广东茂名市2025-2026学年高二下学期期末质量抽测数学+答案

2025—2026学年高二年级期末质量抽测

数学

2026.7.15

本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡

上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写

在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

．22

1C5.A2=

A．8B．9C．10D．20

2．若函数f(x)=cos2x+sinx，则f,(x)=

A．sin2x+cosxB．-2sin2x+cosxC．2sin2x-cosxD．-2sin2x-cosx

．等比数列的前项和为，，，则

3{an}nSna1=3S4=5S2a5=

A．12B．15C．24D．48

4．为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查

了1000人，利用2x2列联表，计算可得x2=765.625，参照下表，得到的正确结论是

α0.10.050.010.0050.001

xα2.7063.8416.6357.87910.828

A．有99.9%的人超声波结果正常

B．有99.9%以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关”

5．2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少

完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有

A．11种B．12种C．13种D．14种

6．已知两个随机事件A、B，P(A)=，P(AB)=，则P(B|A)=

1115

A．B．C．D．

6326

．数列的前项和为，，，，则

7{an}nSna1=1a2n=an+3a2n-1=2n-anS2026=

A．1013×1017B．1013×1016C．1012×1017D．1012×1016

．已知2828，则

81+x+x++x=a0+a1(x+1)+a2(x+1)+a8(x+1)a2=

A．15B．16C．17D．18

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示：

月份代码x12345

用户数量y（百万）0.50.71.11.31.7

若y关于x的经验回归方程为x+0.16，则

A．变量x，y正相关

B．=3

C．可以预测当x=7时，用户数量首次突破2百万

D．当x=4时，实际用户数量高于预测值

．已知随机变量，定义函数为取值不超过的概率，即，则

10X~N(1,22)f(x)Xxf(x)=P(X≤x)

A．E(X)=1B．D(X)=2

C．f(1-x)+f(1+x)=1D．x>1时，P(2-x≤X≤x)=2f(x)-1

．已知函数x（，且，）的最小值为，则下列式子一定正

11f(x)=a+logb(x+1)a>b>0a≠1b≠11

确的是

b

A．a<1B．b<1C．lnaD．a=e

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

．等差数列的前项和为，，则．

12{an}nSna3+a7=8S7-S2=

13．若直线y=kx-1既是曲线y=aex+x的切线，也是曲线y=lnx+x的切线，则a=．

14．如图是一块高尔顿板示意图．在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉

之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小

木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，

用X表示小球落入格子的号码，则P(X=1)=，E(X2)=．（第一空2分，

第二空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=3Sn+1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（）设，求数列的前项和．

2bn=log2an+5nTn

16．（本小题满分15分）

从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取3个不同的数字．

（1）设X为抽取的3个数字中偶数的个数，求X的分布列和数学期望；

（2）求抽取的这3个数字能构成等差数列的概率．

17．（本小题满分15分）

已知函数fx2+alnx+ax．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）证明：当a∈(0,e)时，f

18．（本小题满分17分）

波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会

统计领域。某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用

户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池。

设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为。

nXn

（）求的数学期望与方差；

1X1

（2）求P(Xn+1=m|Xn=i)（其中i=3，4，5…n+3；m=i或m=i+1）；

（3）若pn=P(Xn=3)，求数列{pn}的通项公式。

19．（本小题满分17分）

已知函数f(x)=sinax_bsinx。

（1）若a=2，b=_2，求f上的极值点；

（2）若b=1，a∈N*，证明：

(ⅰ)∨x∈(|0,l，fx；

(

(ⅱ)∨x∈R，当sinx时，f(x)≥0。

参考答案及解析●高二数学●

2025__2026学年高二年级期末质量抽测

数学参考答案及解析

一、选择题

氵故选

氵A.

2氵

1.D【解析】C5●AX2X1=20.故选D.

氵7.A【解析】由题意可知:a2n=an+3,a2n__1=2n__an,

氵

【解析】对求导,根据复合函数的求导法

2.BcOs2x氵两怯相加得:a2n+a2n__1=2n+3,：s2026=(a1+a2)

氵

则:(cOs2x)9=__sin2x●(2x)9=__2sin2x,对sinx

氵+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(a2025+a2026)=5+7

求导,(s因此氵

inx)9=cOsx.f9(x)=__2sin2x+氵

cOsx.故选B.氵

氵1017.故选A.

3.D【解析】由题意可知数列{an}的公比q≠1,a1=氵

氵

8.B【解析】由题意令t=x+1得:x=t__1,代入原怯

氵

28

氵得:1+(t__1)+(t__1)+…+(t__1)=a0+a1t+

224氵

5(1__2),即=5,解得:q=4因此a5=a1=

q1+q.q282

氵a2t+…+a8t,易得:a2即为t的系数.经观察,等

22氵

a1(q2)=3X4=3X16=48.故选D.

氵怯左边从第三项起,每__项均含有t2项,其系数之和

2氵

4.C【解析】根据题意知,观测值=765.625,参照附1123345

x氵为:1+C3X(__1)+C4+C5X(__1)+C6+C7X

2氵

表,得x>10.828.所以在犯错误的概率不超过56

氵(__1)+C8=1__3+6__10+15__21+28=16.：a2

,“氵

0.1%的前提下认为超声波检查结果与患该病有故选

氵=16.B.

关”.故选C.氵二、选择题

氵

【解析】解法__:项工作分给人,每人至少

5.D421氵9.AC【解析】对于A,由表格数据可得y随着x的增

氵

,;

项工作分组有两类:①1项+3项②2项+2项.情氵大而增大,故变量正相关,故A正确;对于B,由表格

_人人

况①:从4项工作里选1项给其中___人,剩下3项自氵数据可得=3,y=1.06,因y=bx+0.16过点

氵

12

动给另__人:C4XA2=4X2=8;情况②:从4项工作氵(3,1.06),则b人=0.3,故B错误;对于C,由B可得经

氵

验回归方程为:y人=0.3x+0.16,当x=7时,y人=0.3

里选2项给第__人,剩下2项给第二人XA氵

氵

氵X7+0.16=2.26,故C正确;对于D,当x=4时,由

X2=6.两种情况相加:8+6=14.故选D.

氵经验回归方程可得预测值为y人=0.3X4+0.16=

氵

解法二:每项工作都可以分配给两名志愿者中的任意氵

1.36,而实际用户数量为1.3,故D错误.故选AC.

__人,共有24=16种分配方怯,由于要求“每人至少氵

氵

10.ACD【解析】因为X~N(1,22),所以E(X)=1,

完成__项”,故排除“所有工作都分配给其中__名志愿氵

氵

D(X)=4,故A正确,B错误;:f(1+x)=

者”两种情况,所以,符合条件的安排方怯有16__2=氵

氵P(X≤1+x)=P(X>1__x)=1__P(X≤1__x)=1

14种情况.故选D.氵

氵__f(1__x),：f(1___x)+f(1+x)=1,故C正确;

6.A【解析】:P=1__P氵

氵P(2__x≤X≤x)=1__2P(X>x)=1__2[1__f(x)]

14—氵

=.又:P(A)=P(AB)+P(AB),：P(AB)==2f(x)__1,故D正确.故选ACD.

55氵

氵11BC【解析】若a>b>1或0<b<a<1时,(x)是

氵.f

P__P

氵单调函数,最小值均趋于__∞,与已知矛盾,不满足

●1●

.高二数学.参考答案及解析

氵

条件,：a>1>b>0,故A错误,B正确;又:f,(x)__1得:X=Y+1,故E=E而

氵

=axlna而axlna单调递氵

氵D(X)=D(Y)=5XX1__=由方差公

氵(,

增单调递增,：f,(x)在(__1,+∞)上氵

2

氵怯D(X)=E(X2)__(E(X))得:E(X2)=D(X)+

单调递增,且x→__1+时,f,(x)→__∞;x→+∞氵

氵(E(X故答案为

时,f,(x)→+∞,：存在唯__x0使得x∈氵

氵

(__1,x0)时,满足f,(x)<0,此时f(x)单调递氵

氵

减;x∈(x0,+∞)时,满足f,(x)>0,此时f(x)单

氵四、解答题

氵

调递增.又:f(0)=1,：x0=0,即f,(0)=lna+氵

15.解:(1):an+1=3sn+1,a1=1,

氵

故C正确;而a=eb不__定成立,故D错误.氵

当n=1时,s1=a1,故a2=3s1+1=3a1+1=4;

氵

故选BC.氵

当n≥2时,an=3sn__1+1,

氵

三、填空题

氵故两怯相减得:an+1__an=3(sn__sn__1)=3an,

氵

1220【解析】由题意可知:a3+a7=2a5=8,：a5=4,

.氵即an+1=4an,

氵

：s7__s2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20故答案

.氵当n=1时,也有a2=4a1成立.

为20.氵

氵故数列{an}是以1为首项,4为公比的等比数列,其

x氵

13.【解析】设f(x)=ae+x,g(x)=lnx+x,直n__1n__1

氵通项公怯为:an=1X4=4.(6分)

氵n__1

线y=kx__1与曲线y=f(x)相切于点(x1,1),(2)由(1)可知:an=4,

y氵

与曲线=(x)相切于点(x,),则,(x)=氵

yg2y2f1氵

1lnx2+x2+11

x,氵

ae1+1,g(x2)=+1,则k==氵

x2x2x2

氵

氵

氵

aex1+1,解得.故答案氵

氵

氵

1氵

为

2.氵

e氵

127-氵

14.;【解析】设A=“向右下落”,则A=“向左下氵

322氵

”,氵

落且P=P记每次碰到钉子时小氵

球向右落下的次数为Y,则Y=X__1,因为小球在下氵

氵

氵

落过程中共碰撞5次,所以Y~B(5,,于是氵

氵(13分)

氵

k5__k16解:从9个数字中任取3个不同的数,基本事件的

k氵

P(Y=k)=P(X=k+1)=C5(1__

3

氵总数为:C9=84

5

k0氵

=C5(k=0,1,2,3,4,5)所以P(X=1)=C5

.氵(1)根据题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

氵

5氵

X=,又因为E(Y)=5X=,由Y=X

氵

.2.

参考答案及解析●高二数学●

氵综上:当a≥0时,f(x)在(0,+∞)单调递增;

氵

氵当a<0时,f(x)在上单调递

氵

氵

氵减,在上单调递增.(7分)

氵

氵

氵(2)解法__:由题意得,要证明

所以X的分布列为:氵f

氵

即证明xex__a(x+lnx)0,

X0123氵>

氵

51051即证明ex+lnx__a(x+lnx)0,

P氵>

42211421氵

氵令t=x+lnx,则t∈R.

氵

t,

数学期望:E(X)=0X+1X+2X+3X氵即证明e__at>0(t∈R,a∈(0,e))

氵令h(t)=et__at,则h,(t)=et__a,

==.(8分)氵

氵令h,(t)=0,得t=lna.

氵

(2)根据题意,不妨设抽取出来的这组数字从小到大氵：t∈(__∞,lna),h,(t)<0,h(t)单调递减;

氵

依次为a,b,C,则2b=a+C,氵t∈(lna,+∞),h,(t)>0,h(t)单调递增,

lna

氵：h(t)min=h(lna)=e__alna

①当a与C同为奇数时:a,C是从1,3,5,7,9中任取氵

,

2;氵=a(1__lna)>0

的两个数字,共有C5=10种可能氵

：h(t)=et__at>0恒成立,

②当a与C同为偶数时:a,C是从2,4,6,8中任取的氵

氵

2

两个数字,共有C4=6种可能;氵故当a∈(0,e)时,f证毕.

氵

故抽取的这三个数字能构成等差数列的概率P=氵

氵(15分)

氵

(15分)

氵解法二:由题意得,要证明f

a

,氵

17.解:(1)f(x)定义域为(0,+∞),f(x)=x+x

x氵即证明xe__alnx__ax>0.

氵

氵令h(x)=xex__alnx__ax(x>0,a∈(0,e)),

氵

氵即证明h(x)=xex__alnx__ax>0.

：当a≥0时,f,(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调氵

氵

递增;氵

2氵

当a<0时,令g(x)=x+ax+a,氵

2氵

则Δ=a__4a=a(a__4)>0,

氵令(x)=xex__a(x>0),

氵φ

x

令g(x)=0,解得:x氵则φ,(x)=e(x+1)>0,

氵

氵:φ(x)在(0,+∞)单调递增,

氵

氵又:φ(0)=___a<0,φ(1)=e__a>0,

氵

当x∈(0,x1)时,g(x)<0,f,(x)<0,f(x)单调氵：存在唯__x0∈(0,1),满足φ(x0)=0,

氵x

递减;氵即x0e0=a.

氵

当x∈(x1,+∞)时,g(x)>0,f,(x)>0,f(x)单当x∈(0,x0)时,φ(x)<0,h,(x)<0,h(x)单调

氵

调递增.氵递减;

●3●

.高二数学.参考答案及解析

3}发生且第n+1次点击的是生活类视频

当x∈(x0,+∞)时,(x)>0,h,(x)>0,h(x)单氵.

φ氵

调递增.氵

因此,φn+1=Pn.

氵

x

：h(x)min=h(x0)=x0e0__alnx0__ax0氵

氵

,

=a(1__lnx0__x0)氵

氵

:0<x0<1,：lnx0<0,

氵由(1)得

又0<a<e,：h(x)min>0,氵

氵

：h(x)>0恒成立,氵当n≥2时X…X

氵

故当a∈(0,e)时,f,证毕.氵

氵

氵

(15分)氵

氵

18.解:(1)根据题意:X1=3或X1=4,且P(X1=3)=

氵

氵

氵

氵

氵

：X的数学期望E

1氵

氵

方差D氵因为也满足上怯,

氵

氵

=.(4分)氵所以(17分)

氵

氵19.解:(1)若a=2,b=__2,

(2)根据题意:第n次点击更新后,推荐池中的总视氵

氵则(x)=sin2x+2sinx,

;,f

频数量为n+5而Xn=i表示第n次点击更新后氵

推荐池中的科技类视频数量为i,生活类视频数量为氵

氵

n+5__i.氵

氵

(x),

①若第n+1次点击的是生活类视频,则其概率为:氵：f=sin2x+2sinx(0<x<

氵

n+5__i：f,(x)=2cos2x+2cosx

,放回并再新增1条生活类视频加入推荐氵

n+5

氵=2(2cos2x+cosx__1)

氵

池,科技类视频数量仍为i个,此时m=i.

氵=2(2cosx__1)(cosx+1),

氵

氵,:,

氵令f,(x)=0解得xx2=π

②若第n+1次点击的是科技类视频,则其概率为:氵

氵

i

,放回并再新增1条科技类视频加入推荐池,科氵：当x∈(0,时,f,(x)>0,f(x)单调递增;

n+5氵

氵

技类视频数量为i+1个,此时m=i+1.

氵当x∈,时,f,(x)<0,f(x)单调递减,