湖北省武汉市2025-2026学年高一数学上学期12月月考试卷【含答案】

武汉市2025～2026学年度高一数学上学期12月月考试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中与函数相同的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各个选项中函数的定义域和解析式与是否相同，由此得到结果.【详解】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确；选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确；选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确；选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确；故选：B.2.已知，则p，q，r的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数单调性、对数运算法则及幂运算计算即可得.【详解】，，，故.故选：B.3.已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断.【详解】由，且，，得内有零点；由，且，，得在内有零点；由，，，得在内有零点所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为．故选：B4.著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（）（参考数据：）A.16分钟 B.18分钟 C.20分钟 D.22分钟【答案】D【解析】【分析】根据题意代值计算即可.【详解】由题知，所以，可得，所以，即.故选：D.5.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解.【详解】因为函数在上单调递减，且函数在上单调递增，所以在上单调递减，且在上恒成立，则，解得，所以的取值范围是.故选：D.6.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a的取值范围.【详解】因为，所以，∴，即对恒成立，∵，∴恒成立，当时，有最小值-4，∴，故选：A7.已知函数（且，若有最小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围．【详解】因为，则，可知在内单调递减，且；当时，，当时，则在为增函数，且，若有最小值，则，解得；当时，则在为减函数，且，若使有最小值，则，解得；综上所述：实数的取值范围是．故选：C．8.设函数定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于，求出实数的取值范围.【详解】因为函数为“倍缩函数”，且满足存在，使在上的值域是，所以在上是增函数；所以，即，所以是方程的两个根，设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；所以，解得：，所以满足条件的取值范围是，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据“倍缩函数”的定义得出在上的值域是，所以，因此，可得是方程的两个根，令，可得方程为有两个不等的正实根，所以即可求的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】A选项，由单调性排除A，由奇偶性排除D，BC选项，先求出定义域，可利用函数奇偶性定义判断出为偶函数，进而判断出函数的单调性，得到答案.【详解】在上单调递减，A错误；定义域为R，且，故为偶函数，且的对称轴为轴，且在上单调递增，B正确；的定义域为，且，故为偶函数，又当时，单调递增，故C正确；因为，故不是偶函数，D错误.故选：BC10.已知，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由，得，然后逐个分析判断即可.【详解】由，得，对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以D正确.故选：ACD11.已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（）A.B.在上单调递增C.若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为D.若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据推导即可；对于B，令，再结合已知区域的函数关系式即可求解；对于C，画出函数的图像，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围；对于D，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围．【详解】对于A，因为，所以，当时，，则，所以，故A正确；对于B，由A知，，因此当时，，故由，则，故，其开口向下，且对称轴为，所以在上单调递减，故B错误；对于C，方程的实数根可看作函数与直线图象交点的横坐标，由题可作出的图象如图所示，若，则是与在对称轴为对应区间上交点的横坐标，，，，故C正确；对于D，同C分析，若在上有4个实数根，则与的图象有4个交点，由图知，则的取值范围为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域是___________．【答案】且【解析】【分析】根据题意得到求解即可.【详解】由题知：且.故答案为：且.13.若的反函数为，且，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数的反函数，再利用对数的运算性质化简，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为和（，）互为反函数，若，则，又因为，所以，所以，且，，又，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14.记已知函数，若，使得，则的最大值为___________．【答案】4【解析】【分析】先求得的解析式，求得在区间上的值域，根据任意性、存在性列不等式，从而求得的最大值.【详解】由图可知，则在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，即在区间上值域为．，使得，等价于在上的值域是在上的值域的子集，令，解得，所以，所以的最大值为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求解即可；（2）根据对数的运算性质结合换底公式可得，再结合指数幂运算求解即可.【详解】（1）原式；（2）因为，所以.16.已知，函数（1）当时，解不等式；（2）设，若对任意的在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数单调性可得，再结合指数函数单调性分析求解；（2）分析可知在上单调递减，结合单调性可得，换元令，根据恒成立问题结合二次函数最值运算求解即可.【小问1详解】当时，，可得，解得，所以不等式的解集为.【小问2详解】若，则，可知的定义域为，因为在定义域内单调递增，在上单调递减，可知在上单调递减，则，由题意可得：，则对任意的恒成立，令，则，因为的图像开口向上，对称轴为，可知在内单调递增，则，可得，解得，所以的取值范围为.17.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③．（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】（1）符合，（2）当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh【解析】【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可【小问1详解】因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，故是可能符合表格中所列数据的函数模型.由，得：，所以【小问2详解】由题意，高速路上的耗电量任取，当时，所以函数在区间上是增函数，所以Wh国道上的耗电量所以Wh所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh18.已知函数，.（1）若函数是奇函数，求实数m的值；（2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围；（3）当时，，求函数的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解；（2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解；（3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值.【小问1详解】因为函数为奇函数，且定义域为，所以，即，所以，即，因为为奇函数，所以符合题意；【小问2详解】当时，，则存在，使得成立，即，所以在上有解，令，因为，所以，则有解，故实数t的取值范围为函数的值域，又，因为，所以，所以，故实数t的取值范围为；【小问3详解】由题，，令，显然在上单调递增，则，则，当，即时，在上单调递减，；当，即时，在上单调递增，；当，即时，.综上：.19.若函数在区间上有意义，对于给定的，存在，使得，则称为上的“阶等值函数”.（1）判断，是否是上的“阶等值函数”，并说明理由；（2）若二次函数满足，证明：是上的“阶等值函数”；（3）证明：是上的“阶等值函数”，并求的最大值.【答案】（1）不是，证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析，的最大值为.【解析】【分析】（1）根据“阶等值函数”的定义，判断在上是否存在使得即可.（2）根据题目中所给的定义，结合二次函数的对称性，可得答案；（3）由题意代入端点值，求得参数值，利用反证法，结合指数函数的性质，可得答案.【小问1详解】假设是上的“阶等值函数”.则存在，使得，故.又因为是单调递增函数，而，所以，矛盾，所以不是上的“阶等值函数”.【小问2详解】证明：因为是二次函数，，所以的对称轴为，若存在，使得，则，解得，所以是上的“阶等值函数”．【小问3详解】证明：因为，当时，，令，得