人教版九年级上册数学第28章《旋转》教学课件（新教材）

教

学

课

件人教版九年级上册数学（新教材）28.1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质人教版九年级数学（上）第28章旋转新课导入你还记得平移的概念和性质吗？平移定义：在平面内，将一个图形上所有点按照某个直线的方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动.平移的性质：①图形的大小没有变化，只是位置发生了改变.②对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等.③平移后对应的线段相等，对应角相等.轴对称和成轴对称呢？轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够于另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.同学们，请欣赏下面几幅图案，并思考下列问题：在以前的学习中,我们已经学习了图形的平移和图形的轴对称,对于上述各图案,你能说出它们分别是由怎样的基本图形经过怎样的变换得到的吗？探究新知思考：钟表的指针在不停地转动，指针都是绕着哪一点转动的？表盘的中心从3时到5时，时针由点P转到了哪一点？转动了多少度？旋转方向呢？点P'60°顺时针风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.图中的风车的每一个叶片都是绕着哪一点转动的？风车的中心若风车按顺时针方向转动一定的角度与自身重合，需要旋转多少度？

改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动.以上这些运动现象有什么共同特点呢？都在图形和点所在的平面内旋转.生活中还有类似的物体运动吗？把上面问题中的指针、叶片等看作平面图形.像这样，把一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转.点O叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角.转动的方向为顺时针方向.

如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.PP'O类似地，你能说一说什么是对应线段和对应角吗？PQOMN如图，△OPQ围绕点O顺时针旋转60°至△OMN的位置，在这个旋转过程中：旋转中心是________；点P的对应点是______，点Q的对应点是______；线段PQ的对应线段是_________；∠OQP的对应角是________；∠POM的度数是_______.点O点M点N线段MN∠ONM60°确定一次图形的旋转时，必须明确：①旋转中心;②旋转方向;③旋转角;旋转的三要素注意:

旋转的范围是“平面内”.显然，旋转前后，图形的形状、大小未发生变化．也就是说，旋转前、后的图形全等.PQOMN探究：如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC绕点O旋转一个角度，得到△A'B'C'

.（1）在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另扎一个小点O作为旋转中心.（2）硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A'B'C'），移开硬纸板.观察OA与OA'，OB与OB'，OC与OC'，你有什么发现？∠AOA'，∠BOB'，∠COC'有什么关系？通过测量检验你的发现.根据探究内容，在横线上填上恰当的符号：OA______OA′，AB______A′B′，∠AOC______∠A′OC′，∠AOA′______∠BOB′，△ABC______△A′B′C′.＝＝＝＝≌一般地，旋转具有性质：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角.旋转与平移、轴对称的异同点变换关系平移轴对称旋转相同点（1）都是在平面内进行的图形变换；（2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形全等；（3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形变换关系平移轴对称旋转不同点运动方式沿某一方向移动沿一条直线翻折绕某一点转动对应点、对应线段的情况对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等若成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，则其交点在对称轴上；对应点所连的线段被对称轴垂直平分对应点到旋转中心的距离相等变换条件平移方向和平移距离对称轴旋转中心、旋转方向和旋转角例1

如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C,若∠BCA'=100°,求∠B'CA的度数.解：由旋转的性质可知.∠BCB'=∠ACA'=35°.又因为∠BCB'

+∠B'CA+∠ACA'

=∠BCA'

=100°，所以∠B'CA=30°.2．旋转的三要素：__________、__________、__________．知识归纳1．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转．点O叫作________，转动的角叫作_________．旋转中心旋转角旋转中心旋转方向旋转角3．旋转的性质：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离_______；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于________；旋转前、后的图形全等．相等旋转角例1例题与练习在下列现象中，不属于旋转现象的是(

)A．方向盘的转动B．水龙头开关的转动C．电梯的上下移动D．钟摆的运动C例2

如图，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是

(

)C例3

如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．(1)旋转中心是哪一点？解：(1)旋转中心是点A.(2)旋转了多少度？(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点．又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.(3)AF的长度是多少？(3)∵AD＝4，DE＝1，

∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，

(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？(4)∵∠EAF＝90°(旋转角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形．1.举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角.2.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？旋转中心旋转角：∠AOA'或

∠BOB'.3.如图，男生坐在秋千上，秋千旋转了80°，在图中男生身上任意选一点P，利用旋转的性质，标出点P的对应点.（1）这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系？（2）这两个点与旋转中心所连线段所成的角是多少度？80°距离相等4．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是

(

)A．110°B．80°C．40°

D．30°B课堂小结(1)旋转及旋转中心、旋转角的概念；(2)旋转的对应点及其应用；(3)旋转的基本性质；(4)旋转变换与平移、轴对称两种变换的共性与区别．随堂检测1、如图，已知BC

是等腰直角三角形ABC

的斜边，D

是△ABC内一点，连接AD，BD.

若将△ABD

绕点A

逆时针旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是()A.25°B.30°C.35°

D.45°D2、下列关于旋转的说法中，错误的是（）A.旋转不改变图形的形状和大小B.旋转中心到对应点的距离相等C.旋转角是指图形上任意两点与旋转中心连线的夹角D.旋转方向分为顺时针和逆时针两种C3、在如图所示的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是点_______.B作业布置(1)教材P96习题28.1第1，2题；(2)对应课时练习．28.1图形的旋转第2课时旋转作图人教版九年级数学（上）第28章旋转新课导入如图,将△ABO绕点O旋转得到△EFO,指出图中的旋转中心、旋转角、对应线段及对应角.解：旋转中心是点O；旋转角是∠AOE或∠BOF；对应线段：OA与OE，OB与OF，AB与EF；对应角：∠AOB与∠EOF，∠A与∠E，

∠B与∠F.探究新知如图，画出线段AB

绕点A

按顺时针方向旋转60°后的线段.作法:(1)以AB为一边按顺时针方向画∠BAD，使∠BAD=60°.D60°ABC操作1(2)在射线AD上截取AC=AB.线段AC即为所求.如图，△AOB

绕O

点旋转后，G

点是B

点的对应点,作出△AOB

旋转后的三角形.作法:(1)连接OG.ABOGCE操作2(2)作∠AOC=∠BOG.(3)在射线OC上截取OE=OA.(4)连接EG.

△EOG即为所求.画出下图所示的四边形ABCD

以点O

为中心，顺时针旋转60°的旋转图形.O四边形EFGH即为所求.ABCDEFGH操作3①找出旋转中心、旋转方向、旋转角以及表示图形的关键点(如顶点);②连接图形的每一个关键点与旋转中心;③把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(旋转角的度数);④在旋转后所得的射线上截取与关键点到旋转中心距离相等的线段，得到各关键点的对应点;⑤按原图顺次连接各关键点的对应点，并标上相应字母，作出图形，写出结论.你能总结出旋转作图的一般步骤吗？例2

如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.ADCB

E确定点E的对应点E'想一想：本题中作图的关键是什么？旋转中心是哪个点？点A，B的对应点分别是什么？ADCB

E点A点A点A点B点D如何确定点E的对应点的位置？解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身.设点E的对应点为点E'.在正方形ABCD中,AD＝AB,∠DAB＝90°,所以旋转后点D与点B重合.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以∠ABE'=∠ADE=90°，BE'=DE.因此,在CB的延长线上取点E‘,使BE'=DE,则△ABE'为旋转后的图形.EADB

CEE′ADB

CE点的对应点E′，还可以用其他方法确定吗？方法一：由∠EAE′=90°，AE′=AE确定点E′.方法二：由∠ABE′=90°，AE′

=AE可知，以点A为圆心，AE为半径画弧，和CB的延长线的交点即是点E′.方法三：由∠ABE′=90°，∠EAE’=90°可知，过点A作AE垂直的直线与CB的延长线的交点即是E′.EE′ADB

C由例题的作图过程可以知道旋转作图应满足哪三个要素？①旋转中心;②旋转方向;③旋转角;如果选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，出现的效果会一样吗？利用旋转，可以设计美丽的图案.如图(1)，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图中(2)的五角星图案.想一想，需要旋转几次，每次的旋转角是多少？需要旋转4次，每次的旋转角是72°.观察图中的两个旋转，它们的旋转中心－样吗？旋转角呢？产生的效果一样吗？一样不一样不一样图中的两个旋转，它们的旋转中心一样吗？旋转角呢？产生的效果一样吗？不一样一样不一样选择不同的__________、不同的________旋转同一个图案，会出现不同的效果.旋转中心旋转角旋转中心不变，旋转角改变旋转角不变，旋转中心改变经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案.你能通过改变旋转中心或旋转角设计出不同的图案吗？知识归纳1．旋转变换作图步骤：(1)确定_____________、___________和_____________；旋转中心旋转角旋转方向(2)找出能确定图形的________；关键点(3)连接图形的各关键点与旋转中心，并按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到各关键点的____________；对应点(4)按原图形的顺序连接这些对应点，得到旋转后的图形．2．选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果.例例题与练习

如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B，C，D的对应点的位置以及旋转后的四边形．解：如图，B，C，D的对应点分别是F，G，H，四边形EFGH是四边形ABCD旋转后得到的四边形．1.如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC上一点，以点A为旋转中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形.PABCPABCP'解：如图所示，△ACP'即为所求作的图形.2.选择一个简单的基本图形，对它进行旋转：（1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，观察旋转后的效果；旋转角不变,改变旋转中心(答案不唯一)旋转中心、旋转角都改变(答案不唯一)ABCC′B′αβABCA′B′（2）改变基本图形的形状，观察旋转后的效果.3．在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是

(

)①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角及旋转方向.A．①②④

B．①②③

C．②③④

D．①③④A4．在如图所示的网格中，画出“小旗”绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的图案．解：如图所示．课堂小结1．掌握图形旋转的基本作图，能综合运用平移、轴对称、旋转作图.2．熟练运用旋转的性质解决问题．随堂检测1、作△ABC

绕点O顺时针旋转60°的图形，第一步应该做的是（

）.A.连接OA、OB、OCB.以

O

为圆心，OA

为半径画弧C.作∠AOA'=60°D.确定点A

的对应点

A'A2、下列关于旋转作图的说法，错误的是（）A.对应点到旋转中心的距离相等，作图时可用圆规截取B.旋转角的大小等于对应点与旋转中心连线的夹角C.作图时只需画出图形的顶点旋转后的位置，再依次连接即可D.旋转后的图形与原图形的形状、大小都改变了D3、作一个图形绕某点旋转后的图形时，下列说法正确的是（）A.旋转中心可以在图形上，也可以在图形外B.旋转方向只能是顺时针C.图形上的每个点旋转的角度可以不同D.图形上的点离旋转中心越远，旋转的角度越大A作业布置(1)教材P96习题28.1第3，4题；(2)对应课时练习．习题28.1人教版九年级数学（上）第28章旋转复习巩固1.下列图形是由一个基本的图形经过旋转得到的，分别指出它们的旋转中心和旋转角：旋转中心60°旋转中心90°2.把图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转.旋转角至少为多少度时，旋转后的五角星能与自身重合？对等边三角形进行类似的讨论.解：五角星图案绕着中心O旋转，旋转角至少为72°时，旋转后的五角星能与自身重合.等边三角形绕着中心旋转,旋转角为120°或120°的整数倍时,旋转后的三角形能和自身重合.3.如图，分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后得到的图形.OABCA'B'C'A''B''C''解：旋转90°后的图形如图所示.旋转180°后的图形如图所示.4.任意画一个△ABC，并把它旋转：（1）以点A为旋转中心，把△ABC逆时针旋转40°；40°ABCB'C'（2）以边BC的中点为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°；90°ABCB'C'A'（3）在△ABC内任取一点为旋转中心，把△ABC逆时针旋转180°；ABCB'C'A'（4）在△ABC

外任取一点为旋转中心，把△ABC顺时针旋转120°.ABCB'C'A'综合运用5.如图，△ABC是一个等边三角形，D为边BC的中点，把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，求∠ABE，∠DAE，∠BED

的度数.解：由旋转的性质，△ADC≌

△AEB，由题意知，旋转角为60°，旋转中心为点

A，∴

∠ABE=∠C.∵

△ABC是等边三角形，∴

∠C=60°，∴

∠ABE=60°.∴

∠DAE

等于旋转角，即∠DAE=60°.由△ADC

≌

△AEB，得

BE=DC

.∵

D为

BC

的中点，∴

BE=BD，即△BED为等腰三角形

.∵

∠ABE=60°，∠ABC=60°，∴∠EBD=∠ABE+∠ABC=60°+60°=120°.在等腰△BED

中，

所以∠ABE=60°,∠DAE=60°,∠BED=30°.∴

BD=DC，6.图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样的旋转得到？试着由基本图形，经旋转画出这个图案.直角三角形以图案的中心为旋转中心,每次旋转90°，连续旋转3次得到整个图案7.如图，在△ABC中，∠C=90°.（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形；ABCA'C'解：(1)△A'BC'即为所求.（2）按（1）旋转后，点A的对应点为A'，若BC=3，AC=4，求A'A的长.(2)∵△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4.

由旋转的性质可得,△A'BA中，∠A'BA=90°，A'B=AB=5.

ABCA'C'拓广探索8.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？试提出一个类似的问题，（提示：将等边三角形换成其他图形.）解：BE=DC.理由如下:∵△ABD和△AEC

都是等边三角形，∴AE=AC，AB=AD，∠DAB=∠CAE=60°，∴△BAE

绕点A

顺时针旋转60°就得到△DAC.∴△BAE≌△DAC.∴BE=DC.作业布置完成对应课时练习．28.2中心对称28.2.1中心对称及其性质人教版九年级数学（上）第28章旋转新课导入大家都知道，魔术表演很精彩．相信很多同学都看到过这样一个魔术：魔术师把三张扑克牌放在桌子上，如下图(上)所示,然后蒙住眼睛，请一个观众上台，把其中的一张旋转180°放好，魔术师解开蒙着眼睛的布后，看到四张牌如下图(下)所示，他很快确定了被旋转的那一张．聪明的同学们，你知道哪一张被观众旋转过吗？解：要确定哪张被旋转了，就要根据图形的性质进行判定，四张扑克牌中只有呈中心对称的那张牌被旋转后是看不出来的，这四张牌中只有第一张牌是中心对称图形，所以被观众旋转的牌为第一张．探究新知思考：（1）如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？O一个图案旋转后与另一个图案重合.ABDCO旋转后的△OCD与△OAB重合.（2）如图，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？都在绕着旋转中心点O旋转180°后完全重合．OABDCO你能说说上面两个旋转的共同点吗？像这样，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.ABDCO如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称，则点____是对称中心，点A与点_____是对称点，点B与点____是对称点.OCD中心对称和轴对称的区别与联系：变换轴对称中心对称区别联系至少有一条对称轴只有一个对称中心图形沿对称轴折叠图形绕对称中心旋转180°折叠后与另一个图形重合旋转后与另一个图形重合都是图形变换，并且变换前、后的两个图形全等作为特殊的旋转，中心对称具有旋转的性质.除此之外，中心对称还有什么特殊的性质呢？探究：如图，△ABC

和△A'B'C'关于点O对称，我们仍考虑它们的对称点之间的关系.对称中心O与对称点的连线AA'有什么关系？点O与BB'，CC'呢？因为点A'是点A绕点O旋转180°后得到的，所以点O是线段AA'的中点，同样地，点O也是线段BB'和CC'的中点.△ABC与△A′B′C′全等吗？为什么？全等因为旋转变换不改变图形的形状和大小，仅改变位置，旋转前后的图形是全等的。分别连接对应点AA′，BB′，CC′，点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？在中点成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分.由此你能得到中心对称的性质吗？给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关于这个点中心对称的图形.

与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称的图形.如何确定“对称中心”呢？方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心.方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.例1

如图，选择点O为对称中心，作出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.分析：关键是利用中心对称的性质确定△ABC

三个顶点的对称点.解：如图，连接AO，在AO的延长线上截取OA'=OA，即可以得到点A关于点O的对称点A'.以同样的方法分别作出点B，C关于点O的对称点B'，C'，依次连接A'B'，B'C'，C'A'，就得到与△ABC关于点O对称的△A'B'C‘.作已知图形关于某一点对称的图形的一般步骤:连接分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长找对称点在延长线上找对称点，使得对称点与对称中心的距离等于相应的关键点与对称中心的距离顺次连接将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到原图形关于对称中心对称的图形知识归纳1．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点______或__________，这个点叫作__________(简称中心)，这两个图形在旋转后能重合的点叫作________．对称中心对称对称中心对称点2．中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过__________，并且被对称中心________．对称中心平分例1例题与练习

如图，△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称，找出图中的对称点、对称线段．解：对称点：A与A′，B与B′，C与C′；对称线段：AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′.例2

如图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有

(

)A．1组

B．2组

C．3组

D．4组C例3

在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝20cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在B′处，求点B′与点B的距离.解：连接BB′，由中心对称可知，BB′必过点O.∵△ABC为等腰三角形且∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝20cm.

∴在Rt△BCO中，

如图所示，点O即所找的点..O1.图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心.2.分别作出已知图形关于点O对称的图形.O解：如图所示.O3．如图，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是

(

)A．AO＝A′O，BC＝B′C′

B．AC∥A′C′C．∠BAC＝∠B′A′C′D．△ABC≌△A′OC′D4．如图，已知△ABC和点O，画出△A′B′C′，使它与△ABC关于点O成中心对称．解：如图，△A′B′C′

就是所求的三角形．5．如图所示的两个三角形是否成中心对称？若是，请画出对称中心．解：图中的两个三角形成中心对称；如图，点O是其对称中心．课堂小结1．中心对称及对称中心的概念．2．中心对称的基本性质．随堂检测1、下列四组图形中，成中心对称的有(

)A.1组B.2组C.3组D.4组C2、下列说法中，关于中心对称的描述不正确的是(

)A.

把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称B.

成中心对称的两个图形是全等的C.

成中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心D.

如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA=OA′.A3、如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不一定正确的是（）A.S△ABC=S△A′B′C′B.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′C.AB//A′B′，AC//A′C′，BC//B′C′D.S△ACO=S△A′B′O

D4、如图，△ABC与△A'B'C'关于某个点对称，点A，B

的对称点分别为点A'，B'，请找出对称中心O，并把△A'B'C'补充完整.解：如图所示.作业布置(1)教材P104习题28.2第1，6题；(2)对应课时练习．28.2中心对称28.2.2中心对称图形人教版九年级数学（上）第28章旋转新课导入剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀瑰宝.如右图是一幅剪纸作品,将它绕其中心点旋转180°后能与自身重合．我们把具有这样特征的图形叫作中心对称图形．观察下列图案，它们都具有这样的特征吗？探究新知在轴对称的学习中，我们既学习了两个图形成轴对称，也学习了轴对称图形.

类似地，有两个图形关于某个点中心对称，是不是也有中心对称图形呢？思考：（1）如图，将线段AB绕它的中点O旋转180°，你有什么发现？ABO线段AB绕它的中点O旋转180°后与它本身重合.旋转后的图形与它本身有什么关系？（2）如图，将▱ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？ABCDO▱ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°后与它本身重合.旋转后的图形与它本身有什么关系？▱ABCD绕点O旋转180°后，点A的对称点为______，点C的对称点为______，点B的对称点为______，点D的对称点为______.ABCDO点C点A点D点B像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.ABOABCDO利用中心对称的性质，如何确定一个中心对称图形的对称中心？方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心.方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.线段、平行四边形的对称中心分别是什么？中心对称图形只有一个对称中心ABOABCDO中点对角线交点除了上面所讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，你还能说出一些其他的中心对称图形吗？矩形菱形正方形矩形、菱形、正方形不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，它们的对称轴的交点就是其对称中心.说说中心对称图形具有哪些特点？它与中心对称有什么区别和联系？ABDCO中心对称图形上的对称点连线都经过对称中心，且被对称中心平分．过对称中心的直线将中心对称图形分成全等的两部分.中心对称与中心对称图形的区别与联系：名称中心对称中心对称图形图形区别个数两个图形一个图形属性两个图形的位置关系具有某种性质的一个图形名称中心对称中心对称图形区别对称点在两个图形上在一个图形上对称中心在两个图形的外部、内部或图形上在图形上或其内部联系若用一条过对称中心的直线将中心对称图形分成两个图形，则它们成中心对称若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则为中心对称图形轴对称图形与中心对称图形的区别与联系：名称轴对称图形中心对称图形图形区别关于某一条直线对称关于某一点对称沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合绕某一点旋转180°后于原来的图形重合联系如果一个图形是轴对称图形,且有两条互相垂直的对称轴,那么它也是中心对称图形,如圆、正方形……既是轴对称图形又是中心对称图形中心对称图形的形状通常匀称美观，在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形，在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装饰图案.另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够在其所在平面内绕对称中心平稳地旋转，所以常将各种机器中需要旋转的零部件的形状设计成中心对称图形，如水泵叶轮.美丽的中心对称图形知识归纳1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形________，那么这个图形叫作中心对称图形，该点就是它的__________．重合对称中心2．判断中心对称图形的“两个方法”：①若一个图形上，存在这样的一个点，使整个图形绕着这个点旋转180°后能够与原来的图形重合，则这个图形就是中心对称图形；②若图形中的对应点的连线都经过同一个点，并且被这个点平分，则这个图形就是中心对称图形．3．中心对称图形是指一个图形本身是中心对称的，它反映了一个图形的本质特征．而中心对称是指两个图形关于某一点对称，揭示的是两个全等图形之间的一种位置关系．例1例题与练习

随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是

(

)A例2

判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它们的对称中心．(1)线段；

(2)等腰三角形；(3)平行四边形；

(4)矩形；(5)圆；

(6)角．线段的中点对角线的交点对角线的交点圆心例3

下列各图是中心对称图形吗？如果是，请画出它们的对称中心．解：三种图形都是中心对称图形，它们的对称中心如图中点A，B，C所示．1.圆是中心对称图形吗？为什么？圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，绕圆心转180°后与自身重合。2.在以下交通标志图案中，哪些是中心对称图形？再举出几个自然界以及生活、生产中的中心对称图形实例.3.下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是

(

)C4．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

(

)B5．如图，在矩形中挖去一个正方形，并用无刻度的直尺(即直尺只具有连线的功能)，准确作出直线l，将剩下图形的面积平分．(保留作图痕迹)解：如图，直线l即为所求．课堂小结1．中心对称的定义，会判断某个图形是否为中心对称图形．2．中心对称图形的性质及运用．随堂检测1、

下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是()DABCD2、下列图形是中心对称图形的是（

）DABCD3、如图，直线a⊥b

于点O，曲线c

关于点О

成中心对称，点A

的对称点是A'，AB⊥a

于点B，A'D⊥b

于点D.若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积为______.64、如图，直线EF

经过▱ABCD

的对角线的交点O，若AE=3，四边形AEFB

的面积为15，则CF=_____，四边形EDCF

的面积为______.315作业布置(1)教材P104习题28.2第2，10题；(2)对应课时练习．28.2中心对称28.2.3关于原点对称的点的坐标人教版九年级数学（上）第28章旋转新课导入1．点P(3，－6)关于x轴对称的点的坐标为

(

)A．(－3，6) B．(3，6)C．(－3，－6) D．(3，－6)B2．在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1,3)，将线段OA向右平移3个单位长度，得到线段O1A1，则点O1的坐标是_________，点A1的坐标是________．3．点P(2025，－2026)关于y轴对称的点的坐标为___________________．(3，0)(4，3)(－2025，－2026)在学习了平移变换和轴对称变换的时候，我们研究了在平面直角坐标系中点的平移规律和关于轴对称的点的坐标规律，那么关于原点对称的点的坐标有怎样的规律呢？探究新知你能说出点P关于x轴对称点的坐标吗？关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系？A(x，-y)P(x，y)关于x轴对称A（-3,-2）结论:在平面坐标系中,关于x轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数.B（3，2）你能说出点P关于y轴对称点的坐标吗？1234-4-3-2-1OxP（-3，2）y1234-4-3-2-1A(-x，y)P(x，y)关于y轴对称关于y轴对称的点的坐标具有怎样的关系？结论:在平面坐标系中,关于y轴对称的点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.1234-4-3-2-1OxP（-3，2）B（3，2）yA（-3，-2）C（3，-2）1234-4-3-2-1想一想：点A与点B的位置关系是怎样的？点P与点C呢？如何确定平面直角坐标系中点P关于原点对称的点P′坐标？1234-4-3-2-1xy1234-4-3-2-1OPP'MM'记作P′(-3，-2)记作P(3，2)△PMO≌△P'M'O1234-4-3-2-1xy1234-4-3-2-1OEBCAD探究：如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点.A'B'C'D'E'A(4，0)，B(0，-3)，C(2，1)，D(-1，2)，E(-3，-4).填表：已知点的坐标A(4,0)B(0,-3)C(2,1)D(-1,2)E(-3,-4)关于原点O对称的点的坐标

A'(-4,0)B'(0,3)C'(-2,-1)D'(1,-2)E'(3,4)观察上表，它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？已知点的坐标A(4,0)B(0,-3)C(2,1)D(-1,2)E(-3,-4)关于原点O对称的点的坐标A'(-4,0)

B'(0,3)

C'(-2,-1)D'(1,-2)

E'(3,4)对称点的横坐标与原横坐标互为相反数，绝对值相等.已知点的坐标A(4,0)B(0,-3)C(2,1)D(-1,2)E(-3,-4)关于原点O对称的点的坐标A'(-4,0)

B'(0,3)

C'(-2,-1)D'(1,-2)

E'(3,4)纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？对称点的纵坐标与原纵坐标互为相反数，绝对值相等.已知点的坐标A(4,0)B(0,-3)C(2,1)D(-1,2)E(-3,-4)关于原点O对称的点的坐标A'(-4,0)

B'(0,3)

C'(-2,-1)D'(1,-2)

E'(3,4)坐标与坐标之间的符号又有什么特点？关于原点对称的两个点，横、纵坐标的符号都相反，绝对值都相同.关于原点对称的点的坐标关系：横坐标、纵坐标的符号相反P'(-x，-y)P(x，y)关于原点对称P'(x，-y)P(x，y)关于x轴对称P'(-x，y)P(x，y)关于y轴对称你能由此归纳出关于原点对称的点的坐标特征吗？对称情况坐标之间的关系表示关于坐标轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数点P(x，y)关于x轴的对称点为P1(x，-y)横坐标互为相反数，纵坐标相同点P(x，y)关于y轴的对称点为P2(-x，y)横、纵坐标都互为相反数点P(x，y)关于原点的对称点为P3(-x，-y)例2

如图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形.1234-4-3-2-1-55xy1234-2-1OBAC(2)由图可知A，B，C三点的坐标分别是什么？A，B，C三点关于原点对称的点的坐标分别是多少？把对称点标在坐标系内并顺次连接；(1)回顾不在平面直角坐标系中，作△ABC关于点O对称的图形是怎样作的？提出问题：解：△ABC的三个顶点：1234-4-3-2-1-55xy1234-2-1OBACB′A′C′A(-4，1)，B(-1，-1)，C(-3，2).关于原点的对称点分别为A′(4，-1)，B′(1，1)，C′(3，-2).依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′.1.找出给定图形上有代表性的点；2.写出这些点关于原点的对称点的坐标；3.在平面直角坐标系中描出对称点；4.顺次连接对称点；利用关于原点对称的点的坐标的特征，作给定图形关于原点对称的图形的一般步骤：知识归纳1．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即P(x，y)关于原点的对称点为_____________．P′(－x，－y)2．在平面直角坐标系中，任一点A(x，y)关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标______，纵坐标互为_______．关于y轴的对称点的横坐标____________，纵坐标______．关于原点对称的点的横、纵坐标都__________．如：点A(x，y)关于x轴的对称点为A′________，关于y轴的对称点为A′′________，关于原点对称的点为___________．相同相反数互为相反数相同互为相反数(x，－y)(－x，y)(－x，－y)例1例题与练习(1)在平面直角坐标系中，点P(7，－8)关于原点的对称点P′的坐标是___________；(2)点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋n)2026＝_______；(3)点M(5，－1)绕原点旋转180°后到达的点的坐标是__________．(－7，8)1(－5，1)例2

四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(5，0),B(－2，3)，C(－1，0)，D(－1，－5)，作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形，并写出各点的对称点的坐标．解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求．点A，B，C，D的对称点的坐标分别为：A′(－5，0)，B′(2，－3)，C′(1，0)，D′(1，5).例3

已知点M(2－a，b)与点N(－b－1，2)关于原点对称，求点M的坐标.解：∵点M(2－a，b)与点N(－b－1，2)关于原点对称，

∴点M的坐标为(－1，－2).1.下列各点中，哪两个点关于原点对称？A(-5，0)，B(0，2)，C(2，-1)，D(2，0)，E(0，5)，F(-2，1)，G(-2，-1).解：C(2，-1)和F(-2，1)关于原点O对称.2.写出下列各点关于原点的对称点A'，B'，C'，D'的坐标.解：A'(-3，-1)，B'(2，-3)，C'(1，2)，D'(-2，3).A(3，1)，B(-2，3)，C(-1，-2)，D(2，-3).3.如图，▱ABCD的对角线相交于原点，其顶点A，B的坐标分别为（-2，2）和（-1，-3）.求其顶点C，D的坐标.C(2,-2)，D(1,3)4．若点P(－20，a)与点Q(b，13)关于原点对称,则a＋b的值是

(

)A．33 B．－33 C．－7 D．75．已知点P(a－3，2b＋4)与点Q(b＋5，3a－7)关于原点对称，则直线y＝ax＋b经过___________象限．D一、三、四6．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作与线段AB关于原点对称的图形．解：线段AB的两个端点的坐标分别为A(1，3)，B(－2，1)，它们关于原点的对称点分别为A′(－1，－3)，B′(2，－1)，连接A′B′，A′B′就是AB关于原点对称的图形．课堂小结1．关于原点对称的点的坐标特征．2．关于原点对称点的坐标特征的运用．随堂检测1、已知点P(a-3，2-a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.C2、若点M(a,2)与点N(3,b)关于原点对称，则a+b的值为（）A.-1 B.1C.5 D.-5D3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC

的顶点A

在第一象限，点B，C

的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC=90，AB=AC，直线AB

交y

轴于点P.

若△ABC

与△A1B1C1

关于点Р

对称，则点A1

的坐标为________.(-4，-5)作业布置(1)教材P105习题28.2第3，4题；(2)对应课时练习．习题28.2人教版九年级数学（上）第28章旋转复习巩固1.分别作出与下列图形关于点O对称的图形：2.下列图形是中心对称图形吗？如果是，指出其对称中心.对称中心：圆心对称中心：图案的中心3.四边形ABCD各顶点坐标分别为A(5，0)，B(－2，3)，C(－3，0)，D(－1，－5)，作出与四边形ABCD关于原点对称的图形.A1(－5，0)B1(2，

－3)C1(3，0)D1(1，5)A(5,0)B(－2,3)C(－3,0)D(－1,－5)A1(－5,0)B1(2,－3)C1(3,0)D1(1,5)4.已知点A(a，1)与点A'(5，b)关于原点对称，求a，b

的值.解：∵点A

与点A'关于原点对称，∴a=-5，b=-1.综合运用5.如图，点O1，O2分别是两个半圆的圆心，这个图形是中心对称图形吗？如果是，指出对称中心；如果不是，说明理由，解；这个图形是中心对称图形.

对称中心为O1O2的中点．因为把该图形绕对称中心旋转180°后能与原来的图形重合，所以此图形是中心对称图形.6.如图，已知△ABC，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以AC，AB为邻边的平行四边形？解：如图所示，以BC边的中点O为旋转中心，将△ABC顺时针（或逆时针）旋转180°可得到以AC，AB为一组邻边的平行四边形，7.如图，能否通过平移、轴对称或旋转，由△ABC得到△DEC？解：左图中的△DCE是由△ACB绕点C顺时针旋转90°得到的；右图中的△DCE

是由△ACB绕点C顺时针旋转90°，然后以BC边为对称轴翻折得到的.8.有一块邻边长分别为10m，6m的矩形园地，要在园地上开辟一个花坛，使花坛面积是园地面积的一半，并且花坛形状是中心对称图形，该如何设计（提供两种设计方案）？10m6m9.在平面直角坐标系中，作点A（-3，2）关于x轴的对称点B，再作点B关于y轴的对称点C，写出点C的坐标，点A与点C有何关系？由此，你能发现什么？C(3，-2)关于原点对称点(x,y)先对x轴、再对y轴对称后，得到点(-x,-y)，即与原点对称.拓广探索10.如图，过菱形对角线交点的一条直线，把菱形分成了两个梯形，这两个梯形全等吗？为什么？全等菱形是中心对称图形，对称中心为菱形对角线的交点O，如图所示，故四边形ABFE与四边形CDEF成中心对称，成中心对称的两个图形全等.则有AO=OC，BO=OD，OE=OF.11.如图，△ADE和△CBF是□ABCD外的两个等边三角形，用旋转的知识说明△ADE和△CBF成中心对称.解：连接AC，BD交于点O，易知△ADE绕点O逆（或顺）时针旋转180°后得到△CBF，所以△ADE和△CBF成中心对称.O作业布置完成对应课时练习．复习题28人教版九年级数学（上）第28章旋转复习巩固1.如图所示的图案是由什么基本图形经怎样的旋转得到的？解：如图是由一个直角三角形绕中心O顺（或逆）时针依次旋转90°，旋转三次得到的.O2.如图，把Rt△ABC以点S为中心顺时针旋转30°，画出旋转后的图形.解：如图所示.3.如图，点O是正方形ABCD的中心.（l）分别指出图中成中心对称的三角形；△AOB与△COD成中心对称；△AOD与△BOC成中心对称；△ABC与△ADC成中心对称；△ABD与△BCD成中心对称.（2）图中哪些三角形可以由其他三角形旋转得到？指出其旋转角.快和小伙伴们说说吧！比一比，看谁说的又快又准。4.在美术字中,有些汉字或字母是中心对称图形,图中的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，标出它们的对称中心.解：除第1个外，其他都是中心对称图形.对称中心O如图所示.5.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,3)，点B的坐标为(-5,0).（1）写出点A，B关于原点的对称点A'，B'的坐标；A'(2,-3)B'(5,0)（2）画出四边形入ABA'B'，求出其面积.A'(2,-3)B'(5,0)

BB'=5-(-5)=10,

所以S四边形ABA'B'=S△ABB'+S△A'BB'=15+15=30.综合运用6.下列图形中，哪个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形？7.已知线段AB，用平移、轴对称或旋转完成以下要求：（1）画出一个以这条线段为一边的正方形；（2）画出一个以这条线段为一边的等边三角形;（3）画出一个以这条线段为一边，一个内角是30°的菱形.AB（1）①以A点为旋转中心，将BA按逆时针方向旋转90°到DA.②以B点为旋转中心，将AB按顺时针方向旋转90°到CB.注意与①中旋转在AB同侧.③连接CD，四边形ABCD即为所求的正方形.（2）①以A点为旋转中心，将BA按逆时针方向旋转60°到CA.②连接BC，三角形ABC即为所求的等边三角形.（3）①以A点为旋转中心，将BA按逆时针方向旋转30°到DA.②连接BD，作A点关于线段BD的对称点C.③连接BC，CD，四边形ABCD即为所求的菱形.8.如图，△ABC

和△ECD都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，△EBC可以看作△DAC经过平移、轴对称或旋转得到的.（1）说明得到△EBC

的过程；解:(1)已知△ABC和△ECD都是等边三角形，

已知△ABC是等边三角形，（2）由（1）知△DAC≌

△EBC，

（2）若∠ABE=36°,求∠DAC和∠ADE的度数.

9.观察图（1）中各图的四个阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面积有什么共同特征？在图（2）中设计图案，使它也具备上述特征.（2）拓广探索10.如图，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD、你能画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分吗？画一画，并说明理由.ABCFED解：如图所示，连接BF，AE交于点O，连接BD,EC交于点P，连接OP，则直线OP即为所求.理由：矩形和菱形都是中心对称图形，过对称中心的直线能把它们分成全等的两部分，这两部分面积相等.ABCFEDOP11.如图，直线l1，l2相交于点O，图形G1与图形G关于直线l1对称，图形G2与图形G1关于直线l2对称.图形G2可以由图形G旋转得到吗？如果能，指出旋转中心和旋转角.可以旋转中心：点O；旋转角：直线l1与l2夹角的2倍.作业布置完成对应课时练习．数学活动人教版九年级