，y′(0-)=-1，f(t)=5cost

(t)，求全响应y(t)。解：方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)y(t)=2e–2t

(t)

–e–3t

(t)

–4e–2t

(t)

+yzi(t)yzs(t)暂态分量ytc(t)稳态分量yss(t)Yzi(s)Yzs(s)2|K1|e-

tcos(

t+

)

(t)←→例

描述某LTI系统的微分方程为

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=2f′(t)+6f(t)已知y(0-)=1，y′(0-)=-1，f(t)=5cost

(t)，求全响应y(t)。解：方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)二、连续系统函数H(s)的定义和求解系统函数H(s)定义为它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L

[h(t)]Yzs(s)=L[h(t)]∙F(s)例

已知输入f(t)=e-t

(t)，某LTI因果系统yzs(t)=(3e-t

-4e-2t

+e-3t)

(t)，求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解：h(t)=(4e-2t

-2e-3t)

(t)s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s)微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)取逆变换yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2f'(t)+8f(t)三、连续系统的s域框图时域框图基本单元af(t)y(t)=af

(t)s域框图基本单元s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++∫f(t)

s域的代数方程X(s)s-1X(s)s-2X(s)例

如图框图，列出其微分方程.解:

画出s域框图,s-1s-1F(s)Yzs(s)设左边加法器输出为X(s)，如图X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-2X(s)Yzs(s)=X(s)+4s-2X(s)

微分方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f"(t)+4f(t)再求h(t)?例

如图所示电路，已知uS(t)=

(t)V，iS(t)=δ(t)A，初始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压u(t)。四、电路系统的s域分析方法

1.电路元件的s域模型对时域电路取拉氏变换电阻u(t)=R

i(t)U(s)=R

I(s)电感U(s)=sLIL(s)–LiL(0-)电容I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)2.基尔霍夫定理的s域模型

节点回路解：画出电路的s域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1例

如图所示电路，已知uS(t)=

(t)V，iS(t)=δ(t)A，初始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压u(t)。u(t)=e–t(t)–3te–t(t)V若求uzi(t)

和uzs(t)?五、连续系统函数的零极点分布与时域特性1.系统函数的零点与极点LTI连续系统的系统函数是复变量s的有理分式，即A(s)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(s)的极点；B(s)=0的根

1，

2，…，

m称为系统函数H(s)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。

例1已知系统函数

，画出零、极点分布图。解：例2

已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。解：由分布图可得根据初值定理，有2.系统函数H(s)与冲激响应h(t)冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。所讨论系统均为连续因果系统。H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。

（1）在左半平面若系统函数有负实单极点p=–α(α>0)，则A(s)中有因子(s+α)，其对应的响应函数为Ke-αtε(t)(b)若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]，其响应为Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为Kiti

e-αtε(t)或Kiti

e-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。（2）在虚轴上(a)单极点p=0或p12=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)—稳态分量(b)

r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为

tiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数（3）在右半开平面：均为递增函数。

结论：LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定，

零点影响h(t)的幅度、相位。①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的，即当t→∞时，响应均趋于0。②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为阶跃函数或者正弦函数。③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。六、系统函数与系统的频率响应1.H(s)与H(jω)关系当且时（H(s)极点在左半平面）这种情况下，h(t)对应的系统称为因果稳定系统。设h(t)为因果信号2.H(s)零、极点与连续系统频率响应设：若系统函数H(s)的极点均在左半平面，H(jω)=H(s)|s=jω。设则：+－+－极点：在左半平面例一阶RL系统，U1(s)为输入，U2(s)为输出，求系统频率响应H(jω)。

解：讨论：б全通函数若系统的幅频响应|H(jω)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。最小相移函数在所有具有相同幅频响应的因果稳定系统中，它的相位延迟最小‌。

最小相移系统例，试绘出粗略旳幅频响应曲线与相频响应曲线。

1.连续系统稳定的充分必要条件是若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。2.连续因果系统稳定的充分必要条件是因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。七、连续系统的稳定性例如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/[(s+1)(s+2)]解：设加法器的输出信号X(s)

X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)=G(s)X(s)=KG(s)Y(s)+G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)H(s)的极点为为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k<(3/2)2,k<2，即当k<2，系统稳定。计算机仿真求频响和判稳例

已知系统函数画出其零极点分布，求系统的单位冲激响应，和频率响应，并判断系统是否稳定。，试用计算机仿真解：num=[1];%分子系数den=[1231];%分母系数sys=tf(num,den);%构造系统函数poles=roots(den);figure(1);pzmap(sys);%绘制零极点分布图t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h)%绘制冲激响应title('ImpulseRespone')[H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H))%绘制幅频图运行结果为：poles=-0.4302-0.7849+1.3071i-0.7849-1.3071i-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-1.5-1-0.500.511.5Pole-ZeroMapRealAxisImaginaryAxis(a)零极点分布图(b)单位冲激响应(c)频率响应一、信号流图定义信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。二、信号流图中常用术语(1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统。

4.5