直线与圆的位置关系课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.5.1直线与圆的位置关系学习目标1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识全过关知识点直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0).位置关系公共点个数图示判定方法几何法:计算圆心到直线的距离d=

相交2

Δ>0d

r

相切1

Δ=0d=r相离0

Δ

0

d

r

<<>AI·思考辨析1.利用几何法、代数法均可判断直线与圆的位置关系,你认为哪种方法更简单?提示

几何法相对运算量要小一些.2.如图所示,直线l与圆相交于点A,B,设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则弦长|AB|,r,d三者之间的关系是怎样的?

体验新知1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(

)(2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.(

)(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(

)×√√2.(人教B版教材习题改编)已知直线2x+y-5=0和圆(x-1)2+(y+2)2=6.(1)圆心到直线的距离d=

;

(2)直线与圆的位置关系为

.

相交

重难探究·能力素养速提升能力提升点一直线与圆位置关系的判定【例1】

(人教B版教材例题改编)已知直线y=x+b,圆x2+y2=2,分别求b取何值时,直线与圆相交、相切、相离.

变式训练1

(北师大版教材例题改编)已知直线l:2x+y-3=0,圆M:(x-a)2+y2=5.求实数a分别取何值时,直线l与圆M相交、相切、相离.

能力提升点二圆的弦长问题【例2】

(苏教版教材习题)圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求弦AB的长;(2)当弦AB被点P0平分时,求直线AB的方程.解

(1)(方法1)当α=135°时(如图1),直线AB的斜率是k=tan

135°=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.①把①代入圆的方程x2+y2=8,得x2+(-x+1)2=8,即2x2-2x-7=0.图1(方法2)当α=135°时(如图1),直线AB的斜率是k=tan

135°=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.设弦AB的中点为M,圆心为O(0,0),则OM⊥AB,图1

图2

AI探究2(变条件)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.

能力提升点三求圆的切线方程【例3】

(人教B版教材例题)已知M(1,2)是圆x2+y2=5上一点,求圆的过点M的切线方程.

例题探究1

(一般化结论)若点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的一点,则圆的过点M的切线方程是什么?

例题探究2

(变条件)将例3中圆的方程改为“(x-2)2+(y-4)2=1”,其余条件不变,如何求?

能力提升点四直线与圆位置关系的实际应用【例4】

如图,在港口A的正南方60km处有一座小岛,小岛的周围有很多暗礁,分布在以小岛的中心O为圆心、半径为20km的圆形区域内.一艘轮船在小岛东偏南45°方向的B处,且与小岛的中心O相距40

km,准备沿直线返回港口A.如果这艘轮船不改变航线,那么它是否有触礁的危险?解

以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,取10

km为单位长度.由题意可得:点A的坐标为(0,6),点B的坐标为(4,-4),暗礁区域的边界所在圆的方程为x2+y2=4.所以,直线BA与圆x2+y2=4相离.因此,即使不改变航线,这艘轮船也不会有触礁的危险.变式训练2

(2026四川高二期中)如图,已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域,一艘轮船从位于海监船正东30km的A处出发,径直驶向位于海监船正北40km的B处岛屿,速度为28km/h.这艘轮船能被海监船监测到的时长为(

)A.1小时 B.0.75小时C.0.5小时 D.0.25小时C

B

[教材溯源](人教A版教材习题)已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1?

本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与圆的三种位置关系及其判断;(2)弦长公式;(3)求圆的切线方程;(4)直线与圆位置关系的实际应用.2.方法归纳:几何法、代数法、坐标法、数形结合法.3.常见误区:(1)求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况;(2)不能正确进行数学建模.学以致用·随堂检测促达标123451.(AI原创)已知圆的方程为x2+y2-2x=0,直线的方程为x+y-2=0,则该直线与圆的位置关系是(

)A.相交

B.相切C.相离

D.无法确定A

123452.[2023天津期末]直线l:x-y+2=0被圆O:x2+y2=9截得的弦长为(

)

A123453.(多选题)(2026安徽阜阳高二期末)已知圆的方程为x2+y2-8x-8y+3=0,过点(1,0)的直线交该圆于A,B两点,则弦长|AB|的值可能为(

)A.6 B.3

C.9

D.11AC

123454.(苏教版教材习题改编)过点(1,

)且与圆x2+y2=4相切的直线的方程为

.

123455.(