初中9年级数学 暑假自学预习 专题03 特殊的平行四边形(暑假复习讲义)(原卷版)

专题03特殊的平行四边形内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1利用平行四边形的性质求角度或线段题型2平行四边形的性质和判定的综合问题题型3利用矩形的性质求解题型4矩形的性质与判定的综合问题题型5利用菱形的性质求解题型6菱形的性质与判定的综合问题题型7利用正方形的性质求解题型8正方形的性质与判定的综合问题题型9与特殊平行四边形的性质与判定有关的作图（含无刻度作图）04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向1.平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。2.矩形四个角直角、对角线相等。3.菱形四条边相等、对角线垂直平分。4.正方形兼具矩形与菱形性质。5.判定方法综合运用（如添加条件）。6.折叠、动点及最值问题。1.判定与性质辨析：重点考查从一般四边形到矩形、菱形、正方形的判定路径，高频设置条件选择题（如“添加什么条件可判定为菱形”）。2.折叠与动点问题：将折叠变换与平行四边形结合求线段长度，或设置动点探究四边形形状，考查分类讨论与几何直观。3.对角线核心地位：充分利用对角线互相平分、垂直、相等等性质进行证明或计算，常与勾股定理、面积法综合。4.实际情境应用：结合矩形裁剪、菱形花坛、正方形地砖等生活问题，考查性质的实际运用。考情解码：根据2026年新教材考情，特殊的平行四边形是几何证明与计算的核心板块。命题聚焦从边、角、对角线三个维度判定矩形、菱形、正方形，并灵活运用其性质（如矩形对角线相等、菱形对角线垂直）解决线段长度、角度及面积问题。折叠变换、动点探究存在性及最值问题是压轴题高频方向，同时强调与勾股定理、全等三角形的综合，考查逻辑推理与分类讨论思想。知识点一平行四边形的概念及性质与判定1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。3.平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形【易错警示】-性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，勿与矩形、菱形性质混淆。-判定：一组对边平行且相等是常用判定，勿只记“平行”或只记“相等”；对角线互相平分也是重要判定。-条件充分性：两组对角相等或两组对边相等均能判定，但一组邻角互补不一定。即时即练1.如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，．求的长．2已知，如图，的对角线，相交于点，过点，分别交，于点，，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，则的边上的高为________．知识点二矩形的概念及性质与判定1.矩形的概念和性质（1）有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2.矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形【易错警示】-性质：具平行四边形所有性质，且四个角为直角、对角线相等。勿遗漏对角线相等。-判定：一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形也是矩形。勿用“对角线相等且垂直”。-混淆：勿将矩形性质（对角线相等）与菱形（对角线垂直）记混。即时即练1.如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____．2.如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形．(1)求证：四边形是矩形；(2)过点E作于点H，若，求的长．知识点三菱形的概念及性质与判定1.菱形的概念与性质有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。2.菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）（2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形【易错警示】-性质：具平行四边形所有性质，且四边相等、对角线互相垂直平分并平分内角。勿漏对角线平分内角。-判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形也是菱形。勿只用“对角线垂直”（还需平行四边形条件）。-面积：可用对角线积的一半，勿只记底乘高。即时即练1.如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________．2.如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．知识点四正方形的概念及性质与判定1.正方形的概念、性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。2.正方形的判定（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）（2）有一组邻边相等的矩形是正方形（3）有一个角是直角的菱形是正方形【易错警示】-性质：具矩形和菱形所有性质（四边等、四角直角、对角线垂直且相等）。-判定：先证矩形再加邻边相等或对角线垂直；或先证菱形再加一个直角或对角线相等。勿只证一组条件就下结论。-混淆：勿将正方形性质误作仅矩形或菱形特有。即时即练1.如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______．2.如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求的长．题型1利用平行四边形的性质求角度或线段例1．如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为．例2．如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为．【技巧总结】1.对边平行：得同位角、内错角相等，结合邻角互补求角度。2.对边相等、对角线互分：转移线段或证全等，利用中点或等长求线段。3.设未知列方程：将条件转化为含未知数的等式，解出角度或边长。【变式训练1-1】如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为．【变式训练1-2】如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接．当为等腰三角形时，的值为．题型2平行四边形的性质和判定的综合问题例3．如图，在四边形中，，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长．例4．如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．(2)若，的面积为8，求的面积．【技巧总结】1.判平行四边：从边（平行或相等）、角、对角线三个方向找依据。2.搭桥转化：利用性质得边角等量关系，再用判定证另一组四边形。3.连对角线：构造全等三角形，转移条件，连接已知与未知。【变式训练2-1】如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．

(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，求四边形的周长；(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．【变式训练2-2】如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：；(3)试猜想与的数量关系并给予证明．题型3利用矩形的性质求解例5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为．例6．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为．【技巧总结】1.借直角：用勾股定理求对角线或边长，设未知列方程。2.用对角线：对角线相等且互相平分，得等腰三角形，转移角度。3.遇中点：连接对角线或利用斜边中线等于斜边一半求线段。4.面积法：不同边与高乘积相等求未知量。【变式训练3-1】已知，矩形中为上一点，且为上一点，且，连接，，．若是直角三角形，则的长为．【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为．题型4矩形的性质与判定的综合问题例7．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，，，求的长．例8．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求矩形的面积【技巧总结】1.先证平行四边：从对边平行或相等、对角相等、对角线互分入手。2.再加直角：一个直角即矩形；或对角线相等直接得矩形。3.借性质算量：证得矩形后，用对角线相等、勾股定理、面积法求边长或角度。【变式训练4-1】如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．(1)求证：四边形是矩形．(2)若四边形是菱形，，且，求的面积．【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上．点在上，过点作分别交轴、轴于点，，过点作交轴于点，连接，．(1)求证：四边形是矩形．(2)连接交轴于点，已知点的坐标为．①求的长；②请直接写出点的坐标．题型5利用菱形的性质求解例9．如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为．例10．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是．【技巧总结】1.四边相等：转移线段，证等腰三角形，求周长或边长。2.对角线垂直平分：得四个直角三角形，用勾股定理求对角线长或面积。3.面积公式：\(\text{面积}=\frac{1}{2}\times\text{对角线乘积}=\text{底}\times\text{高}\)，灵活转换。【变式训练5-1】中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是．【变式训练5-2】如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为．题型6菱形的性质与判定的综合问题例11．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的面积．例12．如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，求四边形的面积．【技巧总结】1.先证平行四边：从对边平行或相等、对角相等、对角线互分入手。2.再加边等：一组邻边相等即菱形；或对角线垂直。3.借性质算量：证得菱形后，用对角线垂直平分、勾股定理、面积公式求值。【变式训练6-1】如图，在矩形中，，．(1)如图1，过对角线中点作，分别交，于点，，连接，，求证：四边形为菱形；(2)求图1中线段的长；(3)如图2，矩形内有一点，连接，，延长交于点，若，，求的长．【变式训练6-2】如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接．(1)①试猜想四边形的形状，并说明理由．②若，则四边形的面积为________．(2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积．题型7利用正方形的性质求解例13．如图，是正方形的对角线上一点，且，连接，则的度数是．例14．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为．【技巧总结】1.四边等、四角直：得等腰直角三角形，用勾股或三角函数。2.对角线：相等、垂直平分且平分内角，将问题转为等腰直角。3.对称性：利用轴对称或中心对称转移线段、构造全等。4.旋转全等：常将含90°的三角形旋转解题。【变式训练7-1】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为．【变式训练7-2】如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为．题型8正方形的性质与判定的综合问题例15．如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，，求的长．例16．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．(1)求证：矩形是正方形．(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．(3)直接写出的最小值．【技巧总结】1.先证矩形：一角为直角的平行四边形；或对角线相等的平行四边形。2.再证菱形：一组邻边相等；或对角线垂直。3.得正方形：既是矩形又是菱形。4.借性质：用对角线、边长、勾股定理、全等三角形求值或证结论。【变式训练8-1】如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形．(2)如图②，当点E在线段AC上时，①若，，求CG的长度；②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________．【变式训练8-2】已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．(1)【动手操作】如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．(2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．(3)【拓展应用】是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．题型9与特殊平行四边形的性质与判定有关的作图（含无刻度作图）例17．如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：(1)在图1中，，作出中边上的高；(2)在图2中，过点作的平行线．例18．如图，在长方形中，是对角线．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接，交于点，若．求的面积．【技巧总结】1.借对角线交点：连接已知顶点与对角线交点，利用中心对称找等分点。2.用平行与垂直：借助矩形、正方形网格线作平行或垂直，构造菱形、正方形。3.找对称点：利用轴对称性质，通过作垂线或连线找对应点。【变式训练9-1】如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）．(1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）；(2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形．【变式训练9-2】如图，在正方形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法）(1)在图①中，作出边的中点P；(2)在图②中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形．1．在平行四边形中，如果，则（

）A． B． C． D．2．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②连接直线，直线恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（

）A． B． C． D．3．如图，正方形的边长为，为边上一点，为延长线上一点，为线段的中点，连接并延长交边于点．若，，则的长为（

）A． B． C． D．4．第一步