江西吉安市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题含答案

(测试时间：120分钟卷面总分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.内的平均速度是()2.设等差数列{a}的前n项和为S,若S₁₂=12,a₄=3,则a₉=()3.已知变量x,y具有线性相关关系，根据样本点(4,3.2),(5,3.8),(6,m),(7,5.3)得到y关于x的回归方4.随机变量X的取值为0,1,2,若,E(X)=1,则D(X)=()5.已知A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD6.已知函数.在R上单调递增，则实数a的取值范围是()B.[0,1]C.[1,2]7.某深空探测器向地球发送关键数据包，由于存在宇宙射线干扰，每次发送成功的概率均为,且各次发送结果相互独立.若探测器累计成功发送4次，且期间未出现连续两次发送失败，则完成任务并立即进入休眠状态(停止后续发送).该探测器恰好在第6次发送后完成任务的概率为()8.已知数列{a}满足：a₁=1,a₂=3,a₄+2+a₄=2a++1,数列{b}满足2a·bₙ=(n+1)²,则数列{b}的前50项的积为()试卷第1页，共4页试卷第2页，共4页二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知S,是等差数列{a,}的前n项和，且a₈<0,a₅+a₂>0,则下列选项正确的是()A.数列{a}为递增数列B.S的最小值为S₈C.S₁₅>0D.10.已知A,B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是()A.若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与B为对立事件B.若P(B|A)=P(B),则P(A|B)=P(A)C.若P(A)=P(B),则P(AB)=P(AB)11.设函数f(x)=e⁻¹-e(x-1)和其中e是自然对数的底数(e=2.71828…),则下列结论正确的为()A.f(x)的图象与x轴有且仅有2个交点B.存在实数k,使得g(x)的图象与x轴相切C.若k=1,则方程f(x)=g(x)有唯一实数解D.若8(x)有两个零点，则k的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.随机变量X服从正态分布X～N(3,a²),若P(313.已知定义在(0,+o)上的函数f(x),f(x)是f(x)的导函数，满足xf(x)-f(x)>0且f(e)=e,则不14.某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第n颗卫星与基准轨道的偏差值为a,满足递推关系：a₄+=|aₙ-n,n∈N,已知初始偏差a=3,则前69颗入轨卫星的总偏差为_四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知等差数列{a}的首项a=1,且a₂,a₄,as成等比数列，公差d≠0.试卷第3页，共4页(2)设,记数列{b}的前n项和为T,若不等式t²-2t>T,对任意的n∈N恒成立，求实数t的取值范围.16.为了解学生每日睡眠时间与课堂专注度的关系，某校随机抽取50名高中生进行调查，整理数据后获得58(1)请完成列联表，并以频率估计概率，估计每日睡眠时间不足7小时的学生中，课堂专注度未达标的概率；(2)根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关?α附：,其中n=a+b+c+d为样本容量.17.已知函,a∈R.(2)若f(x)在区间[1,e]上单调，且存在x₀∈[1,e],使得f(x₀)≤0,求实数a的取值范围.18.现有8张卡片，其中5张为黑色、3张为白色，卡片除颜色外完全相同.从中不放回地随机抽取3张放入一个空容器中，记容器中黑色卡片的张数为Y.每次从该容器中随机取出1张卡片：若是黑色卡片，则将其换成一张白色卡片放回容器；若是白色卡片，则将其换成一张黑色卡片放回容器.经过n(n∈N)次上述操作后，容器中黑色卡片的张数记为Y.(i)求随机变量Y的分布列；试卷第4页，共4页(ii)理论表明，当n为偶数时，随着操作次数的增加，P会逐渐趋近于.当Pn与该趋近值的误差足够小时，即可认为概率变化已趋于稳定.规定：当n为偶数，且,立即停止操作，求此时已进行的操作次数.(参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477,lg5≈0.699)19.已知函数f(x)=2n(2x+m),f'(x)为f(x)的导函数，函数f(x)在点(1,f(1))处的切线1与直线y=2x平行.(2)设函数8(x)=2|f(x)+nf'(x),n∈R.(i)讨论函数8(x)的单调性；(ii)若方程g(x)=0有且仅有三个互不相等的实数根x₁,x₂,x₃,求实数n的取值范围，并证明：【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式及等差数列性质求解.【详解】在等差数列{a}中，由S₂=12,a₄=3,【详解】则y=0.6×5.5+0.45=3.75,则3.2+3.8+m+5.3=4×3.75,得m=2.7【详解】设P(X=0)=p,P(X=1)=q,则【详解】,令.,求导得令f'(x)=0,解得x=e,因为4>3>e,所以f(4)>f(3)>f(e),【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.【详解】要使分段函数f(x)在R上单调递增，需要满足三个条件：试卷第1页，共13页试卷第2页，共13页所以要使f(x)在x<0上单调递增，须满足a>0;,要使f(x)在x≥0必须满足f'(x)≥0在x≥0时恒成立，即：(3)为了保证函数在整个R上单调递增，必须满足x=0处的左极限小于等于x=0处的右极限，需满综上所述：0<a≤1.【分析】该探测器恰好在第6次发送后完成任务，所以第6次必然成功，前5次没有出现连续两次失败且成功了3次，那么两次失败插空分布在发送成功部分，通过独立事件与互斥事件的概率求出完成任务的概率.【详解】该探测器恰好在第6次发送后完成任务，所以第6次必然成功，前5次没有出现连续两次失败且成功了3次，那么设事件B:该探测器恰好在第6次发送后完成任务，则an=a₁+(a₂-a)+(a-a₂)+…+(a-a₋1)=1+2+3+试卷第3页，共13页对于D,已知,得f(x)≥0>g(x),因此可得结果错误，对选项D,先换元t=x-1>0,进而通过导数判断的范围可得.【详解】对A选项，由f(x)=e⁻¹-e(x-1)求导得：f'(x)=e⁻¹-e,令f'(x)=0得x=2.对D选项，令t=x-1>0,则x=t+1,代入g(x)得试卷第4页，共13页试卷第5页，共13页所以P(X≥6)=0.5-P(3≤X<6)=0.5-0.所以P(X≤0)=P(X≥6)=0.1.不等式f(x²)-x²<0等价于,即8(x²)<g(e),g(x)在(0,+o)上单调递增，【分析】先归纳得数列a的通项，再求出数列的前n项和S,最后求得前69颗入轨卫星的总偏差即S69.【详解】由题意得a=3,a₂=|3-1|=2,a₃=|2-2|=0,a₄=|0-3|=3,as=|3-4|=1,a=|4-6|=2,a₈=|2-7|=5,a=|5-8|=3.可以归纳出，当n≥2时，若n=2k(k≥1,k∈N),则若n=2k-1(k≥2,k∈n*),则当m为偶数，设m=2k,(k≥2,k∈N),所以，S69=S₆8+a69=1160+33=1193.【详解】(1)设等差数列{a,}的公差为d,由题意知d≠0.展开整理得2d²-2d=0,即d(d-1)=0.由d≠0得d=1,因此数列{a,}的通项公式为试卷第6页，共13页试卷第7页，共13页每日睡眠时间≥7小时5每日睡眠时间<7小时858试卷第8页，共13页17.(1)f(x)的极小值为3-In2,无极大值【详解】(1)当a=-1时，,定义域为(0,+o),则当a≥0时，因f(x)在[1,e]上单调递增，二f(x).n=f(1)=2-a,令f(x)m.n≤0,解得a≥2,故得a≥2;令f(x)mn≤0,即,也即比较和1-e大小：且e-1>0,∵故实数a的取值范围13P【分析】(1)直接根据超几何分布的概率公式计算可得；,从而可得分布列；(ii)先由偶数n,Y仅取1和3,进而再推导再结合等比数列的性质可得,再通过取对数计算可得所求值.【详解】(1)Y=1表示初始抽取的3张卡片中恰有1张黑色，因此(2)(i)已知Y=1,即初始容器内1黑2白共3张卡片，试卷第9页，共13页试卷第10页，共13页第1次抽牌，抽中黑色卡片(概率为,则黑色卡片变为0,即Y₁=0;抽中白色卡片(概率则黑色卡片变为2,即Y=2;因此Y只能取0或2:若Y=0(0黑3白),必抽到白色卡(概率为1),替换后Y₂=1,若Y₁=2(2黑1白):抽到黑色卡(概率为,替换后Y₂=1,抽到白色卡(概率,替换后Y₂=3,所以P(Y₂=0)=P(Y₂=2)=0.13P(ii)对偶数n,Y仅取1和3,Y+2仅取1和3,所以Y,的值通过两次抽牌回到Yn+2的值，①从状态1出发，经过两次操作回到状态1:路径1:1→0→1,概路径2:1→2→1,概率合计概率②从状态3出发，经过两次操作回到状态1,路径：3→2→1,概率整理为等比数列形式：,结合初始Po=1,得通项：由要求代入得：,3”>250000,3>1g250000=4+21g5≈4+2×0试卷第11页，共13页因为