14.3.1角的平分线的性质（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.

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2026年7月19日

14.3.1角的平分线的性质第十四章

全等三角形14.3.1角的平分线的性质

同步精讲练习题一、核心知识点精讲1.角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。2.角平分线的性质定理（必考）定理内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。关键词拆解：①点在角平分线上；②距离（点到直线的垂直距离）；③两边距离相等。几何语言标准书写：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）3.重要前提条件（易错点）使用性质定理必须同时满足三个条件：（1）有角平分线；（2）点在平分线上；（3）垂直距离（必须作垂直）。若无垂直，不能直接用距离相等！4.定理作用无需证明三角形全等，直接证明线段相等，简化证明步骤，是考试快速解题技巧。5.拓展结论三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等。二、基础练习题（一）选择题1.角平分线上的点到角两边的（）相等A.线段长度B.距离C.斜线长D.任意连线长度2.下列条件中，能推出PD=PE的是（）A.OP平分∠AOBB.PD⊥OA，PE⊥OBC.OP平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OBD.点P在∠AOB内部3.三角形三条角平分线的交点到三角形（）距离相等A.三个顶点B.三边C.三条中线D.三条高（二）填空题4.角的平分线上的点到角两边的________相等。5.已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=6cm，则PN=________cm。6.使用角平分线性质定理，必须满足点在平分线上和________。（三）基础解答题7.已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：DB=DC。8.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，PA=4，求PB的长度。三、能力提升题9.已知：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5，求点D到AB的距离。10.如图，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，EF⊥AB，EG⊥BC，EH⊥CD，求证：EF=EH。四、参考答案与详细解析（一）选择题1.B解析：角平分线性质核心是距离相等。2.C解析：必须同时具备平分线+双垂直，才能得距离相等。3.B解析：三角平分线交点为内心，到三边距离相等。（二）填空题4.距离5.6解析：角平分线性质直接得PN=PM=6cm。6.点到角两边的垂直距离（三）基础解答题7.证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC∴DB=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）8.解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB∴PB=PA=4，即PB长为4。（四）能力提升题解析9.解：过点D作DE⊥AB于E∵∠C=90°，∴DC⊥AC∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC∴DE=DC∵BC=8，BD=5，∴DC=8−5=3∴DE=3，即点D到AB的距离为3。10.证明：∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC∴EF=EG（角平分线性质）∵CE平分∠BCD，EG⊥BC，EH⊥CD∴EG=EH（角平分线性质）∴EF=EH。五、本节易错总结1.切忌乱用定理：没有垂直就不能用角平分线性质，只能用全等证明；2.区分“线段长”和“距离”：性质定理相等的是垂线段长度；3.大题书写必须写全条件：平分线+双垂直，再得距离相等，步骤缺一不可。探究角平分线的性质定理.探究并掌握角平分线的性质定理.探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题；请大家在草稿纸上画一个∠AOB，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用我们学过的知识，证明结论的正确性吗？如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等.本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上.探究

如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN

(SAS)，就有PM=PN.探究

反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？AOBMNPOM=ON，PM=PN，OP=OP，∴△OPM≌△OPN

(SSS)，证明：连接OP，在△OPM和△OPN中探究

反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？AOBMNP证明：∴∠POM=∠PON，∴点P在∠AOB的平分线上.思考

由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点；再在角的内部作出与这两点距离相等的点；以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.AOBMNPABO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.

MNC为什么呢？知识点1

作已知角的平分线ABOMNC思考

作图依据是什么？利用“SSS”证明全等两个三角形全等，则对应角相等知识点1

作已知角的平分线例1

已知：∠AOB，如图所示.求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹）解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线.AOBCEFD知识点1

作已知角的平分线跟踪训练

已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的平分线.AOBEFC结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.知识点1

作已知角的平分线由此，我们可以猜想角平分线有什么性质？探究

如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…，分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…，分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3.角的平分线上的点到角两边的距离相等.知识点2

角的平分线的性质我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”.已知：一个点在一个角的平分线上；求证：这个点到这个角两边的距离相等.为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.知识点2

角的平分线的性质知识点2

角的平分线的性质如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.知识点2

角的平分线的性质证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.知识点2

角的平分线的性质证明：在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC，∠PDO=∠PEO，OP=OP，∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD=PE

.符号语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.角的平分线上的点到角两边的距离相等.知识点2

角的平分线的性质例2 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由.知识点2

角的平分线的性质解：如图，过点M作MH⊥AB于点H.∵∠BAD=30°，∠CAB=60°，∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB,∴AM平分∠CAB.例2 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由.知识点2

角的平分线的性质解：∵MH⊥AB，MC⊥AC,∴MH=MC，即MC的长度等于点M到AB的距离.证明一个几何命题时的步骤：已知：一个点在一个角的平分线上求证：这个点到角两边的距离相等；第一步：明确命题中的已知和求证.第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.知识点3

证明几何命题的一般步骤例3

求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等.知识点3

证明几何命题的一般步骤解：已知：如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD,例3

求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等.知识点3

证明几何命题的一般步骤解：∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED

和△CFD中，∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS）.∴BE=CF.（第1题）

A

返回（第2题）

A

返回（第3题）

A

返回（第4题）