石大机械工程测试技术讲义15测量数据处理

PAGEPAGE34数据处理(讲稿)李江全石河子大学机电学院电气工程教研室目录一、统计特征数的计算二、异常数据及其判断三、系统误差的判断四、测量数据的处理方法五、测量结果的表达六、等精度直接测量结果的数据处理步骤七、一元线性回归八、一元非线性回归补充问题1、剔除异常数据的步骤是什么？2、如何绘制实验曲线？实验曲线平滑的基本原则是什么？3、建立经验公式的步骤是什么？4、动态测试数据处理的步骤是什么？5、绘制直方图的步骤是什么？附表1肖维勒准则的临界值表附表2t检验准则的临界值表附表3狄克逊准则的临界值表附表4t分布表附表5最小相关系数表附表6格拉布斯准则的临界值表附表7t分布表附表8F分布临界值表一、统计特征数的计算在测量中，表示一组测量数据的数学性质的有关数据，通称为统计特征值。它可以分为两大类：一类表示数据分布中心位置的特征值（位置特征参数），如算术平均值、均方根均值、中位数等；一类表示数据的分散程度，如极差、方差、标准差、变异系数等。它们各自表达实验数据的不同特征，是实验数据处理的主要内容。1、算术平均值算数平均值代表一组测量数据的中心位置，不能表示出数据值的变化情况。2、均方根均值3、中位数将收集到的测量数据按大小顺序排列，如果数据的个数为奇数时，则排在正中间的那个数就是中位数；如果数据的个数为偶数时，则中位数应是位居中央的那两个数据的算术平均值。4、极差极差是指数据中最大值与最小值之差，即：极差虽然表示分散的程度，但不能反映数据的全貌，通常用于n<10的情况。5、方差（n（n30）（（n>30）；标准差（均方根差）表示测量数据的变化情况（分散程度）。σ值大（如图a所示），数据变化剧烈，对应的分布曲线宽而平缓；σ值小（如图b所示），数据变化较平稳，对应的分布曲线狭窄而高耸。7、变异系数通常，测量较大的东西，绝对误差一般较大，测量较小的东西，绝对误差一般较小，用变异系数来比较这两种误差的差异程度。8、算术平均值的标准偏差9、算术平均值的变异系数在试验中所得算术平均值只是母体中部分数据的平均数。母体的数据不可能全部测得，所以只能用一部分数据来代表全部数据，然而这一部分数据能代表全部数据的可靠程度究竟如何呢？和全部数据的平均值相差多少呢？这就要用算术平均值的标准偏差或算术平均值的变异系数来确定。10、必要的读数次数，，0-允许的误差（%）样本特征数与母体特征数（平均值与均方根差）接近的程度与测量次数n有关，n越大，则它们越接近。所以为了使测试结果达到一定的准确度，应有必要的读数次数n。二、异常数据及其判断1、异常数据的含义在一个测量列中，可能出现个别过大或过小的测定值，其数值明显偏离其余观测值，这种包含巨大误差的测定值，通常称为异常数据，又称坏值。在重复试验过程中，得到一系列测量值，如果混杂有坏值，则必然会歪曲测量结果，造成极大的误差。因此，必须在各个测量值中找出坏值，并舍弃之，直到无坏值时，才可进行有关的数据处理而得到正确的结果。在测量或实验过程中．如发现读错、记错数据，或因仪器及工作条件突然变化而造成明显的错误时，应该及时纠正或舍弃有关数据，但严格说来，原始数据必须实事求是地记录，并注明有关情况。在整理数据时，再舍弃上述有明显错误的数据。异常数据往往是由过失误差引起的，也可能是由巨大的随机误差引起的。异常数据的取舍必须十分慎重。有的异常测量值的出现，可能客观地反映了测量过程中的某种随机波动性，例如，可能预示着电路产生间歇振荡、接触不良、某个元件即将损坏、仪器工作不稳定等，有时甚至可能预示着一种新的物理现象将被发现，可见对异常测量值不应该为了追求数据的一致性而轻易舍去。如果有充分的根据可以判定异常数据是由过失误差引起的，则应予舍弃。对于原因不明的异常数据，只能用统计学的准则决定取舍。用统计学的方法决定异常数据的取舍，其基本思想是：数值超过某一界限的测定值（或残差）出现的概率很小，是个小概率事件。如果在一个容量不大的测量列中居然出现了这种测定值，则有理由认为，这是由过失误差引起的异常数据，因而予以舍弃。对异常数据，除了设法从测量结果中发现、判断和鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量工作者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；此外还要保证测量条件的稳定，应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。2、异常数据判断准则异常数据的判断（取舍）准则有：来伊达准则（3σ准则）、格拉布斯准则、肖维勒准则、t检验准则（罗曼诺夫斯基准则）和狄克逊准则。1）来依达准则（3σ准则）由概率积分表可知，服从正态分布的随机误差超出±3σ（置信概率P=0.9973）的可能性只有0.27%，在通常的有限次测量工作中不可能出现。因此，如果测量列中发现某测定值Xi的残差满足下列关系：就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予剔除。式中，对于有限次测量，标准偏差σ可用估计值S代替。来依达准则是建立在测量次数n→∞的前提下，当n有限时，特别是n值较小时，这个判据不很可靠。若剔除的数据点数大于1∽5%测点总数，则应在其附近增加测点数，并重新判断是否存在异常数据，否则应用不同准则进行比较。该准则特点：可靠性不高，但使用简单，不需查表，适用于测量次数较多(50以上)，要求不高时的使用。残差：指某测量值与该被测量的算术平均值之差。2）肖维勒准则若有一服从正态分布的测量列中发现某测定值Xi满足下列关系：就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予舍弃。式中，S为标准偏差的估计值，Wn是肖维勒准则的过失误差系数（临界值），可从表中查出（见附表1）。用此准则时，必须从原来的测量值估算出S，而后定出判别过失误差的界限，再经判定有某一测量值的剩余误差（残差）超过此界限，即将此测量值剔除，而后将剩下的测量值重新计算S。该准则特点：其可靠性与重复测量次数有关，n较小，可靠性也较小，适用于测量次数在20～100的数据判别，不常用。3）格拉布斯准则若有一服从正态分布的测量列中发现某测定值Xi的残差满足下列关系：就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予剔除。式中，S为标准偏差的估计值，G0为临界值，它取决于测量次数n和信度α（通常α取0.05、0.025或0.01），可从临界值表（见附表6）中查出G0。该准则特点：可靠性最高，最常用，通常测量次数为20～150，判断效果较好。4）罗曼诺夫斯基准则（t检验准则）在n次重复测量中，首先观察各测量值中是否有偏离较大者，如有某测量值Xd比其它测量值偏离较大，则先假定它为可疑测量值并剔除，而后按剩下的（n-1）个测量值（即不包含可疑测量值Xd）来计算算术平均值和标准偏差，即：按给定的置信概率P和测量次数n查表，确定临界值Tg值（见附表2），若被怀疑并被剔除的测量值Xd确实属于含有过失误差，则其剩余误差（残差）应满足：也就是说将该测量值剔除是合理的、正确的；反之若不满足上式，则表明该测量值并不含有过失误差，应该重新将它收入到测量列，并重新估算标准差。t检验准则是按照t分布的实际分布范围来确定过失误差的界限，t分布的实际分布范围与重复测量次数n和置信概率P有关。该准则特点：适用于测量次数很小（n≤20）而要求较高的数据。5）狄克逊准则直接根据测试数据按其大小顺序排列后的顺序差来判别测量值中是否含有过失误差。即将服从正态分布的测量列：x1，x2，···，xn按大小顺序排列成：x(1)≤x(2)≤···≤x(n-1)≤x(n)狄克逊导出了顺序差统计量：或或或或的分布及其在给定置信概率P下的界限值fp（见附表3），凡统计量fij的值超过该界限值者，即可判定其相应的最大或最小测量值含有过失误差。因此狄克逊准则可写为：若有一服从正态分布的测量列中发现测定值X1或Xn(最小或最大值)满足下列关系：fij>fp就可认为最小或最大值是一个包含过失误差的异常数据，应予舍弃。狄克逊还认为：当n≤7时，按fij=f10判断；当n=8∽10时，按fij=f11判断；当n=11∽13时，按fij=f21判断；当n≥14时，按fij=f22判断的效果>较好。该准则特点：方法简便，判断迅速，概率意义明确，适用于测量次数很少（n≤25）的数据。必须注意：在应用以上准则时，经剔除含有过失误差的异常数据后，要重新计算出其余数据的算术平均值和标准偏差，再对余下的数据进行判别，依此程序逐步剔除，直至完全剔除含有过失误差的异常数据为止。三、系统误差的判断（发现）为了消除系统误差的影响，首先要设法发现系统误差的存在，然后在根据不同性质的系统误差采取相应的措施予以消除。下面介绍几种一般采用的方法：1、残余误差观察法将一系列等精度测量的数据按测量先后顺序把测得值及其残差值列表，观察其残差数值及符号的变化规律：若残差数值有规律的递增或递减，并且在测量的开始和结束时残差符号相反，则可判断该测量列含有线性系统误差；若残差的符号有规律由正变负，再由负变正，或循环交替变化多次，则可判断该测量列含有周期性系统误差。2、马利克夫判据（残余误差核算法）这个判据适用于检查测量列中是否有累计性（线性）系统误差存在。将一列等精度测量的结果按测量先后次序排列：X1，X2，X3，….，Xn。把测量列分成前半组和后半组，分别求出前、后半组的残差之和，然后取这两个和的差值M，若测量次数n为偶数，则：若测量次数n为奇数，则：上式表明：前后两部分残差和的差值取决于系统误差，因线性系统误差前后两部分的符号相反，故M值将随n的增大而增大。因此用该法判断时：如M值近似为零，则说明测量列中不含累计性误差；如M值明显地不为零（与V值相当或更大），则说明测量列中含有累计性系统误差。把测量列分为前后数目相同的两组，核算这两组残余误差和之差是否为零，以次来判断该测量列是否有系统误差存在，这种判断方法称为马利克夫判据。3、阿贝—赫梅特判据这个判据适用于判断测量列中是否有周期性系统误差的存在。该判据可描述为：若某测量列满足下式：就可认为该测量列中有周期性系统误差存在；否则无周期性系统误差。四、测量数据的处理方法1、静态测量数据的处理方法静态测量数据是指不随时间变化的测量数据。其数据一般是在等精密度或不等精密度测量条件下获得的离散的带有误差的测量列。测量的结果通常用表格、图形和经验公式三种方式表达：1）表格法用表格来表示函数的方法。在科学实验中，一系列测量数据都是首先列成表格，然后在进行其它的处理。列成表格是为了表示出测量结果或为了以后的计算方便，同时也是图示法和经验公式法的基础。优点：简单方便。缺点：不能给出所有的函数关系；从表格中不易看出自变量变化时，函数的变化规律。2）图示法（实验曲线法）在进行实验研究时，往往是对两个起主要作用的变量进行研究，而将其它因素固定不变或将其影响忽略，这时可将两个变量的相互关系用平面坐标中的曲线来表示，这种曲线称为实验曲线。优点：简明直观、一目了然、便于比较，即从图形可以非常直观地看出数据变化的趋势和特征，如递增性或递减性，最大值或最小值，转折点，是否具有周期性变化规律等，便于找出数学模型和预测某种现象。精确的图形还可以在不知道数学表达式的情况下进行微积分运算。缺点：从图形上只能得出函数变化关系而不能进行数学分析，若作图不当，则会造成假象得出错误结论。3）经验公式法当测量的精确度较高时，作出的实验曲线能较准确地反映出被测对象的客观变化规律。这样的实验曲线很有实用价值，可以用来指导机具的设计、计算及理论分析等。对这种实验曲线常用近似公式来表示，称为经验公式。经验公式表达是利用回归分析的方法确定经验公式的函数类型及其参数。建立的公式要能正确表达测量数据的函数关系，在很大程度上取决于测量人员的经验和判断能力，有时还要经过多次反复才能得到与测量数据接近的公式。把全部测量数据用一个公式来表示，它的优点不仅形式紧凑扼要，而且便于用数学分析方法进一步从理论上进行分析，以研究各自变量与函数之间的关系。2、动态测试数据的处理方法在测试中所获得的数据有两种形式，即数字形式和记录曲线的形式。目前在机器动态试验中大多数使用模拟记录器，其输出为记录曲线。对记录曲线的整理方法主要是：对曲线进行各种计数统计处理，使之转换为数字形式，以便于计算、分析。计数统计处理方法有：面积法、秤量法、平均值的近似估计法、网格法、峰值法等。其中网格法和峰值法是目前实验研究中最常用的曲线计数统计方法。整理时，测试的记录曲线很长，不可能全部进行整理，必需进行随机取样，即每隔一定距离取一小段，然后对所取的各段进行整理，如需求得平均值，可用以下1）、2）、3）三种方法。1）面积法面积法是用求积仪，求出一定长度记录曲线与零线间的面积，然后用长度除之，便得到记录曲线的平均高度(图)。再根据标定比例常数计算出测量值的算术平均值。这种方法的特点是：只能求出测量的算术平均值，不能得到测得值离散的程度；只能用求积仪整理较短一段记录曲线，记录曲线幅度30毫米，长150毫米时，此方法误差l一2％，面积狭而长者误差较大。2）秤量法秤量法就是将一定长度的记录曲线与零线间的面积描在单面光道林纸上，用精密度达0.1毫克的分析天平称这块面积的重量，并在同一条件下称得纸张单位面积的标定重量。根据这两个重量之比就可求得记录曲线与零线间的面积，再用长度除之，便得到记录曲线的平均高度，从而得到测量值的算术平均值。为了提高统计计算的精确度，用此法应做到：(1）要求纸张质地均匀以减少由于纸层厚薄不均而引起的误差。根据随机抽样称重统计的结果，单面光道林纸最均匀。(2)为了提高标定的精确度，必须随机抽取多个单位面积分别称重，将其平均值作为单位面积的标准重量。(3)标定及曲线的统计，两者必须在同一时间进行，以减少因工作环境的湿度与温度等差异而引起的误差。3）平均值的近似估计法有时为了迅速、近似地估计平均值，用透明直尺在曲线的变动范围内移动，在某一位置(图中虚线所示)，用眼估计，当虚线上部各曲线面积之和等于虚线下部各面积之和时，就可根据虚线的位置计算曲线的平均高度。当曲线的形状基本上是上下对称时，则虚线与零线平行，其高度即为曲线的平均高度；如曲线的形状上下不对称，虚线与零线不平行时，则虚线的平均高度才是曲线的平均高度。如记录曲线较长时，可将横座标分成小段，用上述方法得出每小段的平均值，然后算出这些平均值的平均值，这就是所欲求的这一段曲线的平均值。每小段的长度视曲线的变化状态面定。4）网格法这是一种最常用的整理曲线的统计法。为了整理方便起见，常用一透明材料（赛璐珞)薄片，上面刻画100—200条间距为1—2毫米等间距的、平行于纵座标的平行线。根据纵座标分的等级，刻画与横座标平行的平行线。图为整理记录曲线用的网格。将网格放在记录纸上，使一条横向平行线与记录曲线的零线重合，这时各条纵向平行线都和记录曲线有交点，用墨水笔将这些交点标出，数出落在每一级中交点的数目并记到表中。5）峰值法峰值法是和网格法类似的计数统计方法。此方法用于记录曲线的形状有明显的波峰和波谷，并且相互靠得较近的情况(图)。这时网格片只需具有横的平行线。整理时只要查出各纵座标等级中波峰和波谷的个数，记录在与网格法相同的表中，然后进行相同的加工处理。五、测量结果的表达测量工作的目的就是要确定被测参数的数值。测量结果的表达有下面两种方式：1、算术平均值法当不需要指出误差时，可用算术平均值法。（1）通过有限次重复测量，可以用测定值的算术平均值来近似地代替真实值X，这时测量结果可以表达为：（1）这种表达方式常用于粗略的测量中，原因是测定值的算术平均值也存在随机误差。为此，需用数理统计学中区间估计的方法，求得被测参数的真实值在某个置信概率下的置信区间。2、区间估计法1）一次测量如果已知测量仪器的标准偏差（由制造该仪器的厂家给出，或事先通过反复测量某固定量，由大量观测值的分布定出），做一次测量，测得值为X0，则通常将被测量X的大小表示为：((置信概率P=0.683)2）测量次数较少（n<30）设测定值X1、X2、…Xn为一有限的等精密度测量列，由测量条件决定的标准偏差为，其估计值为S，算术平均值的标准偏差如预先选定置信概率p，可根据自由度f=n-1由t分布表查得tp(f)，于是，测量结果可以表达为：（2）（2）该表达式的含义是：被测参数的真实值X在置信区间内的置信概率（可信度）为P。或者说，当置信概率为P时，以算术平均值代替真实值X时，误差不超过tp(f)。在实际工作中，如预先选定真实值的置信区间，则可由分布表确定对应的置信区间。3)测量次数较多（n30）测量结果可以表达为：（3）（3）各种K值时的置信概率K0.000.320.671.001.151.962.002.583.00P0.0000.2500.5000.6830.7500.9500.9540.9900.997(P=0.997)(P=0.950)(P(P=0.997)(P=0.950)(P=0.683)式中指出的测量值的变动范围，叫置信区间，测量值在不同置信区间内取得的概率是不同的。当需要指出测量结果的平均值的变动范围时，用算术平均值的标准偏差来表示，即：（4）（4）当K值分别为3、2、1时测量结果的表达式分别为：((P=0.997)(P=0.950)(P=0.683)上面三式的含义分别是：被测参数的真实值（平均值）在置信区间内变化的概率（可信度、置信概率）分别为99.7%、95%、68.3%。显然，置信区间的宽度与给定的置信概率有关，因此，用式（3）（4）表达测量结果时必须注明相应的置信概率。六、等精度直接测量结果的数据处理步骤对某参数进行等精密度直接测量时，其测定值可能同时包含系统误差、随机误差和过失误差，为了得到可靠的测量结果，对这些误差应按误差理论进行分析处理，其处理步骤归纳如下；1、判断系统误差可初步认为无明显系统误差，然后在后面的步骤中在用判别准则判断有无系统误差。2、求算术平均值消除系统误差后，按下式求出各测定值的算术平均值，即3、求残差按式，求出各测定值的残差。检查是否等于零，若等于或接近于0，则说明算术平均值计算无误，否则有误，应复查之。同时还要计算4、求测量列标准偏差的估计值按下式计算测量列标准偏差的估计值，即（（n30）5、判断并舍弃含有过失误差的异常数据根据异常数据的取舍准则（一般采用来依达准则和格拉布斯准则），判断测量列中是否存在含有过失误差的异常数据，如果存在，则将其舍弃，然后重新按2)、3)、4)步骤计算，直至不存在由过失误差引起的异常数据为止。6、检查测量列中有无系统误差可根据求得的残差，用阿贝—赫梅特判据和马利克夫判据来判断测量列中是否含有系统误差。若存在系统误差，则应予以消除，并仍然要由第二步开始进行计算。7、求算术平均值的标准误差根据下式计算测量列算术平均值的标准误差，即8、写出测量结果的表达式先选定置信概率P，然后按自由度f=n-1查t分布表（见附表4），得tp(f)。最后按下式写出测量结果的表达式，即如果重复测量次数较多，可直接按下式写出测量结果。((P=0.997)(P=0.950)(P=0.683)在按上述步骤处理数据时，第一步判断系统误差比较麻烦，可由第二步开始计算，根据系统误差的判断方法，将其放在有关步骤之后。七、一元线性回归1、回归分析的含义若两个变量x和y之间存在一定的关系，并通过测量获得x和y的一系列数据，用数学处理的方法得出这两个变量之间的关系式，这就是工程上所说的拟合问题，也是回归分析的内容之一，所得关系式称为经验公式，或称为拟合方程。在静态测量数据处理中，寻求用简便的经验公式表达各变量之间的关系是很重要的。根据各种原理确定经验公式的方法称为回归分析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析；处理多个变量之间的关系称为多元回归分析。若两个变量之间的关系是线性的，则称为一元线性回归。当两个变量之间不符合线性关系时，称为一元非线性回归。通过回归分析寻求经验公式，需要解决以下三个问题：（1）确定经验公式的函数类型；（2）确定函数中的各参数值；（3）对经验公式的精度作出评价。2、一元线性回归（直线拟合）方程的确定设两变量之间关系为y=f(x),并有一系列测量数据为：x1x2x3…..xny1y2y3…..yn将两个变量的各个实验数据点画在坐标纸上，如果各点的分布近似于一条直线（即测量数据相互间基本上是线性关系），则可考虑采用线性回归。一元线性回归方程可表示为直线方程：y=a+bx所谓直线拟合，实际上就是根据一系列测量数据通过数学处理确定相应的直线方程，更确切地说就是根据实验数据来求出其中的待定系数a和b。待定系数的求法很多，主要是根据计算简便和所需的准确度去选择。最常用的为直线图解法、选点法、端值法、平均法和最小二乘法。其中最小二乘法精度最高，但计算很繁。1）直线图解法凡经验公式是直线形式或能变换成直线形式时，都可以用此法：y=a+bx式中：a直线的截距；b直线的斜率。2）选点法在给定的n组测量数据中，任选两组代入式y=a+bx中，得到关于a和b的两个方程式，从中便可求得a和b的值：显然，这样求解的过程相当于从n组数据点中任选两点并连接成一条直线的过程。不难看出，这样确定的回归方程实际上只考虑两对数据，其结果与其它点的数据毫无关系，所得到的回归方程随所选的数据不同而异，不易取得良好的效果。只有当实验数据精确度很高时，此法与图解法所德精确度不相上下。3）端值法将测量数据中的两个端点值，即起点和终点测量值（x1，y1）和（xnyn）代入式y=a+bx中，求系数a和b，也就是用两个端点连成的直线来代表所有测量值。系数为：4）平均法将全部测量数据分别代入式y=a+bx中，得n个方程：y1=a+bx1y2=a+bx2………..yn=a+bxn然后将上面n个方程分为两组，前半组K1个和后半组K2个（当n为偶数时，K1=n/2，K2=n/2；当n为奇数时，K1=（n+1）/2，K2=（n-1）/2），将前、后组方程各自相加，分别合并为一式，得到两个方程，再联立求解得系数为：平均法就是将全部测量数据分成前后两组，分别计算各组的平均值，所得（）和（）称为各组测量点的“点系中心”，这两个点系中心连成的直线方程，即为用平均法拟合的线性方程。选点法和平均法计算简单，但对实验数据的统计规律考虑不够深入，仅能作粗糙估计之用。重要实验数据的回归方程，应当用最小二乘法来确定其中的待定系数。5）最小二乘法最小二乘法在误差理论中的基本含义是：在具有等精度的多次测量中，求最可靠（最可信赖）值时，是当各测量值的残差平方和为最小时所求得的值。根据上述原理，对测量数据的最小二乘法线性拟合时，是把所有测量数据点都标在坐标图上，用最小二乘法拟合的直线，其各数据点与拟合直线之间的残差平方和为最小。用这条回归直线算出的y值，代表测定数据的平均值，实际值y与平均值y之差代表残差。残差v越小，说明回归直线越接近理想的最佳直线。因此，确定回归直线的原则是找出一条直线与实测数据之间的误差，比任何其它直线与实测数据之间的误差都小，即残差的平方和最小，这就是最小二乘法的基本思想。可写为：式中：Qy—残差的平方和；yi—实测值；yi—回归直线上的理论计算值。将回归方程代入，则：令；，即可求出线性回归系数a和b的数值：式中：或：3、回归方程的显著性检验在求回归方程的过程中，回归直线是在误差最小的条件下推导出来的，但是还不能肯定两个变量之间的关系是直线关系。因此，当从一组试验数据中求出回归直线后，必须进一步判断回归直线方程是否有意义，即判断两个变量之间的线性程度，这就是回归方程的显著性检验。回归方程的显著性检验通常采用F检验法（即方差分析法）和相关分析法。相关分析法：若能够用线性方程来表达一组实验数据，那将是很方便的。然而只有当实验数据中的变量x和y确实存在某种线性相关时，这样做才会有意义。相关系数r可以用来表征x和y两变量之间线性相关的密切程度，从而使我们可以判断用线性回归方程来表示该组实验数据是否有意义。样本相关系数r由下式定义：若有一组实验数据，其中x和y存在严格的线性相关，则r=±1，这时所有的试验点都严格地分布（落在）在某一条直线上，即x与y具有确定的线性关系；若实验数据的相关系数|r|=0，则有两种情况：或者x与y之间完全没有关系；或者有着非线性相关。总之，一组实验数据x和y的线性相关愈密切，r的数值愈接近于±1；即|r|越趋近于1，回归越显著，x与y的线性程度越高。线性相关愈不明显，r愈接近于零。线性相关不明显的实验数据，不宜用线性回归方程来表示其中变量的关系。只有当一组实验数据的相关系数r的绝对值超过某个数值rmin，才能采用线性回归方程来描述其变量之间的关系。rmin为最小相关系数，可根据实验点数n和显著水平α查表得到，一般取α=0.05（显著）或α=0.01（极显著）（参见附表5），4、回归方程的精度确定回归直线后，可以根据自变量x值预报或控制因变量y值。预报或控制的效果就是回归方程的精度问题。通常采用方差分析来检验回归直线的回归效果，确定回归方程的精度。即：Qy=LyybLxy式中：残差平方和Qy反映了实验数据yi与回归直线的偏离程度，Qy越小，说明y与x的线性关系越密切，回归效果越好，回归方程的精度越高。拟合方程的精度也可用回归方程的标准残差来表示，即：式中，q回归方程中待定系数的个数，在线性回归方程中q=2。越小表示回归方程对实验数据的拟合程度越高，即回归方程的精度越高。最后应当指出：1）回归方程一般只适用于原来的实验数据范围。没有可靠的依据，不能随意扩大其应用的数值范围；2）实验数据中的两变量往往不是线性关系，但是经过适当的变量代换，可转换成线性回归的问题。因此线性回归方法具有一定的典型意义。3）工程中往往需要确定两个都有误差的变量之间的回归方程，这时也可按上面的方法来做近似处理。4）若对同一个x做重复实验，可以应用方差分析来对线性回归方程作更深入的分析。八、一元非线性回归在实际问题中，当两个变量之间不符合线性关系（即非线性关系）时，一般分两步求得所需的回归方程：1）选取合适的函数类型；2）求解相关函数中的回归系数和常数项。一元非线性回归分析是试验数据处理中的曲线拟合问题。用最小二乘法直接求解非线性回归方程比较复杂，通常是通过变量转换把回归曲线转换成直线，然后用一元线性回归方法求解，或者直接用回归多项式来描述两变量之间的关系。化曲线为直线的回归分析，通过四个步骤来完成：1)根据测量数据（x，y）绘制图形；1）由绘制的曲线分析确定其属于何种函数类型；2）通过变量转换把非线性函数关系转化为线性关系函数，使曲线方程变为直线方程（称为曲线化直）；3）根据变换后的直线方程，采用某种拟合方法确定直线方程中的未知量（即进行一元线性回归分析）；4）求得直线方程的未知量后，将该直线方程通过变量反转换，变换为原先的曲线方程，将求出的线性关系还原为非线性关系，即得到与曲线图形对应的曲线方程式。在选取确定合适的函数类型时，可以采用比较法．将试验数据作图，并将其与典型曲线进行比较，以确定曲线类型；也可以根据专业知识，从理论推导或根据试验经验确定两变量之间的函数类型。常见的典型曲线通过变量转换化成直线的经验公式如下：（1）双曲线：令：，，，则：（2）对数曲线令：，，，则：（3）指数曲线令：，，，则：（4）幂函数曲线令：，，，则：补充问题1、剔除异常数据的步骤是什么？在处理测量数据时，首先需要判别其中是否存在含有过失误差的数据。综上所述，剔除含有过失误差数据的方法和步骤如下：1）根据测量次数n，选择判别过失误差的准则。一般在n≥50时，建议来依达准则；n=20～100时，采用肖维勒准则，而n≤25时，则建议采用格拉布斯准则或狄克松准则，在n<20时，可采用t分布检验准则(即罗曼诺夫斯基准则)。2）根据对测量值处理的可靠性要求，合理地给定置信概率P一般建议最少取P=0．95，当可靠性要求较高时，则应取P=0．99以上，然后按所选用的准则，次数和取的置信概率，查相应的表格确定其过失误差系数（临界值）。查表时应该注意：次数n均包括所怀疑的那个测量值的次数。3）计算算术平均值，求出剩余误差及标准差的估计量。4）确定所选用准则的判别过失误差界限值。5）将可疑测量值的剩余误差与所确定的判别过失误差界限值相比较，若该剩余误差的绝对值大于过失误差界限值，则判定所怀疑的测量值为含有过失误差的测量值，并将其剔除。在剔除含有过失误差的测量值时，只能逐次逐个地剔除，不可一次同时剔除多个，也就是说每次只能剔除一个超出过失误差界限值的剩余误差绝对值最大的那一个测量值，而后，重新估算剩下的测量值的算术平均值和标准差的估计量，再作第二次判别，如此重复一个一个地剔除，直到余下的测量值的剩余误差都不超出最后一次计算得到的过失误差界限值为止。当然，象这样的剔除次数一般不会太多。另外，有时会遇到采用两种不同准则或给定不同的置信概率发生矛盾的判别，也就是按一种准则判定为含有过失误差的测量值，而按另一种准则判别却为不含有过失误差的测量值，这时，就需要对所选用的准则和所给定置信概率的合理性，以及产生过失误差的原因作进一步分析，才能作出正确的结论。2、如何绘制实验曲线？实验曲线平滑的基本原则是什么？在图纸上标出代表实验数据的点后，就可将它们连成适当的曲线。若实验数据太少，难于绘成光滑曲线，这时可以用直线段依次将相邻的点连接起来，或者用插值法来求出更多的中间点，而后将它们绘成适当的曲线。若实验数据已经足够多，就可直接绘出合适的曲线。在绘制实验曲线时应做到：1）实验曲线上每一“点”必须是经过多次重复测定所得到的数据的平均值。2）实验曲线上点的数目如果是初步的、一般的研究，三点就够了，因为以这三点可看出被研究过程的趋势；显然，为了做详细的研究，三点是不够的，要增加至五点以上，尤其是变化复杂的过程。3）如两个变量之间的关系不是直线关系，则有时采用对数坐标或半对数坐标。4）在一般情况下，各点是不会处在一条直线或一条平滑曲线上的，这是因为实验的偶然误差以及被测量本身有波动的关系。有时可以从理论分析或从性质相同的实验曲线比较而知道曲线的大致走向，使我们画的线近乎客观情况，并可帮助消除错误点。实验曲线平滑的基本原则是：绘出的实验曲线要保证与实际测得值间残差的平方和为最小。因此绘制平滑曲线时必须准循如下原则：1）曲线应当光滑匀整，不应当有不连续点；2）曲线应通过尽可能多的测量点，但不必强求通过所有的点，尤其实验范围两端的那些点；3）留在曲线以外的测得点应尽可能位于曲线附近；4）曲线两侧的点要大致有相等的数量；5）处于曲线上方各点的偏差（即其纵坐标值与曲线上对应点的纵坐标值之差）之和应等于曲线下方各点偏差之和；3、建立经验公式的步骤是什么？测量数据时不仅可用图形表示出函数之间的关系，而且可用与图形对应的一个公式来表示所有的测量数据，当然这个公式不可能完全准确地表达全部数据，因此，常把与曲线对应的公式称为经验公式。把全部测量数据用一个公式来表示，它的优点不仅紧凑扼要，而且可以对公式进行必要的数学运算，以研究各自变量与函数之间的关系。根据一系列测量数据，如何建立公式，建立什么形式的公式，这就是我们需要解决的问题。建立的公式要能正确表达测量数据的函数关系，在很大程度上取决于测量人员的经验和判断能力，有时还要经过多次反复才能得到与测量数据接近的公式。建立经验公式的步骤大致可归纳如下；第一步：描绘曲线将测量数据以自变量为横坐标，以函数为纵坐标描绘在坐标纸上，并把数据点描绘成测量曲线。第二步：对所描绘的曲线进行分析，确定公式的基本形式如果数据点描绘的基本上是直线，则可用一元线性回归方法确定直线方程。如果数据点描绘的是曲线，则要根据曲线的特点判断曲线属于何种类型。判断时可参考现成的数学曲线形状加以选择。对选取的曲线则按一元非线性回归方法处理。如果测量曲线很难判断属何种类型，则可按多项式回归处理。第三步：曲线化直如果测量数据描绘的曲线被确定为上述某种类型的曲线，则可先将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归方法处理。第四步：确定公式中的常量代表测量数据的直线方程或经曲线化直后的直线方程表达式为y=a+bx，可根据一系列测量数据确定方程中的常量a和b，其方法有图解法、端值法，平均法和最小二乘法等。第五步：检验所确定的公式的准确性即用测量数据中自变量值代入公式计算出函数值，看它与实验测量值是否一致，如果差别很大，说明所确定的公式基本形式可能有错误，则应建立另外形式的公式。4、动态测试数据处理的步骤是什么？动态测量数据是指随时间变化的测量数据。试验数据是以时间为自变量，通常为连续函数x(t)。数据分析的项目与步骤大体包括：数据准备、数据检验以及数据分析等工作。1）数据准备为了使数据适用于分析处理，首先要进行数据预处理，其目的是检测和剔除在测量过程中由于严重的噪声、信号丢失等原因造成的异常数据。这项工作可通过人工直观检查进行，也可用专门仪器来完成。如用计算机处理，可编制专门的剔除异常数据的程序。采用模拟处理法分析时，经数据预处理后，还要进行数据标定，即将电压信号换算成被测量的工程单位。而采用数字处理法分析时，在数据预处理后，还要进行波形采样，数据标定，均值零化以及消除趋势项等工作。在动态测量数据处理中，有时还需要进行滤波处理工作，使信号在分析之前滤去干扰噪声。2）数据检验数据检验首先是判断试验数据是确定性的还是随机性的。判断试验数据是否为确定性的一种最有效的方法是频谱分析。若某一时间历程的频谱是离散的，那么它一定是确定性的试验数据，若频谱是连续的，并且多次重复测量能得到相同的结果，则它是确定性的瞬变数据，否则为随机性的试验数据。对于随机性数据，一般要对试验数据进行平稳性、周期性和正态性的检验．因为这三个特性对随机性数据的分析结果的解释有很大影响。(1)平稳性检验工程上所指的平稳过程是：把一个样本分成若干段，每段各自按时间平均的统计特征彼此都一样的随机过程。判断随机性数据是否平稳，最简单的方法是根据产生此数据的现象和物理特性，结合时间历程的图形作出分析。如果产生此数据的基本物理因素不随时间变化，就可以认为数据是平稳的，反之，数据是非平稳的。采用这种直观分析方法进行平稳性检验，需要一定的实践经验。在不能作出直观判断时，可以运用统计检验原理——轮次(游程)检验法进行。这种分析方法的基本思想是；把—个时间历程记录分成相等的m段，计算每一段的均值、方差和自相关函数，然后根据轮次检验法判断是否存在潜含非平稳的趋势．如果没有非平稳的趋势存在，则数据是平稳的。(2)周期性检验：周期性检验主要是判断数据中是否含有周期分量。最有效的方法是通过数据分析，再根据样本的概率密度函数、自相关函数和自功率谱图形来判断。(3)正态性检验：正态性检验的办法是利用计算机进行概率密度函数处理，然后与正态分布密度函数比较作出判断。也可用X2检验法进行处理分析。3）数据分析试验数据的类型不同，分析方法也不同。对于确定性数据，可以寻求数学函数式或经验公式来表达。而对随机性数据，一般从以下三个方面进行描述：（1）时间域描述——自相关函敷、互相关函数；（2）幅值城描述——均值、均方值、方差以及概率密度函数等；（3）频率域描述——自功率谱密度函数、互功率谱密度函数等。5、绘制直方图的步骤是什么？1）直方图的构成（1）直方图的纵坐标——频数在测量中，数据的频数有两种表达的方式：第一种是累计一组数据中的某一数值重复出现的次数。例如测得10个零件加工后的尺寸，该组数据为9.8，9.6，9.8，9.8，lO.O，9.7，9.9，9.8，9.7，9.9mm。经统计可知，9.8的频为4，9.9和9.7的频数皆为2，10.0和9.9的频数皆为l。第二种是把一组数据划分若干个区间，然后累计出现于该区间的数值个数。例如将上述10个数据划分为9.45—9.65，9.65～9.85，9.85～10.5三个区间．则第一区间的颇数为1，第二区间频数为6，第三区间频数为3。通常多用区间频数的方式。因为当数据个数比较多时，划分区间不但可以使作图简化，而且使分散的规律更加明显，有利于分析问题。（2）直方图的横坐标——数据值如果一组数据不划分区间，则在横坐标上依大小顺序以测量单位为间隔标记各数值；如果把数据划分为区间，则在横坐标上也依大小顺序标记各区间的边界值。（3）直方图形以横坐标的每一数据与相邻数据的间隔或每一区间为底边，以该数据或该区间的频数为矩形高，按比例而构成的若干矩形，即得到直方图。2）直方图的作图步骤（1）收集数据一般100个左右，至少不少于50个，理论上数据越多越好，但因收集数据耗费时间、人力和费用，故有限度。（2）计算极差（3）适当分组组数的多少影响数据整理（或测量结果）的精确度。经验证明，组数太少会掩盖组内数据的变动情况，整理结果不精确；组数太多使各组的高度参差不齐，反而看不出明显的规律。且劳动量太大。因此，组数K的确定要适当，建议分组数参考组数选用表：统计点数n20∽3030∽100100∽200>200组数K5∽77∽99∽1212∽15（也可有公式计算）（4）确定组距组距用字母h表示，h=R/K。计算h时，一般取测量单位的整数倍，将数据修约（四舍五入），取一位有效数字（整数位）。（5）确定组界首先确定第一组下界限值，应注意使最小值包括在第一组内。为使数据测量值不落在上下界限值外，必须带上最小测量单位的1/2尾数，故第一组下界限值为Xmin-R/50，上界限值为（Xmin-R/50）+h。然后依次加入组距h，即可得到各组的上下界限值。第一组的上界限值为第二组的下界限值，第二组的下界限值加上h为第二组的上界限值，其余类推。最后一组应包含最大值Xmax。（6）计算组中值组中值是每组中间的数值，按下式计算：bi=（第i组下界限值+第i组上界限值）/2频数测量值频数测量值（7）编制频数分布表所谓频数就是在n次实验中，数据落入各组中的次数fi。将所有测量数据分别记入相应的各组中，统计出频数fi，于是得到频数分布表。（8）作直方图以纵坐标为频数，横坐标为数据测量值，以组距h为底边，数据测量值落入各组的频数fi为高，画出一系列矩形，这样得到的图形称为频数直方图，简称直方图。如图所示。附表1肖维勒准则的临界值表nWnn