初中9年级数学 暑假自学预习 第08讲 二次函数y=ax²的图象和性质(解析版)

第08讲二次函数y=ax²的图象和性质内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1二次函数y=ax²中a值决定开口题型2求二次函数y=ax²中开口、顶点坐标、最值题型3利用二次函数y=ax²中增减性比较大小题型4二次函数y=ax²的图象和性质题型5利用二次函数y=ax²的性质求参数题型6画二次函数y=ax²的图象题型7二次函数y=ax²的图象和性质综合04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航抛物线、顶点、对称轴、开口方向、开口大小、a的作用、增减性。1.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，归纳出其图象特征（抛物线、顶点、对称轴）。2.掌握二次项系数a对抛物线开口方向、开口大小的影响：a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大开口越小。3.理解二次函数y=ax²的增减性：当a>0时，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧增大；当a<0时相反。4.体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，发展观察、归纳和几何直观能力。学习重点：二次函数y=ax²的图象特征（顶点在原点，对称轴为y轴）及其性质，特别是a对开口方向和大小的决定作用。学习难点：理解a的正负与开口方向的关系，以及|a|大小与开口宽窄的关系；掌握函数增减性（特别是对称轴两侧的不同变化趋势）并能用语言准确描述。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01二次函数y=ax2（其中a≠0）图象和性质一、基本形式图象是抛物线，顶点在原点(0,0)。二、图象特征（取决于a的符号与大小）1.开口方向a>0：开口向上，有最小值（在顶点）a<0：开口向下，有最大值（在顶点）2.顶点顶点坐标：(0,0)是抛物线的最低点(a>0）或最高点(a<0）3.对称轴对称轴：x=0（即y轴）4.开口大小（形状）开口大小由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄（靠近y轴）|a|越小，抛物线越宽（扁平）三、函数性质（a>0为例，a<0则增减性相反）1.定义域：全体实数2.值域当a>0：y≥0；当a<0：y≤0；3.单调性a>0时：在x<0上单调递减;在x>0上单调递增a<0时：在x<0上单调递增;在x>0上单调递减4.最值-a>0：最小值ymin=0（在x=0处），无最大值-a<0：最大值ymax=0（在x=0处），无最小值【易错提醒】即时即练1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（

）A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值．根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的图象是一条抛物线，故选项A正确，该函数图象开口向上，关于y轴对称，故选项B正确，图象的顶点是抛物线的最低点，故选项C错误，图象的顶点坐标是，故选项D正确，故选：C．2．关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．【详解】解：，，抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确；③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误；④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确；正确的说法共有3个，故选C．3．（1）在同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象．

（2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题：①由图象可知抛物线与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，抛物线与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称．②当相同时，抛物线开口大小___________；当变大时，抛物线的开口___________；当变小时，抛物线的开口___________．应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是___________．【答案】（1）见详解，（2）①，x，，x；②相同，较小，较大，【分析】（1）按要求作图即可；（2）①结合轴对称梯形的特点，根据（1）中的图象作答即可；②根据（1）的图象特点直接作答即可．【详解】（1）作图如下：

（2）①由图象可知抛物线与抛物线的形状相同，且两抛物线关于x轴对称；同样，抛物线与抛物线的形状相同，也关于x轴对称．故答案为：，x，，x；②当相同时，抛物线开口大小相同；当变大时，抛物线的开口较小；当变小时，抛物线的开口较大．应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是．故答案为：相同，较小，较大，．题型1二次函数y=ax²中a值决定开口【例1】抛物线的图象开口最大的是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得：，，∵，即又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大，∴抛物线的开口最大，【例2】已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键．直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案．【详解】解：如图所示：的开口向上，，与开口向下，则，∵的开口大于开口，∴∴，∴故选：D．【技巧归纳】【变式1-1】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系．【详解】解：抛物线、开口向上，且抛物线的开口更窄，，抛物线、开口向下，且抛物线的开口更窄，，．故选C．【变式1-2】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小；【详解】解：直线与四个二次函数的图象的交点分别为；由图像可知：；故选：D题型2求二次函数y=ax²中开口、顶点坐标、最值【例3】抛物线开口______，顶点坐标是______．【答案】向下【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数，当时，则开口向上，当时，则开口向下，并且二次函数的顶点坐标为，据此可得答案．【详解】解：∵抛物线解析式为，，∴抛物线开口向下，顶点坐标为，故答案为：向下，．【例4】函数的图象开口方向是___________，顶点坐标是___________，对称轴是___________．【答案】向上直线【分析】本题考查二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数的图象进行求解即可．【详解】解：函数的图象开口方向向上，顶点坐标是，对称轴是直线，故答案为：向上，，直线．【技巧归纳】【变式2-1】抛物线，开口_____，顶点坐标为__，对称轴为__；抛物线，开口____，顶点坐标为______，对称轴为____．相比之下，抛物线_____的开口程度较大．【答案】向上y轴向上y轴【分析】本题考查二次函数的相关知识．根据二次函数的性质逐一填写即可．【详解】解：抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴；抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．相比之下，抛物线的开口程度较大．故答案为：向上，，y轴，向上，，y轴，．【变式2-2】二次函数的图象开口____________（填“向上”或“向下”），有最____________（填“大”或“小”）值2024．【答案】向下大【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质进行解答即可．【详解】解：∵，∴抛物线抛物线开口向下，∵抛物线顶点坐标为，∴二次函数的最大值为2024，故答案为：向下，大．题型3利用二次函数y=ax²中增减性比较大小【例5】已知点是函数图象上两点，则______（填“>”“=”或“<”）．【答案】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．直接将点代入求出函数值，比较即可．【详解】解：∵点是函数图象上两点，∴，，∵，∴，故答案为：．【例6】已知抛物线经过三点，则的大小关系是______．【答案】/【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，直接代入求值，进行比较即可．【详解】解：∵抛物线经过，，三点，∴，∴，故答案为：．【技巧归纳】【变式3-1】已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“<”连接）．【答案】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质判断的大小关系．【详解】解：．又二次函数的图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，．故答案为：．【变式3-2】已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“<”连接）【答案】【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，∴当时，y随x的增大而减小．∵，∴．故答案为：．题型4二次函数y=ax²的图象和性质【例7】下列关于二次函数的说法正确的是(

)A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小【答案】D【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小．【详解】解：∵二次函数，∴，图像开口向上，对称轴为．对于选项A：当时，，∴A错误．对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误．对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误．对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确．故选：D．【例8】关于二次函数的图象，下列说法错误的是（

）A．它是一条抛物线 B．它的开口向下，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最低点 D．它与的图象关于x轴对称【答案】C【详解】本题考查了二次函数的性质，牢记其性质是解答本题的关键．根据二次函数图象的性质，判断各选项的正误。【分析】二次函数的二次项系数，A、它是一条抛物线，该选项说法正确，不符合题意；B、它的开口向下，且关于y轴对称，该选项说法正确，不符合题意；C、∵开口向下，∴顶点是抛物线的最高点，故该选项说法错误，符合题意；D、∵与的函数值互为相反数，∴它们的图象关于x轴对称，该选项说法正确，不符合题意；故选：C．【技巧归纳】【变式4-1】关于抛物线，给出下列说法，其中正确的说法有（

）①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若是该抛物线上两点，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质．根据二次函数的特点可解答①；再根据是在对称轴的右侧，由增减性可得解答②；然后根据自变量取值求出函数值，再结合最大值可判断③；最后根据关于对称轴对称的点的特点解答④即可．【详解】解：抛物线的开口向下，顶点在原点，所以①正确；当时，函数值y随着x的增大而减小，所以②正确；当时，，当时，，所以当时，，故③不正确；∵点在抛物线上，可知这两个点关于对称轴对称，且对称轴是y轴，∴，即，所以④正确，综上所述，正确的有3个．故选：C．【变式4-2】下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（

）A．它们的形状相同，开口方向也相同；B．它们都关于y轴对称；C．它们的顶点不相同；D．点既在抛物线上也在上．【答案】B【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可．【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等，∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误；它们的对称轴都是y轴，故B正确；它们的顶点都是，故C错误；把代入得：，∴点在抛物线上，把代入得：，∴点不在抛物线上，故D错误．故选：B．题型5利用二次函数y=ax²的性质求参数【例9】若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______．【答案】【分析】抛物线顶点在原点，不经过第二象限需满足当时，则抛物线开口应向下，开口方向由系数决定，解不等式即可；本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键．【详解】解：抛物线的顶点为，当时，开口向上，时，经过第二象限；当时，开口向下，时，不经过第二象限；故答案为：．【例10】已知二次函数，在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则________．【答案】【分析】本题考查了二次函数的概念与性质，解题的关键掌握二次函数的增减性．根据二次函数的定义，指数必须为，且二次项系数不为零；再根据函数在对称轴右侧递增的性质，判断开口向上，从而确定系数的正负．【详解】解：∵该函数是二次函数，∴指数部分，解得，即又∵二次项系数，即．函数在对称轴右侧部分，函数值随自变量的增大而增大，表明抛物线开口向上，∴二次项系数，即．综上，时，，不符合；，符合条件，故答案为：．【技巧归纳】【变式5-1】已知抛物线与的形状相同，并且时，随的增大而减小，抛物线的解析式为__________．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，两个二次函数的形状相同，那么对应的二次项系数的绝对值相同，再由函数的对称轴为轴，且时，随的增大而减小可得，据此可得答案．【详解】解：∵抛物线与的形状相同，∴，∵在中，时，随的增大而减小，且对称轴为轴，∴，∴，∴抛物线的解析式为，故答案为：．【变式5-2】已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．（1）k的值是_________．（2）若是此二次函数的图象上一点，且，则n的取值范围是_________．【答案】【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．（1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出结论；（2）当时，，当时，，并结合函数图象求出y的取值范围．【详解】解：（1）由题意可得，解得；故答案为：；（2）由题意可得二次函数的解析式为，当时，有最大值为0，当时，，当时，，∴当是此二次函数的图象上一点，且时，则，故答案为：．题型6画二次函数y=ax²的图象【例11】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．①；②；③；④．【答案】见解析【分析】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键；因此此题可根据列表、描点、连线的方法分别取原点及左右对称的四个点绘制函数图象．【详解】解：函数列表如下：x……012……y……101……图象如下所示：同理可分别作出②③④的函数图象如图所示．【例12】在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象：①；②；③；④．【答案】见解答【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可．【详解】解：二次函数①；②；③；④的对称轴都为y轴，在对称轴两侧分别取点，列表如下：012①202②0③82028④0描点、连线可得图象为：【技巧归纳】【变式6-1】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象．(1)，；(2)，，．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查二次函数的图象，用描点法画函数图象．（1）根据描点法，可得，的函数图象；（2）根据描点法，可得，，的函数图象．【详解】（1）解：各取个点，坐标如下：在平面直角坐标系中，画出，的图象：（2）解：各取个点，坐标如下：在平面直角坐标系中，画出y＝3x2，y＝﹣2x2，yx2的图象，【变式6-2】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点；(3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______．【答案】(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为．(2)，低．(3)，，大，0．【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键．（1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）根据函数的图象解答即可；（3）根据函数的图象解答即可．【详解】（1）解：图象如图：由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为．（2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点．故答案为：，低．（3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0．故答案为：，，大，0．题型7二次函数y=ax²的图象和性质综合【例13】已知抛物线经过点，．(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：(2)求m的值；【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(2)8【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m；（1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标．（2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解．【详解】（1）解：把代入，得解得：∴∵∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为．（2）解：把代入，得．【例14】已知抛物线经过点(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标．【答案】(1)；(2)点B不在此抛物线中；(3)或【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大．把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式；把代入此函数解析式即可判断；把代入抛物线的解析式中求得x的值即可．【详解】（1）抛物线经过点，把点代入抛物线中：，，此抛物线的函数解析式为：；（2）当时，，点不在此抛物线上；（3）此抛物线上一点的纵坐标为，把代入此抛物线中得：，，此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或．【技巧归纳】【变式7-1】已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？【答案】(1)(2)当时，该函数图象的开口向下(3)当时，最小值为【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题．（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值．【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，∴，，解得：；（2）解：∵函数图象的开口向下，，，∴当时，该函数图象的开口向下；（3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值，，即∵抛物线顶点坐标为，∴该函数最小值为．【变式7-2】如图，点、在的图象上.直线与y轴交于点C，连接、.(1)；；(2)直线的函数表达式；(3)求的面积；(4)观察图象，当时，y的取值范围；当时，y的取值范围.【答案】(1)；4(2)(3)6(4)；【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，轴对称，熟练求解直线的解析式是解题的关键．（1）将点代入求得，将代入求出；（2）运用待定系数法求出直线的解析式即可；（3）求出的长，根据求解即可；（3）根据函数图象确定两个范围内各自的最大值和最小值即可．【详解】（1）解：∵点在的图象上，∴，∴，∵点在的图象上，∴，故答案为：；4；（2）解：设直线的解析式为，∵、，∴，解得，∴直线的解析式为，故答案为：；（3）解：在中，令，则，∴C的坐标为，∴，∴；（4）解：∵、，观察图象，当时，当时有最小值；当时有最大值；y的取值范围；当时，当时有最小值，当时有最大值，∴y的取值范围，故答案为：；．一、单选题1．二次函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．将点代入二次函数解析式求解的值即可．【详解】∵函数经过点，当时，，代入得：,解得：故选：A．2．抛物线不相同的是（

）A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标【答案】B【分析】本题考查二次函数的基本性质，关键是比较二次项系数的符号对开口方向的影响．比较两条抛物线和的性质，包括形状大小、开口方向、对称轴和顶点坐标．由于二次项系数绝对值相同，形状大小相同；对称轴均为y轴；顶点均为原点；但开口方向相反．【详解】解：抛物线的形状大小相同；对称轴均为；顶点均为，但开口方向相反，故选：B．3．关于函数，下列说法正确的是（

）A．无论取何值， B．其图象的对称轴是轴C．随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限【答案】B【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．函数为二次函数，形式为，根据的符号，确定抛物线方向，再根据对称轴，分别出函数的增减性，函数经过的象限．【详解】∵函数是二次函数，且，∴抛物线开口向下，顶点在原点，当时，；当时，，故A错误；对称轴为，即轴，故B正确；∵中，，∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，故C错误；∵当时，，函数的图象上的点在第四象限；当时，，函数的图象上的点在第三象限，∴图象不在第二象限，故D错误，故选：B．4．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可．【详解】解：根据正方形的性质可得，∴直线的解析式为，联立，解得或，∴，∴，在正方形中，∴．5．如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（

）A．2 B． C．2或 D．0或4【答案】D【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的变化——平移，观察坐标特征得出平移的方向和距离是解题的关键．根据A、B点的坐标特征可知向左平移2个单位满足题意，则平移后的C点的坐标为，代入抛物线解析式，即可求得a的值．【详解】解：，，轴，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，向左平移2个单位满足题意，平移后的C点的坐标为，代入得，，解得或4，故选：D．二、填空题6．根据函数图象填空：（1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方；（2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点．【答案】轴（或直线）下下高【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空．【详解】（1）抛物线属于型二次函数．根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是．．则抛物线开口向上．且．仅当时．当时．．抛物线上的点都在轴上方．（2）抛物线中．．根据二次函数性质，抛物线开口向下．．仅当，即顶点处时．除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点．7．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为______．【答案】【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为，，∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，∴离对称轴越远函数值越小，∵点，，都在函数的图象上，且，∴，故答案为：．8．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____．【答案】8【分析】根据二次函数与的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解．【详解】解：二次函数与的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，∴图中阴影部分的面积是．9．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________．【答案】4【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值．【详解】解：如图：设点，，则：直线的表达式为：，直线的表达式为：，直线的表达式为：，，过点分别作轴垂线，交轴于点，∴，∴，∴，，，则直线的表达式为：，直线必过点，当与轴平行时，边上的高有最大值，为．10．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______．【答案】【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键．根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长．【详解】解：∵四边形是正方形，，∴，是等腰直角三角形．设的直角边长为，则；代入抛物线的解析式中得：，解得（舍去），；故的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，…依此类推，等腰直角的直角边长为，故正方形的周长为．故答案是：．三、解答题11．已知二次函数图像经过点．(1)判断这个函数图像的开口方向；(2)点在这个函数图像上，求m的值．【答案】(1)开口向上(2)【分析】本题考查了二次函数的性质．（1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向；（2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值.【详解】（1）解：将点代入中得即解得因为所以这个函数图像的开口向上（2）解：由（1）可知二次函数解析式为将点代入中得解得.12．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点．(1)求二次函数的解析式；(2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键．（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式；（2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标．【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，，解得：，二次函数的解析式为；（2）解：将代入，解得：，，点、的坐标分别为，，，，是等边三角形，易得点在轴上，且，轴，，，点的坐标为，点的坐标为或．13．已知函数是关于的二次函数.(1)求满足条件的值；(2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小；(3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大.【答案】(1)或(2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小(3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随