人教版九年级上册数学第30章《直线与圆的位置关系》教学课件（新教材）

教

学

课

件人教版九年级上册数学（新教材）30.1直线与圆30.1.1直线与圆相离、相切、相交人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系新课导入请同学们在纸上画一条直线l，把硬币看作圆，在纸上移动硬币，观察直线和圆的公共点个数的变化情况．你能看出公共点最少有几个，最多有几个吗？探究新知如图，在纸上画一条直线

l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，你能将直线和圆的位置关系进行分类吗？说说你分类的依据？l(地平线)2个1个0个直线和圆的公共点个数有_____种情况.3你能总结出直线与圆的位置关系了吗？OOO2个公共点1个公共点0个公共点直线与圆相交割线2个交点直线与圆相切切线1个交点直线与圆相离没有交点位置关系公共点个数OOO直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离rrr思考：设⊙O的半径为r，圆心О到直线l的距离为d.在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系?d<rd=rd>r位置关系数量关系ddd反过来，由数量关系联想到图形，得出：d＜r，则直线l1与⊙O相交；d＝r，则直线l2与⊙O相切；d＞r，则直线l3与⊙O相离.

l3l2l1dddr判定直线与圆的位置关系的方法：（1）定义；（2）d与r的大小关系.知识归纳1．直线与圆有____个公共点时，该直线和圆相交，直线叫作圆的______．2．直线与圆有______个公共点时，该直线和圆相切，直线叫作圆的_____，这个点叫作_____．两割线一切线切点3．直线与圆有___个公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l与⊙O相交⇔_______；直线l与⊙O相切⇔_______；直线l与⊙O相离⇔_______．零d<rd＝rd＞r例1例题与练习在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝2cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．ACB解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵AB＝4cm，BC＝2cm，

(1)当r＝1.5cm时，⊙C与AB相离；

(3)当r＝2cm时，⊙C与AB相交．例2如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2.当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？BAC解：过点O作OD⊥AB于点D.∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°.

当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝r＝2，即x＝2，解得x＝4.∴BO＝4.∴当0<x<4时，AB所在的直线与⊙O相交；

当x＝4时，AB所在的直线与⊙O相切；

当x>4时，AB所在的直线与⊙O相离．1.圆的直径是13cm，如果圆心与直线的距离分别是：（1）4.5cm（2）6.5cm；

（3）8cm.那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？解：（1）相交，有2个公共点；

（2）相切，有1个公共点；（3）相离，没有公共点.2.如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，OM＝5cm，判断直线OA与以点M为圆心，下列r为半径的圆的位置关系：(1)r＝2cm;(2)r＝4cm;(3)r＝2.5cm.

3．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相切，则以d，r为根的一元二次方程可能为

(

)A．x2－4x＝0

B．x2＋6x＋9＝0C．x2－3x＋2＝0D．x2－4x＋4＝0D

相切5.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过_______s后，⊙P与直线CD相切．4或8课堂小结直线与圆相离、相切、相交

随堂检测

DD3.已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法判断4.直线l与半径为r的⊙O相离，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是()A.r＜6B.r=6C.r＞6D.r≥6CA作业布置学生用书对应课时练习．30.1直线与圆30.1.2圆的切线人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系新课导入在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是______、______、______.相交相切相离探究新知如果直线

l是⊙O的切线，切点为

A

，那么半径

OA与直线

l是不是一定垂直呢？用什么方法证明呢？证明：假设AO与l不垂直，过点

O作

OP⊥l，垂足为

P；理由：直径AO与直线l

要么垂直，要么不垂直.∴

OP＜OA，∴

l与⊙O

相交，与已知条件相矛盾；∴假设不成立，故

AO

与l垂直.证法：反证法切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径．∵直线

l是⊙O

的切线，A

是切点，∴直线

l⊥OA.几何符号表达：l.OA圆的切线和圆只有一个公共点.圆心到切线的距离等于半径.圆的切线垂直于过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.归纳总结AlO如图，△ABC

为等腰三角形，O是底边

BC的中点，腰

AB

与⊙O相切于点

D．求证：AC是⊙O的切线．分析：无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE=OD).E案例分析证明：如图，连接

OD，OA，过

O作

OE⊥AC于

E.∵⊙O与

AB相切于

D，又∵△ABC为等腰三角形，O是

BC的中点，∴AO平分∠BAC.∴OE=OD.∴点

O到AC的距离等于⊙O的半径.∴AC是⊙O的切线．E∴OD⊥AB.∵OD是⊙O

的半径，有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA.OAl（1）圆心O到直线

l的距离是多少？圆心O到直线l的距离d=半径r（2）直线l和⊙O有什么位置关系？相切切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OAlr注

意1.直线l经过半径r的外端点A.2.直线l

垂直于半径r.判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.（）⑵垂直于半径的直线是圆的切线.（）⑶过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.（）⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（

）×利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可:

(1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.××√√判一判(1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？能画几条？l第一步：连接OA；.O.A能画1条。第二步：过A点作OA的垂线l.即为圆的切线(2)观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？左图:直线l过半径的外端，但不与半径垂直，所以不是圆的切线。右图:直线l与半径垂直，但不过半径的外端，所以也不是圆的切线。切线判定的两个关键点要判定一条直线是圆的切线，必须同时满足以下两个条件:1.直线经过半径的外端(与圆有公共点);2.直线与这条半径垂直。1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆的相切.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：OAlOAlOAldr3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切.如图，以线段

AB为直径作

⊙O，交射线AC于点

C，

AD平分∠CAB

交

⊙O于点

D

作直线

DE⊥AC

于点

E，交

AB

的延长线于点

F.连接

BD

并延长交

AC

于点

M.

求证：

直线

DE

是⊙O的切线.练一练证明：连接

OD.∵AD平分∠CAB，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=∠DAC.∴OD∥AC.又∵DE⊥AC

，∴∠ODF=∠AED=

90°，

即直线

DE

是⊙O的切线.

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？OPAB发现：①PA=PB②PO平分∠APB探究OPAB证明：如图，连接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB，OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB，∠APO=∠BPO请证明你所发现的结论.证明：连接

OA、OB.∵PA，PB与

⊙O相切，点

A，B是切点.∴

OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.已知：如图PA

与

PB

是☉O

的两条切线，A、B

为切点.求证：△PAO≌△PBO，PA=PB，∠APO=∠BPO.试用文字语言叙述你所发现的结论.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA、PB分别切☉O于

A、B，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.OBAPECD（3）写出图中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形；△ABP△AOBOBAPECD切线长定理运用的基本模型：（1）分别连接圆心和切点（2）连接两切点（3）连接圆心和圆外一点OBAP切线的性质：1.圆的切线和圆只有一个公共点.2.圆心到切线的距离等于半径.3.圆的切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.练一练

B2.(天津)如图，已知

AB

为⊙O的直径，PA，PC

是

⊙O的切线，A，C

为切点，∠BAC

=

30°.(1)

求∠P

的大小；(2)

若

AB

=

2.

求

PA

的长

(结果保留根号).解：(1)

PA

是⊙O的切线，AB

为⊙O的直径，∴PA⊥AB.∵∠BAC

=

30°，∴∠CAP

=

90°-∠BAC

=

60°.又∵PA、PC

切⊙O于点

A、C，∴PA

=

PC.∴△PAC

为等边三角形.∴∠P

=

60°.∴∠BAP

=

90°.

知识归纳1.切线的性质：(1)切线和圆只有____个公共点；(2)切线到圆心的距离等于______；(3)圆的切线________过切点的半径．一半径垂直于2.切线的判定定理：经过半径的____并且______这条半径的直线是圆的切线．3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常是连接______和______，得到半径，那么半径________切线．外端垂直于圆心切点垂直于4.过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和______之间的线段长，叫作这点到圆的切线长．5.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____，并且这一点和圆心的连线____两条切线的夹角．切点相等平分例1例题与练习

如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.1CABODE证明：连接OA,OD,作OE⊥AC于E

.∴∠OEC=90°.

∵

AB是⊙O的切线,∴∠ODB=90°=∠OEC.

∵AB=AC

,

∵O是BC的中点，∴△OBD≌△OCE(AAS),∴OD=OE

.

1CABOD∴OD⊥AB.∴OB=OC

.

∴AC与⊙O相切.∴∠B=∠C.

方法二：证明：连接OA,OD,作OE⊥AC于E

.

∵

⊙O与AB相切于E,又∵△ABC为等腰三角形，

O是底边BC的中点，∴AO平分∠BAC,∴OD=OE，即OE是⊙O半径.∴AC是⊙O的切线.E1CABO方法总结：

无交点，作垂直，证半径.D∴OD⊥AB.例2如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．APBO证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA.又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC＝OD.∴直线PB与⊙O相切．例3如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.ABOCD证明：连接OC.∵⊙O和直线CD相切∴AD∥OC.∵AD⊥CD，∴∠DAC＝∠CAO.∴OC⊥CD.∴∠ACO＝∠CAD.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC.∴AC平分∠DAB.1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB.求证：AC是⊙O的切线.证明：∵

AC=AB，∴∠C=∠ABC=45°，∴∠CAB=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线AB.OC2.如图,

AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A,B是切点.l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.解：

l1∥l2.证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，∴AB⊥l1，∴

l1∥l2.AB.Ol2l1∴AB⊥l2，3.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点，求证：AP＝BP.OABP

证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP(垂径定理).4．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是

(

)A．相离B．相切

C．相交D．不能确定B5．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于____时，AC才能成为⊙O的切线．60°6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝____．40°课堂小结切线的判定方法定义法数量关系判定定理→1个公共点→d=r,相切证切线常作辅助线：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线→切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径→→有切线常作辅助线：见切线，连切点，得垂直.切线长定理原理作用辅助线→图形的轴对称性→提供了证线段和角相等的新方法①分别连接圆心和切线；②连接两切点；③连接圆心和圆外一点.→随堂检测1.如图，AB是⊙O的直径，BC

是⊙O的切线，若∠BAC=35°，则∠ACB的大小是()A.35° B.45°C.55° D.65°C2.如图，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13,

AP=12，则PA与☉O的位置关系是

.相切3.如图，AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线,交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.证明：连接OD.∴∠EAD=∠DAO.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.

又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.ABOCDE∵AD是∠BAC的平分线,又∵OA=OD.∴OD∥AC.∴∠E=90°.即DE⊥AC.作业布置学生用书对应课时练习．30.1直线与圆习题30.1人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系复习巩固

综合运用

8.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB//CD，BO=6,CO=8.求BC的长.

解：连接OD。

拓广探索11.如图，在Rt△ABC中，

∠CAB=90°,D为AC的中点，以AB为直径的⊙O交BC于点E.

求证:DE是O的切线.

作业布置完成对应课时练习．30.1直线与圆30.2三角形的内切圆人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系新课导入同学们玩过悠悠球(如图①)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽象出什么样的数学图形？这些图形的位置关系是怎样的？如图①如图②探究新知思考：如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢?ABC如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.

⊙O就是所求的圆.OD．o1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.ABC内切圆内心外切三角形→三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等↓名称外心内心图形性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三条边的距离相等位置外心不一定在三角形内部内心一定在三角形内部角度关系∠BOC=2∠A三角形外心、内心的区别：知识归纳1.与三角形各边都______的圆叫作三角形的内切圆．2.三角形内切圆的圆心是三角形______________的交点，叫作三角形的______，它到三边的距离______．这个三角形叫作圆的外切三角形．相切三条角平分线内心相等例1例题与练习如图，△ABC的内切圆

☉O与

BC、CA、AB分别相切于点

D，E，F，且

AB=9，BC=14，CA=13，求

AF、BD、CE的长.AF=AEBF=BDCD=CE

☉O为三角形内切圆

设未知数求解解：设

AF=x，则

AE=x.∴CE=CD=AC-AE=9-

x，

BF

=

BD=AB

-

AF

=

13

-

x.由BD+CD=BC，可得(13

-

x)+(9

-

x)=14，∴AF=4，BD=9，CE=5.解得

x=4.解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.总结例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角板与圆相

切且测得PA＝5cm,求铁环的半径．解：如图，对图形进行标注，连接OA，ON，OP.在△OPA和△ONA中，OP＝ON，ON⊥AC，OP⊥PB，OA＝OA，∴Rt△OAP≌Rt△OAN.∴AP＝AN.∵在Rt△ABC中，∠BCA＝30°，∴∠CAB＝60°.∵∠PAC＋∠CAB＝180°，∴∠PAC＝120°.∵∠OAP＝∠OAN，∴∠OAP＝60°.∵PA＝5cm，

例3如图，PA，PB分别切⊙O于点

A，B，BC为⊙O的直径．(1)求证：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝8cm，求AC的长．ABOCP解：(1)连接OA.∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PO平分∠APB.∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，∴∠POA＝∠POB.∵OA＝OC，∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，∴∠BOA＝2∠OCA.∵∠BOA＝∠POA＋∠POB＝2∠POB，∴∠POB＝∠OCA.∴AC∥OP.∴∠OAC＝∠OCA.ABOCP(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形，∴∠PBA＝60°.由(1)，得∠PBO＝90°，∴∠ABO＝30°.∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∵BC＝8cm，∴AC＝4cm.1.如图，四边形

ABCD的各边与⊙O

分别相切于点

E,F,G,H，求证：AB+DC=AD+BC。证明：根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。∵AB,AD

是从点

A

引的两条切线，∵BA,BC

是从点

B

引的两条切线，∵

CB,CD是从点

C引的两条切线，∵

DC,DA

是从点

D

引的两条切线，因此：AB+DC=(AE+BE)+(DG+CG)

=(AH+BF)+(DH+CF)

=(AH+DH)+(BF+CF)=AD+BC∴

CF=CG∴

AE=AH∴

BE=BF∴

DG=DH2.如图，在△ABC

中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点

O

是△ABC

的内心，求∠BOC

的度数.解：∵

O

是△ABC

的内心，∴

BO

平分∠ABC，CO

平分∠ACB

在△BOC中：∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37.5°=117.5°答：∠BOC的度数为117.5°。3.△ABC的内切圆半径为

r，周长为

l，求△ABC的面积。(提示:设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC.)解：设△ABC的内心为O，连接

OA,OB,OC。∵内切圆与三边分别相切，圆心O到三边的距离均为半径

r。

C5．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心．若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为

(

)A．130°B．120°C．100°D．90°A6．如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F.

若△ABC的周长为20，

则AE＝____．10课堂小结三角形内切圆有关概念应用→内心概念及性质运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.→随堂检测1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为()A.3cm B.4cmC.5cm D.9cmC2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为____.113.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为切点，若VP=3cm，则VQ=

cm.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝

cm.3

作业布置学生用书对应课时练习．习题30.2人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系复习巩固

OABCDEF解：根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

OABCDEF

OABCDEF综合运用

拓广探索

作业布置完成对应课时练习．30.3正多边形与圆人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系新课导入前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？正多边形和圆有什么关系呢？探究新知问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?都是各边相等，各内角相等的多边形问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?

什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？思考图形名称边的关系角的关系……………………四条边相等三个角相等(60°)三条边相等四个角相等(90°)六条边相等五个角相等(108°)五条边相等六个角相等(120°)正三角形正四角形正五角形正六角形正多边形及有关概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.正多边形的概念：矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？矩形

不符合各边相等菱形

不符合各角相等正方形

是正多边形练一练正多边形各边相等各角相等缺一不可你还能找出哪些正多边形呢？注意3条4条5条6条正多边形都是

图形，一个正n边形共有___条对称轴，每条对称轴都通过n边形的

.边数是偶数的正多边形还是

，它的中心就是对称中心.轴对称n中心中心对称图形有没有对称轴？想一想你知道正多边形与圆的关系吗？把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？弧相等弦相等圆周角相等（多边形的边相等）（多边形的角相等）多边形是正多边形如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形.∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆.我们以圆内接正五边形为例证明.证明：∵AB=BC=CD=DE=EA⌒⌒⌒⌒⌒∴BCE=CDA=3AB⌒⌒⌒OABCDEOABCDE

正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形.思考1.下列说法正确的是（

）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形C练一练2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么对这个四边形描述最准确的是（

）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形C3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.又∵∠BAC=36°，

又∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°.

∴五边形AEBCD是正五边形.证明一个多边形是正多边形的方法：证明多边形的各角都相等，各边都相等.证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等.O圆心半径圆心角弦心距弦O中心半径边心距中心角类比学习圆内接正多边形外接圆的圆心外接圆的半径正多边形的每一条边所对的圆心角弦心距正多边形的中心正多边形的半径正多边形的中心角正多边形的边心距正n边形的一个内角的度数是________________；

中心角是___________；正多边形的中心角与外角的

大小关系是________；正多边形的中心角与内角的

大小关系是________.相等互补想一想

有一个亭子，它的地基半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1m2).因此，亭子地基的周长l=4×6=24(m).

O与正多边形有关的计算利用勾股定理，可得边心距亭子地基的面积

O

添加辅助线的方法：连半径，得中心角；作边心距，构造直角三角形圆内接正多边形的辅助线边心距r半径R中心角一半边长一半方法归纳1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（

）A.3

B.6C.8

D.12D练一练2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为_____________.30°或150°实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周.正多边形的画法操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边形？你是怎么画的？操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正六边形。动手操作

O60°60°F60°E60°D60°C60°AB解：方法1（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O

；（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．

ABOCDEF方法2（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O；（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．还有其他方法吗？对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．ABOCDEF方法3先作一个⊙O，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．你能用以上方法画出正三边形、正四边形、正五边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABC·90°72°120°知识归纳1．把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的正多边形就是这个圆的______________，这个圆叫作这个正多边形的________．2．正多边形的_______________叫作正多边形的中心．内接正多边形外接圆外接圆的圆心3．______________叫作正多边形的半径．4．正多边形每一边所对的_________叫作正多边形的中心角．5．______到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距．外接圆的半径圆心角中心例1例题与练习如图，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．依次连接ABCDE形成五边形．

问：五边形ABCDE是正五边形吗？

如果是，请证明你的结论．解：五边形ABCDE是正五边形．证明如下：

∴∠A＝∠B；同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴五边形ABCDE是正五边形．例2已知正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积．

∴△OBA是等边三角形．∴AB＝OA＝R.

1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.

.O2.用等分圆周的方法画出下列图案:

D

60°2

课堂小结正多边形的性质正多边形的有关概念正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距中心半径边心距中心角正多边形的对称性正多边形的画法随堂检测

C2.如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是___________.

作业布置学生用书对应课时练习．习题30.3人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系复习巩固1.完成下表中有关正多边形的计算:正多边形边内角中心角半径边长边心距周长面积360°46

120°120°

222211

812

4

2.要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，所选圆形铁片的半径至少是多少？

3.正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？

中心对称性：

综合运用

6.如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积。

因此，亭子地基的周长l=4×6=24(m).

O利用勾股定理，可得边心距亭子地基的面积

O

8.用48m长的篱笆围成正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种方案面积最大？

拓广探索

O

作业布置完成对应课时练习．复习题30人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系复习巩固1.选择题.(1)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，所作切线与BA的延长线交于点P，

∠B=20°，则∠P=().(A)20°(B)25°(C)40°(D)50°D(2).如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，

∠P=70°，则∠C=()(A)70°(B)55°(C)110°(D)140°B(3)尝试以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则().(A)不能作出三角形(C)能作出直角三角形(B)能作出等腰三角形(D)能作出钝角三角形C

综合运用6.如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理。

拓广探索

F

F

作业布置完成对应课时练习．小

结人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系活动1

纸条平结平结是一种古老、实用的结索，以一线(或一物)为轴，将另一线的两端绕轴穿梭而成，是中国结(图1)的基本结之一.“平”有高低

相等、不相上下之意，同时又有稳定

的含义，给人以四平八稳之感.利用纸条平结可以得到多种几何图形。例如，我们可以将一根足够长的矩形纸条打一个简单的结，收紧并按压平整，就得到了一个五边形(图2).分别用刻度尺和量角器测量一下这个五边形的各边长和各内角度数，你有什么发现?你能证明你的发现吗?活动2利用等分圆周设计图案许多图案设计都和圆有关，图3是北京大兴国际机场一种地砖的图案，形如展翅的凤凰，图4是一些利用等分圆周设计出的图案，如图5，利用等分圆周得到的正多边形，也可以设计出一些图案.你能画出其中的一些图案吗?请你再利用圆或正多边形设计一些图案，并与同学交流.作业布置学生用书对应课时练习．小

结人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系知识模块一直线与圆相离、相切、相交OOO2个公共点1个公共点0个公共点直线与圆相交割线2个交点直线与圆相切切线1个交点直线与圆相离没有交点位置关系公共点个数OOO直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离rrr思考：设⊙O的半径为r，圆心О到直线l的距离为d.在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系?d<rd=rd>r位置关系数量关系ddd反过来，由数量关系联想到图形，得出：d＜r，则直线l1与⊙O相交；d＝r，则直线l2与⊙O相切；d＞r，则直线l3与⊙O相离.

l3l2l1dddr判定直线与圆的位置关系的方法：（1）定义；（2）d与r的大小关系.知识模块二圆的切线切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径．∵直线

l是⊙O

的切线，A

是切点，∴直线

l⊥OA.几何符号表达：l.OA圆的切线和圆只有一个公共点.圆心到切线的距离等于半径.圆的切线垂直于过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线