4.2.2 证明举反例-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

新湘教版八年级上册数学第4章

三角形4.2.2证明，举反例学习目标1．通过具体事例掌握举反例，证明，反证法等概念．2．会判断一个命题的真假，并会给假命题举出反例．3．通过具体例题，体会反证法的意义，学会用反证法解决特殊问题．任务导入如何判断一个命题是假命题呢？若a是有理数，则a是整数有理数的绝对值是正数0.1是有理数，但不是整数0的绝对值是0，不是正数假命题假命题对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.探索展示(1)若a2=b2，则a=b；(2)一个角的余角大于这个角；(3)若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|；(4)如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角.用举反例的方法说明下列命题是假命题.(2)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°，因此“一个角的余角大于这个角”是假命题.解：(1)12=(-1)2，但是1≠-1，因此“若a2=b2，则a=b”是假命题.(3)设a=2,b=-1，|2+(-1)|≠|2|+|-1|，因此“若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|”是假命题.(4)在等腰△ABC中，∠A=∠B=70°，∠C=40°，但∠A与∠B不是对顶角，因此“如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角”是假命题.应用提升例1命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题？∴“如果

ab=0，那么a=0”是假命题.解：∵1×0=0，但是1≠0应用提升课堂练习1.命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题还是假命题？解：假命题.（只有当两条直线互相平行，则同位角相等.）探索展示如何判断一个命题是真命题呢？判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明.(1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.(2)证明的每一步都必须要有根据.应用提升例2证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么a2+b2≠0.证：∵a≠0∴a2为正数又∵b2为正数或0∴a2+b2

是正数从而a2+b2≠0同理可得，若b≠0，则a2+b2≠0应用提升课堂练习2.证明：在同一平面内，如果直线a

∥

b，l⊥a，那么l⊥b.abl12证：如图，∵a∥

b，∴∠1=∠2∵l⊥a∴∠1=90°从而∠2=90°∴l⊥b应用提升例3

△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”应分三种情况进行证明.我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论.比较繁琐证：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°则∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°这与“三角形的内角和等于180°”矛盾故假设不成立因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°应用提升当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题是正确的.这种证明方法叫作反证法.反证法基本步骤(1)假设命题不成立(2)导出矛盾(3)肯定结论用反证法证明时，导出矛盾的几种可能：(1)与原命题的条件矛盾；(2)与假设矛盾;(3)与定义、公理、定理、性质矛盾；(4)与客观事实矛盾.应用提升例4证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么a2+b2≠0.用反证法证明证：假设如果实数a≠0或实数b≠0，那么a2+b2=0若a≠0，则a2为正数b2定为正数或0从而a2+b2

一定是正数同理可得，若b≠0，则a2+b2≠0这与“如果实数a≠0或实数b≠0，那么a2+b2=0”矛盾故假设不成立因此，如果实数a≠0或实数b≠0，那么a2+b2≠0.应用提升课堂练习3.用反证法证明：如果ab=0，那么a=0或b=0.证：假设如果ab=0，那么a，b均不等于0当a≠0且b≠0时ab≠0这与“ab=0”矛盾，故假设不成立因此，如果ab=0，那么a=0或b=0课堂小结导图复盘证明、举反例├─举反例│对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题├─证明│运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.└─反证法├─(1)假设命题不成立├─(2)导出矛盾└─(3)肯定结论当堂检测1.能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是(

)A.

B.

C.

D.

当堂检测2.

用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是(

)A.

三角形中最少有一个角是直角或钝角B.

三角形中没有一个角是直角或钝角C.

三个角全是直角或钝角D.

三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角3.

用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是(

)DA.

三角形中最少有一个角是直角或钝角B.

三角形中没有一个角是直角或钝角C.

三个角全是直角或钝角D.

三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角返回情景导入下列命题哪些正确？哪些错误？（1），（2）（3）是错的，（4）是正确的.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；

（4）同角的补角相等.情景导入我们把正确的命题称为真命题把错误的命题称为假命题探究新知判断下列命题是真命题还是假命题(1)相等的角是对顶角(2)内错角相等(3)大于90度的角是平角(4)如果a>b，b>c，那么a>c真命题假命题假命题假命题例题讲解探究新知1、同旁内角互补，两直线平行.2、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.假3、如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.假说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.探究新知像此例那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.（1）如果a是整数，那么a是有理数；解

如果a是整数，根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”，得出a是实数.因此命题(1)为真．探究新知像此例那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.（2）如果a是有理数，那么a是整数解0.5是有理数，因此命题(2)为假．但是0.5不是整数.探究新知判断下列命题为真命题是根据什么呢？说一说是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断．（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果三角形ABCD是等边三角形，那么它是等腰三角形．探究新知从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？探究新知数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。探究新知古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.欧几里得结论探究新知小知识欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系．（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.)探究新知举例：

本书中常用的基本事实：过两点有且只有一条直线.（2）两点之间，线段最短.（1）（3）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.探究新知举例：定理：同角或等角的补角相等.（2）余角的性质：同角或等角的余角相等.（4）垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（1）补角的性质：（3）对顶角的性质：对顶角相等②垂线段最短.内错角相等，两直线平行.（5）平行线的判定定理：探究新知

定理也可以作为判断其他命题真假的依据,由某

定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.在图2-15中，外角∠ACD和与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？根据三角形内角和定理：∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0

（等量减等量，差相等）.于是∠ACD=∠A+∠B.探究新知平行线的性质定理Ｉ两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等．平行线的基本事实Ｉ两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．上述这两个定理是不是互逆的命题？1212探究新知结论如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.例如：平行线的基本事实Ｉ是平行线的性质定理Ⅰ的逆定理．探究新知下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来．

两条直线被第三条直线所截，如果这两直线平行，那么内错角相等；答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，

那么这两条直线平行；探究新知1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.（1）绝对值最小的数是0；答：真命题（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命题答：假命题答：真命题CA.

①②③④⑤

B.

③④⑤②①C.

④②①⑤③

D.

⑤②③①④返回2.母题

教材P98做一做

判断下列各命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一个反例.

（2）锐角