17.2.2用完全平方公式分解因式（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.

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2026年7月19日

17.2.2用完全平方公式分解因式第十七章

因式分解17.2.2用完全平方公式分解因式

练习题【核心知识点回顾】一、完全平方公式（因式分解逆用）完全平方和：$$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$$完全平方差：$$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$$二、完全平方式三大判定条件（必考）1.多项式一共三项；2.首尾两项是平方形式且符号为正；3.中间项是首尾底数乘积的2倍（可正可负）。万能口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央三、公式中a、b的含义$$a、b$$可以是：数字、单个字母、单项式、整体多项式，和平方差公式中整体思想一致。例：$$x^2-4x+4=x^2-2\cdotx\cdot2+2^2=(x-2)^2$$例：$$4x^2+12xy+9y^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=(2x+3y)^2$$四、标准解题步骤1.提：有公因式先提取公因式，化为最简三项式；2.判：判断是否满足完全平方式三大条件；3.定：确定首尾平方底数，找准中间项符号；4.套：套用完全平方公式写成平方形式；5.查：检查是否分解彻底。五、常见完全平方式熟记$$x^2+2x+1=(x+1)^2$$$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$$$x^2-8x+16=(x-4)^2$$---【同步练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.下列式子是完全平方式的是（）A.$$x^2+2x-1$$B.$$x^2-4x+4$$C.$$x^2+x+1$$D.$$x^2-2x-1$$2.分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（）A.$$(x-3)^2$$B.$$(x+3)^2$$C.$$(x-3)(x+3)$$D.$$x(x-6)+9$$3.$$4a^2+4a+1$$分解因式正确的是（）A.$$(2a+1)^2$$B.$$(2a-1)^2$$C.$$4(a+1)^2$$D.$$(4a+1)^2$$4.若$$x^2+mx+16$$是完全平方式，则m的值为（）A.8B.-8C.±8D.±45.完全平方式的项数为（）A.2项B.3项C.4项D.任意项二、填空题（每题4分，共20分）1.$$a^2+2ab+b^2=$$________。2.$$a^2-2ab+b^2=$$________。3.$$x^2+10x+25=$$________。4.$$9x^2-12x+4=$$________。5.完全平方式首尾两项必须是________形式且同号。三、解答题（共60分）1.（36分）用完全平方公式分解下列因式：（1）$$x^2+2x+1$$（2）$$x^2-12x+36$$（3）$$a^2+8ab+16b^2$$（4）$$25x^2-20xy+4y^2$$（5）$$-x^2+2xy-y^2$$（6）$$16a^2+8a+1$$2.（12分）先提公因式再用公式分解：（1）$$3x^2-6x+3$$（2）$$2a^3-8a^2+8a$$3.（12分）整体思想分解因式：$$(x-1)^2+4(x-1)+4$$---【参考答案与解析】一、选择题答案：1.B2.A3.A4.C5.B二、填空题答案1.$$(a+b)^2$$2.$$(a-b)^2$$3.$$(x+5)^2$$4.$$(3x-2)^2$$5.平方三、解答题解析1.解：（1）原式$$=x^2+2\cdotx\cdot1+1^2=(x+1)^2$$（2）原式$$=x^2-2\cdotx\cdot6+6^2=(x-6)^2$$（3）原式$$=a^2+2\cdota\cdot4b+(4b)^2=(a+4b)^2$$（4）原式$$=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=(5x-2y)^2$$（5）原式$$=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$$（6）原式$$=(4a)^2+2\cdot4a\cdot1+1^2=(4a+1)^2$$2.解：（1）原式$$=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$$（2）原式$$=2a(a^2-4a+4)=2a(a-2)^2$$3.解：设$$a=x-1$$原式$$=a^2+4a+4=(a+2)^2$$回代得：原式$$=(x-1+2)^2=(x+1)^2$$【高频易错总结】1.公式混淆：平方差是两项、异号；完全平方是三项、首尾同号，切勿混用；2.中间项易错：必须是首尾底数乘积的2倍，容易漏乘2；3.首项为负必须先提负号，再套用公式，避免符号混乱；4.有公因式不先提取，导致分解不彻底；5.整体换元不会用，无法识别复杂的完全平方式。经历通过乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的相反变形得出利用完全平方公式分解因式的过程.理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别.

复习导入在括号里填上适当的式子，使等式成立：(1)(a+b)2=________________；(2)(a–b)2=________________；(3)a2+______+1=(a+1)2；(4)

a2–______+1=(a–1)2

.a2+2ab+b2a2

–

2ab+b22a2a整式乘法因式分解思考

多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它分解因式吗？

这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2把整式乘法的完全平方公式的等号两边互换，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2，

a2-2ab+b2=(a-b)2.两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同；中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以.a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.例1

分解因式： (1)x2+4x+4；x2+4x+4=x2+2·x·2+22a2+2·a·b+b2解：x2+4x+4=x2+2·x·2+22=(x+2)2.例1

分解因式：(2)16x2-24x+9.

解：(2)16x2-24x+9=(4x)2-2·4x·3+32=(4x-3)2.运用完全平方公式分解因式的步骤：分析：在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式可化为完全平方式m²-12m+36；对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式.例2

分解因式：(1)(a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y².例2

分解因式：(1)(a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y².解：(1)(a+b)-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.解：(2)

-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2.把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.思考

x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？回顾题目

计算：（1）(x+2)(x+3)；

（2）(x-4)(x+1)；（3）(x+4)(x-2)；

（4）(x-5)(x-3).=x2+5x+6.=x2-3x-4.=x2+2x-8.=x2-8x+15.xxpqx2qxpxpq由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：(x+p)(x+q)=()2+()x+().xp+qpq我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出:(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).探究

将式子x2+3x+2分解因式.因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子.p=1，q=2.x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).11121×2+1×1=3x2+3x+2=(x+1)(x+2).十字相乘法探究

将式子x2+3x+2分解因式.xx12

(x+1)(x+2).跟踪训练

利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？(1)x2+7x+10; (2)x2-2x-8;xx25

∴x2+7x+10=(x+2)(x+5).xx-42

∴x2-2x-8=(x-4)(x+2).跟踪训练

利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？(3)y2-7y+12; (4)x2+7x-18.yy-3-4

∴y2-7y+12=(y-3)(y-4).xx-29

∴x2+7x-18=(x-2)(x+9).

BA.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

B

返回

D

A

返回

B返回

16返回8.母题教材P130例3

把下列各式因式分解：

返回

（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；

返回

D

返回

AA.

正数

B.

负数C.

零

D.

非负数

返回

BA.

①②

B.

②③C.

①③