2026年（北师大版）高中数学必修五第8讲-正弦定理和余弦定理 含解析

/正弦定理和余弦定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即中，若所对的边分别为则____________解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其________分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有__________解；已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。正弦定理的常见公式拓展：=1\*GB3①（为的外接圆半径）=2\*GB3②（边化角公式）=3\*GB3③(角化边公式)=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥余弦定理=1\*GB3①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。=2\*GB3②定义式：________________________余弦定理的变形式和特例=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥余弦定理可以解决的两类三角形问题已知三边长，求三个内角；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。例1：（2015山东潍坊一中月考）在中，已知则等于（）A.B.C.D.练习1：在中，若,,则()练习2：在中，已知求例2：在中，若试求练习3：在中，若试求练习4：在中，若试求规律总结：已知边求角时，需运用正弦定理余弦定理公式及公式的变形。类型二：已知三角形两边及其中一角，解三角形；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。例3：(2014北京高考)在中，则=（）A.B.C.D.练习5：（2015广东六校联盟第三次联考）)在中，则此三角形的最短边的长度是__________练习6：（2014广东深圳模拟）已知分别为内角所对的边，且则的值_________例4：设的内角所对的边分别为若则角为（）A.B.C.D.练习7：在△ABC中，b＝5，c＝5eq\r(3)，A＝30°，则等于()A.5B.4C.3D.10练习8：在△ABC中，已知，则角A等于()类型三：判断三角形形状及面积例5：（2015辽宁锦州月考）在中分别为内角所对的边，若则的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上皆有可能练习9：在中，如果则的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形练习10：在中，如果,则的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形例6：在中，则的面积为____练习11：在中，则的面积等于多少例7：(2014·江西理)在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()A.3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D.3eq\r(3)练习12：以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)练习13：若2、3、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为________．规律总结：做这块的类型题，熟练应用正弦定理公式变形，面积的求解时需考虑三角形本身的角度问题。1.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC等于()A．3－eq\r(3)B．eq\r(2)C．2 D．3＋eq\r(3)2.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)3.已知△ABC外接圆半径是2cm，∠A＝60°，则BC边的长为__________．4.在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝eq\r(2)，则边a＝________.5．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，求边BC的长．6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)7.在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(\r(5),5)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.在中，若，，则＝________.2.在中，若，则＝________；＝________.3.在中，(1)求的值；(2)求的值．4．等腰三角形的周长为8，底边为2，则底角的余弦等于（）A.B.C.D.5．在△中，已知，则等于（）A.B.C.D.6.在△中，角的对边分别为，已知，则（）A.B.C.D.7.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求能力提升8.在△中，角所对的边分别为，若,则△为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形9.在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是()A．B．C．D．10．在△中，内角的对边分别为若，且，则＝()A．B．C．D．11．设分别是△中所对边的边长，则直线与的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直12．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则AC边上的高为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2)D.3eq\r(3)13.在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形 D．直角三角形14.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a、c的值；(2)求sin(A－B)的值．15．在△中，如果判断三角形解的情况．16.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．17．在△中，内角的对边分别为已知(1)求的值；(2)若，求△的面积．18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面积为eq\r(3)，求a、b的值；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．正弦定理和余弦定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即中，若所对的边分别为则解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有唯一解；已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。正弦定理的常见公式拓展：=1\*GB3①（为的外接圆半径）=2\*GB3②（边化角公式）=3\*GB3③(角化边公式)=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥余弦定理=1\*GB3①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。=2\*GB3②定义式：余弦定理的变形式和特例=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥余弦定理可以解决的两类三角形问题已知三边长，求三个内角；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。例1：（2015山东潍坊一中月考）在中，已知则等于（）A.B.C.D.解析：由已知可得由得，故选C答案：C练习1：在中，若,,则()答案：B练习2：在中，已知求答案：例2：在中，若试求解析：由余弦定理的变形公式，得因为所以答案：练习3：在中，若试求答案：练习4：在中，若试求答案：规律总结：已知边求角时，需运用正弦定理余弦定理公式及公式的变形。类型二：已知三角形两边及其中一角，解三角形；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。例3：(2014北京高考)在中，则=（）A.B.C.D.解析：根据得，代入数值得,故选B答案：B练习5：（2015广东六校联盟第三次联考）)在中，则此三角形的最短边的长度是__________答案：练习6：（2014广东深圳模拟）已知分别为内角所对的边，且则的值_________答案：例4：设的内角所对的边分别为若则角为（）A.B.C.D.解析：由正弦定理知代入得由余弦定理知故选B答案：B练习7：在△ABC中，b＝5，c＝5eq\r(3)，A＝30°，则等于()A.5B.4C.3D.10答案：A练习8：在△ABC中，已知，则角A等于()答案：C类型三：判断三角形形状及面积例5：（2015辽宁锦州月考）在中分别为内角所对的边，若则的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上皆有可能解析：由正弦定理及已知条件得而故,整理得又因为所以即所以是直角三角形。答案：C练习9：在中，如果则的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：A练习10：在中，如果,则的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：A例6：在中，则的面积为____解析：由正弦定理知所以,当时,当时，答案：练习11：在中，则的面积等于多少答案：例7：(2014·江西理)在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()A.3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D.3eq\r(3)解析：由题设条件得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理得a2＋b2－c2＝ab，∴ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).选C．答案：C练习12：以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)答案：锐角练习13：若2、3、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为________．答案：(eq\r(5)，eq\r(13))规律总结：做这块的类型题，熟练应用正弦定理公式变形，面积的求解时需考虑三角形本身的角度问题。1.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC等于()A．3－eq\r(3)B．eq\r(2)C．2 D．3＋eq\r(3)答案：A2.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案：D3.已知△ABC外接圆半径是2cm，∠A＝60°，则BC边的长为__________．答案：2eq\r(3)cm4.在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝eq\r(2)，则边a＝________.答案：15．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，求边BC的长．答案：BC＝3eq\r(2).6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案：B7.在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(\r(5),5)答案：C__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.在中，若，，则＝________.答案：30°2.在中，若，则＝________；＝________.答案：3.在中，(1)求的值；(2)求的值．答案：4．等腰三角形的周长为8，底边为2，则底角的余弦等于（）A.B.C.D.答案：C5．在△中，已知，则等于（）A.B.C.D.答案：C6.在△中，角的对边分别为，已知，则（）A.B.C.D.答案：B7.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求答案：b＝eq\r(19).能力提升8.在△中，角所对的边分别为，若,则△为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形答案：A9.在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是()A．B．C．D．答案：D10．在△中，内角的对边分别为若，且，则＝()A．B．C．D．答案：A11．设分别是△中所对边的边长，则直线与的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直答案：C12．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则AC边上的高为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2)D.3eq\r(3)答案：B13.在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形 D．直角三角形答案：B14.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a、c的值；(2)求sin(A－B)的值．答案：(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB得，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9)，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(7,9)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(2),9).由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2\r(2),3)，∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3).∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(7,9)－eq\f(1,3)×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(10\r(2),27).15．在△中，如果判断三角形解的情况．答案：解法一：由题意知：∴此题无解．解法二：由正弦定理得：∴此题无解．16.已知圆内接四边形ABCD的