第01讲 菱形的性质（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第01讲菱形的性质（4种题型）【知识梳理】一、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．要点精析：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可．(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法．二、菱形的性质菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；(2)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；(3)菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．【考点剖析】一、利用菱形的性质求角度例1.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数．AABCDEF【变式】如图，等腰三角形CEF的两腰CE，CF的长与菱形ABCD的边长相等．(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)当△ECF是等边三角形时，求∠B的度数．二、利用菱形的性质求线段长例2.（1）菱形有一个内角为，一条较短的对角线长为6，则菱形的边长为_________；（2）如图，在菱形中，，，则．OO【变式】（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考一模）如图所示，边长为4的菱形中，对角线与交于点O，P为中点，Q为中点，连接，则的长为（）A． B． C． D．三、利用菱形的性质求面积例3.如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．【变式】（2023·山西晋中·统考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为_____．四、利用菱形的性质证明例4．已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．【变式】(自贡中考)如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.【过关检测】一、单选题1．（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）如图，菱形中，若，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（2023·陕西西安·校考二模）如图，为菱形的对角线，已知，则等于（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，在菱形中，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为（

）A．18 B．16 C．20 D．245．（2023·河南鹤壁·统考三模）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，若菱形的周长为，，则的面积是(

)A． B． C． D．6．（2023·天津河西·统考一模）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积等于（

）A． B． C． D．7．（2023·安徽六安·统考二模）在菱形中，与交于O，的值可以是（

）A． B． C． D．8．（2023春·九年级单元测试）如图，菱形的对角线交于点O，，将绕着点C旋转得到，则点A与点之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．129．（2023·江苏扬州·统考一模）下图中，图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④11．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，在菱形中，对角线与交于点，在上取一点，使得，连接，若，，则的长为（

）A． B． C． D．二、填空题12．（2023秋·陕西汉中·九年级统考期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则的度数为________．13．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________．14．（2023·江苏徐州·统考一模）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是__________．15．（2023·四川成都·统考二模）如图，，是菱形的对角线，若，则菱形的面积为_______．16．（2023·山东潍坊·统考一模）如图，在菱形纸片中，E是边上一点，将沿直线翻折，使点B落在处，连接，已知，，则的度数为______．17．（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1－∠2＝______°．18．（2023·山东青岛·一模）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．19．（2023·辽宁大连·统考一模）菱形周长为40，两条对角线的和为28，则菱形的面积为______．20．（2023·陕西西安·统考二模）如图，在菱形中，，，E为中点，F为上一点，且，则的长为___________．三、解答题21．（2023·广东广州·统考一模）已知．(1)化简；(2)若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值．22．（2023·广东广州·广州市育才中学校考一模）已知(1)化简；(2)如图，在菱形中，，对角线，若的周长为，求的值23．（2023·湖南永州·统考一模）如图，菱形中，，分别以、为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧在的两侧分别交于点、，作直线交于点，交于点，连接，求的度数．24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的垂线交的延长线于以E．(1)证明：．(2)若，，求菱形的面积．25．（2023·安徽马鞍山·校考二模）已知菱形中，，E，F分别在边，上，是等边三角形．(1)如图1，对角线交于点M，求证：；(2)如图2，点N在上，且，若，，求的值．26．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在菱形中，是对角钱，E，F分别为边的中点，连接，交于点G．(1)求证；(2)若，，则的长为________．27．（2023春·广西南宁·九年级南宁十四中校考阶段练习）如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接，求的度数．28．（2023春·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，对于点A和线段，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形，且，则称线段是点A的“相关线段”．例如，图1中线段是点A的“-相关线段”．（1）已知点A的坐标是．①在图2中画出点A的“-相关线段”，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“-相关线段”经过点，求的值；（2）若存在使得点P的“-相关线段”和“-相关线段”都经过点，记，直接写出t的取值范围．29．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，给出了格点（顶点是网格线的交点）．(1)将先水平向右平移2个单位，再竖直向上平移6个单位，得到，请画出（A、B、C的对应点分别为）；(2)连接，以为对角线，作菱形，且菱形的面积为16，请画出菱形（D在的左侧）；(3)直接写出菱形的周长_____________________．3