河北省NT20名校联合体2025-2026学年高二（2027届新高三摸底）下学期7月期末考试数学试题（含解析）

新高三摸底测试

数学

考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填在答题卡上。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z=a+(a-1)i(a∈R)为纯虚数，则|z|为

A.0B.1C.2D.3

2.已知向量AB=(1,3),AC=(2,t),若AB·BC=4,则|BC|=

A.1B.2C.3D.√2

3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为S,且a₁+S₂=8,a₂+S₃=

18,则数列{an}的公比为

A.2D.

4.已知方表示焦点在y轴上的椭圆，则的最小值是

A.4B.5D.6

5.某房地产开发商为了促销举行抽奖活动.若抽中一等奖，则抵扣房款1.5万元，

若抽中二等奖，则抵扣房款5000元.已知每位顾客都有两次抽奖机会，且每次

抽中一等奖和二等奖的概率分别为和,每次中奖情况相互独立.现有甲顾客

参与该抽奖活动，抽奖获得的抵扣房款总金额为X万元，则X的期望是

6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)+f(一x+1)=0,且当x∈(0,1)

时，f(x)=e+e⁻*,则函数f(x)在[-4,4]上的零点个数为

A.3B.5C.9D.10

7.已知向量(其中O为坐标原点),把OA绕点O逆时针旋转θ角得

到向量OB.若向量OB的坐标为,则cosθ=

A.

C.

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8.已知指数函数f(x)满足2f(x)—f'(x)=0,若不等式对Vx∈

(0,十∞)成立，则实数a的取值范围为

C.(e,十∞)D.[2e,十∞]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是

A.x⁻⁴的系数是-12B.各项的系数和是64

C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

10.已知数列{an}的前n项和为S,且an+an+1=4n+1,a₁=1,则

A.a₃=6B.a2n=4n

C.当n为偶数时，D.S₁9=370

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N,P分别是CC₁,

BC,DC的中点，则下列命题正确的是

A.平面AB₁D₁//平面MNP

B.二面角A-B₁D₁-A₁的正切值为

C.平面AB₁D₁与平面MNP间的距离为√3

D.以A₁为球心，√2为半径的球面与平面AB₁D₁的交线

落在△AB₁D₁内的长为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线l₁:x+(1—a)y-3=0与直线l₂:(2a+3)x+y+2=0垂直，则a=

13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足,S△ABC=2,

则△ABC外接圆的面积为

14.在平面直角坐标系中，O(0,0),M(3,0),N(4,0),点P满足|PO|=2|PM|,点P

的轨迹为曲线E,直线l:x+y-a—4=0(a>0),直线l与曲线E交于不同的

两点A,B,且√3|NB-NA|≤|NA+NB|,则实数a的取值范围是·

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB=2sinC,

a=3.

(1)若,求△ABC的面积；

(2)若∠CAB的平分线交BC于D,且AD=3,求边c.

16.(本小题满分15分)

为了迎接高考，某校举行模拟考试.现随机抽取其中60名考生的物理成绩进行

统计(满分100分),并将他们的成绩分成(50,60),(60,70),(70,80),(80,90),

[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该校学生物理成绩的平均数和第80百分位数；(同一组中的数据用该

组区间的中间值为代表)

(2)用分层随机抽样的方法在分数段[80,100]内的学生中抽取一个容量为7的

样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段

[90,100]内的概率.频率

组距

0.035

0.025

0.02

a

0L

50100成绩

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17.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，△PAD是等边三角形，BC//AD,

AB=1,PC=2,AB⊥AD,E是棱PD上的点.

(1)若点E为PD的中点，求证：CE//平面PAB;

(2)求平面ACE与平面PCD夹角的余弦值的取值范围.

18.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=e—x,

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)若,证明：当x≥0时，f(x)≥g(x).

19.(本小题满分17分)

已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),过点F的直线l

与双曲线C交于M,N两点，且MN的中点为(3,1).

(1)求双曲线C的方程；

(2)过P(1,1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A,B.

(i)证明：直线AB的方程为x-3y-3=0;

(ii)设F₁为双曲线C的左焦点，证明：∠AF₁P+∠BF₁P=π.

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新高三摸底测试

数学参考答案

1.【答案】B

【解析】复数z=a+(a-1)i为纯虚数，则解得a=0,所以|=|=I-i|=1.

故选B.

2.【答案】D

【解析】BC=AC-AB=(2,t)-(1,3)=(lt-3).因为AB·BC=1+3×(t-3)=4,解得t=4,

所以BC|=√²+(4-3)²=√2.故选D.

3.【答案】A

【解析】设等比数列{a,}的公比为q.根据题意可得，解得

.因为各项均为正数，所以q=2.故选A.

4.【答案】B

【解析】根据题意可得，解得1<m<3.令m+1=t∈(2,4),则

当且仅当t=3时，等号

成立，故的最小值为5.故选B.

5.【答案】D

【解析】由题可知X的所有可能取值为1,2,3,则

所以

故选D.

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6.【答案】C

【解析】由fx+1)+f(-x+1)=0,得fx)=-f(2-x),又f(x)是奇函数，所以

fx)=-f(2-x)=f(x-2),故fx)为周期为2的函数.又f(0)=0,f(-1)=f(1)=0,当

x∈(0,1)时，f(x)=eˣ+e×>2,无零点.又f(x)是奇函数，所以当x∈(-1,0)时，

f(x)也无零点，在一个周期[-1,1]上的零点分别为-1,0,1,根据周期规律，所

以f(x)在[-4,4]上有9个零点，分别为0,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4.故选C.

7.【答案】D

【解析】由题意得，oA|=1,所以点A在单位圆上，则向量OA与x轴正半轴的

夹角为.把OA绕点O逆时针旋转θ角得到的向量OB的坐标为

,所以,所以

.故选D.

8.【答案】B

【解析】设f(x)=m,由题意可得，2m-m*lnm=0,解得m=e²,则f(x)=ex.

因为对Vx∈(0,+0)恒成立，所以对Vx∈(0,+∞)恒成立.

不等式可变形为ae²ˣ+2x+Ina≥Inx+x,即e@e²ˣ+(2x+Ina)≥Inx+e*,即

e²x+tha+(2x+Ina)≥elnx+Inx对Vx∈(0,+0)恒成立.记g(x)=e*+x,所以

e²x+ha+(2x+Ina)≥em×+Inx可写为g(2x+Ihna)≥g(Inx).因为g'(x)=eˣ+1>0,所以

g(x)在R上单调递增，所以2x+Ina≥Inx对Vx∈(0,+∞)恒成立，即Ina≥lnx-2x对

Vx∈(0,+o)恒成立.记h(x)=lnx-2x,只需Ina≥h(x)m因为,故

在上，h'(x)>0,h(x)单调递增，在上，h(x)<0,h(x)单调递减，

,所以Ina≥-In2-1,解得,故a的取值

范围为.故选B.

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9.【答案】AC

【解析】二项的展开式通项

对于A,令6-2k=-4可得k=5,故x⁴的系数是C₆2⁶-5(-1)³=-12,,故A正确；

对于B,令x=1,则各项的系数和是(2-1)⁶=1,故B错误；

对于C,二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，故C正确；

对于D,奇数项二项式系数和为2⁵=32,故D错误.故选AC.

10.【答案】BCD

【解析】对于A,a₁+a₂=5,a₂+a₃=9,解得a₂=4,a₃=5,故A错误；

对于B,an+an+1=4n+1,an+1+an+2=4n+5,所以an+2-an=4,所以数列{a₂n}

是以a₂=4为首项，4为公差的等差数列，数列{a₂n-13是以a₁=1为首项，4为公

差的等差数列，所以a₂n=4n,a₂n-1=4n-3,故B正确；

故C正确；

对于D,S₁₉=a₁+(a₂+a₃)+…+(a₈+a19)=1+9+17+…+(4×18+1)=370,故D

正确.故选BCD.

11.【答案】ACD

【解析】对于A,连接BC₁,∵M,N分别为CC₁,BC的中点，∴MN//BC₁,易

证BC₁//AD₁,∴MN//AD₁,又AD₁C平面AB₁D₁,MNa平面AB₁D₁,

∴MN//平面AB₁D₁,同理可证，NP//平面AB₁D₁,∵MNNNP=N,MN,NPC

平面MNP,∴平面AB₁D₁//平面MNP,故A正确；

对于B,取B₁D₁的中点O,连接A₁O,AO,因为B₁D₁⊥A₁O,B₁D₁⊥AO,

所以∠A₁OA即为二面角A-B₁D₁-A₁的平面角，因为AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁,A₁OC

平面A₁B₁C₁D₁,所以AA₁⊥A₁O,在△A₁AO中，AA₁=2,A₁O=√2,所以

故B错误；

对于C,连接A₁C,则A₁C⊥平面AB₁D₁,又平面AB₁D₁//平面MNP,所以A₁C⊥

平面MNP,因为点A₁到平面AB₁D₁的距离为,点C到平面MNP的距离为

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所以平面AB₁D₁与平面MNP间的距离为,故C正确；

对于D,因为点A₁到AD₁中点的距离恰好为√2,所以球面与平面AB₁D₁的交线

恰为△AB₁D₁的内切圆，设其圆心为O₁,半径为R,则A₁到平面AB₁D₁的距离

,所以周长为.故D正确.故选ACD.

12.【答案】-4

【解析】因为l⊥l₂,所以(2a+3)+(1-a)=0,解得a=-4.

13.【答案】6π

【解析】设△ABC外接圆的半径为R,因为,所以bc=8,

又因,所以所以R²=6,所以△ABC外接圆

的面积为6π.

14.【答案】[√6,2√2]

【解析】设P(x,y),则√x²+y²=2√(x-3)²+y²,化简得x²-8x+y²+12=0,即

(x-4)²+y²=4,所以曲线E为以N(4,0)为圆心，2为半径的圆.设AB的中点为C,

则NC⊥AB,因为√3|NB-NAI≤|NA+NB|,所以|2NC|≥√3|AB|.由

得|NCP²≥3,又因为直线x+y-a-4=0(a>0)与圆交于不同

的两点A,B,所以|NCP²<4,故3≤|NCI²<4,则.因为a>0,所以

√6≤a<2√2,故实数a的取值范围为[√6,2√2]

15.解：(1)因为sinB=2sinC,由正弦定理可得b=2c,……2分

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,解得c=√3,……4分

所以.……6分

(2)因

所以CD=2,BD=1.…………11分

又因为cos∠ADC+cos∠ADB=0,即解得

……………13分

16.解：(1)由题意得，a+0.02+0.025+0.035+a=0.1→a=0.01,······2分

所以该校学生物理成绩的平均数为0.1×55+0.2×65+0.35×75+0.25×85+0.1×95=

75.5(分).············5分

因为(0.01+0.02+0.035)×10=0.65<0.80,

(0.01+0.02+0.035+0.025)×10=0.90>0.80,············7分

所以第80百分位数在分数段[80,90]内，

故第80百分位数·············9分

(2)由题意得，[80,90]与[90,100]矩形高的比为0.025:0.01=5:2,

所以在[80,90]分数段内应抽取(人),在[90,100]分数段内应抽取

设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[90,100]内为事件A,则P(A)=

.··········15分

17.(1)证明：如图，取PA的中点F,连接BF,EF.

因为E是棱PD的中点，所以EF//AD且

因为BC//AD且所以EF//BC且EF=BC,

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所以四边形BCEF为平行四边形，则CE//BF.……3分

因为CEC平面PAB,BFC平面PAB,所以CE//平面PAB.………5分

(2)解：取AD的中点O,连接PO,OC.

因为△PAD是边长为2的等边三角形，所以AO=DO=1,PO=√3,PO⊥AD.

因为BC//AD,,O为AD的中点，所以BC//AO且BC=AO,

所以四边形ABCO为平行四边形，则CO//AB,CO=AB=1.

又PC=2,所以PO²+CO²=PC²,所以PO⊥OC.

又因为AD∩OC=0,所以PO⊥平面ABCD.……7分

以O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

则A(0,—1,0),C(1,0,0),P(0,0,√3),D(0,1,0),

所以AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),PD=(0,1,-√3)·……9分

设DE=λDP=z(0,-1,√3)=(0,-a,√3a),其中o≤λ≤1,

则AE=AD+DE=(0,2,0)+(0,-λ,√3λ)=(0,2-2,√3λ).

设平面ACE的法向量n=(x,y,z),所以

……10分

令z=2—λ,得n=(√3λ,—√3λ,2—λ).

设平面PCD的法向量m=(a,b,c),所以

令c=1,得m=(√3,√3,1).……11分

设平面ACE与平面PCD的夹角为θ,则

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………12分

当t=2时，ymn=1,当t=1时，ymax=7,

所以,所以,所以平面ACE与平面PCD夹角的余

弦值的取值范围为.……15分

18.(1)解：g(x)的定义域为R,.……1分

①当a>0时，当x∈(-∞,0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当时，g'(x)>0,g(x)单调递增.……4分

②当a<0时，当时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x∈(0,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增.……7分

③当a=0时，g'(x)≥0,g(x)单调递增.……8分

综上，当a>0时，g(x)在(-∞,0),上单调递增，在上单调递

减；当a=0时，g(x)在R上单调递增；当a<0时，g(x)在

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上单调递增，在上单调递减.……9分

(2)证明：要证f(x)≥