高考数学复习第4篇第4讲

第四篇考前知识回扣、易错提醒保分第4讲数列结论再现

明考点易错剖析

零失误结论再现明考点1．等差数列设Sn为等差数列{an}的前n项和，则(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.(2)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．(7)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．2．等比数列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．(6)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．3．求数列通项公式的常用方法(1)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：(3)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有易错剖析零失误易错快攻一忽视对n＝1的检验失分●易错剖析易错点1：不清楚an与Sn的关系突破点：已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，利用an＝Sn－Sn－1，需注意分n＝1和n≥2两种情况讨论．易错点2：不清楚裂项和拆项的规律，导致多项或少项易错点3：忽视对等比数列中公比的分类讨论1．对于数列{an}，如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)，则称数列{an}是“优分解”的．(1)证明：如果{an}是等差数列，则{an}是“优分解”的．(2)记Δan＝an＋1－an，Δ2an＝Δan＋1－Δan(n∈N*)，证明：如果数列{an}是“优分解”的，则Δ2an＝0(n∈N*)或数列{Δ2an}是等比数列．(3)设数列{an}的前n项和为Sn，如果{an}和{Sn}都是“优分解”的，并且a1＝3，a2＝4，a3＝6，求{an}的通项公式．【解析】

(1)证明：∵{an}是等差数列，∴设an＝a1＋(n－1)d＝[a1－1＋(n－1)d]＋1，令bn＝a1－1＋(n－1)d，cn＝1，则{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，所以数列{an}是“优分解”的．(2)证明：由于数列{an}是“优分解”的，设an＝bn＋cn(n∈N*)，其中bn＝b1＋(n－1)d，cn＝c1qn－1(c1≠0，q≠0)，则Δan＝an＋1－an＝d＋c1qn－1(q－1)，Δ2an＝Δan＋1－Δan＝c1qn－1(q－1)2.当q＝1时，Δ2an＝0(n∈N*)；当q≠1时，{Δ2an}是首项为c1(q－1)2，公比为q的等比数列．(3)一方面，∵数列{Sn}是“优分解”的，设Sn＝Bn＋Cn(n∈N*)，其中Bn＝B1＋(n－1)D，Cn＝C1Qn－1(C1≠0，Q≠0)，由(2)知Δ2Sn＝C1Qn－1(Q－1)2因为ΔS1＝S2－S1＝a2＝4，ΔS2＝S3－S2＝a3＝6，所以Δ2S1＝ΔS2－ΔS1＝2.∴C1(Q－1)2＝2，∴Q≠1，∴{Δ2Sn}是首项为2，公比为Q(Q≠1)的等比数列．另一方面，由于{an}是“优分解”的，设an＝bn＋cn(n∈N*)，其中bn＝b1＋(n－1)d，cn＝c1qn－1(c1≠0，q≠0)，ΔSn＝Sn＋1－Sn＝an＋1，Δ2Sn＝ΔSn＋1－ΔSn＝an＋2－an＋1＝d＋c1qn(q－1)．∵{Δ2Sn}是首项为2，公比为Q(Q≠1)的等比数列，∴q≠0，q≠1，且(Δ2S2)2＝(Δ2S1)·(Δ2S3)，∴[d＋c1q2(q－1)]2＝[d＋c1q(q－1)]·[d＋c1q3(q－1)]，化简得c1dq(q－1)3＝0，∵c1≠0，q≠0，q≠1，∴d＝0，∴Δan＝an＋1－an＝c1qn－1(q－1)，即数列{Δan}是首项Δa1＝a2－a1＝1，公比为q的等比数列．又∵Δa2＝a3－a2＝2，∴q＝2，又∵Δ2S1＝2，∴d＋c1q(q－1)＝2，∵d＝0，q＝2，∴解得c1＝1，∴b1＝a1－c1＝3－1＝2，综上所述，an＝b1＋(n－1)d＋c1qn－1＝2＋2n－1.易错快