高考数学复习第1篇专题4第1讲

第一篇第一篇核心专题突破、素养能力提升专题四立体几何三年考情题型单选题多选题填空题解答题年份题号123456789101112131415161718192021222023Ⅰ

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Ⅱ

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2024

单选题多选题填空题解答题

题号12345678910111213141516171819Ⅰ

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Ⅱ

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2025单选题多选题填空题解答题

题号12345678910111213141516171819Ⅰ

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Ⅱ

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第1讲空间几何体结构框架明体系真题再现明考向考点突破提能力课时跟踪训练考情分析明方向考情分析明方向空间几何体表面积、体积问题在高考题中多以选择、填空的形式出现，难度属中、低档题，主要考查空间几何体的几何量(线段长度、表面积、体积等)的计算，热点是球的切、接问题．结构框架明体系真题再现明考向【答案】

B2．(多选)(2023·新课标全国Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(

)A．直径为0.99m的球体

B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【答案】

ABD【解析】对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99，选项A正确；3．(多选)(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(

)【答案】

ACA．1.0×109m3 B．1.2×109m3

C．1.4×109m3 D．1.6×109m3【答案】

C6．(2025·新课标全国Ⅱ卷)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm.【答案】

2．5【解析】圆柱的底面半径为4cm，设铁球的半径为r，且r<4，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，∵r<4，∴r＝2.5.8．(2023·新课标全国Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________.【答案】

28考点突破提能力考点一基本立体图形●方法技巧1．空间几何体结构特征的判断技巧紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定，说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．2．斜二测画法的技巧(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．●典例研析1．(1)(多选)(2025·儋州校级模拟)用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是(

)A．平行四边形 B．菱形C．梯形

D．对边都不平行的四边形(2)(2025·曲靖模拟)公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体，公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作(即切掉每个顶点)，发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同．如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为(

)A．60

B．90

C．120

D．180(3)(2025·雨花区校级模拟)如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为(

)【答案】

(1)ABC

(2)B

(3)C【解析】

(1)正方体ABCD－EFGH中I，J，K，L均为中点，四边形BJHI为菱形，四边形ACLK为梯形，A、B、C正确；用平面截正方体，若得到的截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上，所以四边形必有一对边平行，D错误．故选ABC.●跟踪训练1．(2025·沧州校级三模)从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是(

)【答案】

C【解析】根据题意，从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”，从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，只要是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画，而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画；从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，只要是偶点组成的图形一定可以一笔画，C选项正确．故选C.2.(2025·徐汇区校级模拟)如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是(

)【答案】

D考点二空间几何体的表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．2．空间几何体的体积公式V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)；●方法技巧1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据常见柱、锥、台体等规则几何体的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为可计算体积的几何体．●典例研析2．(1)(2025·天津模拟)如图三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2(左为V1，右为V2)两部分，则V1∶V2＝(

)A．7∶5 B．4∶3C．3∶1 D．2∶1(3)(2025·河北校级一模)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为________.3．(2025·黄州区校级三模)将一个棱长为10cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(

)A．底面半径为8cm，高为10cm的圆柱体B．底面直径为8cm，高为8cm的圆锥体C．半径为6cm的球体D．各棱长均为15cm的四面体【答案】

B4．(2025·攀枝花模拟)已知母线长为10的圆台的表面积为210π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝3r，则R＝________.【答案】

9【解析】因为母线长l＝10，R＝3r，所以S侧＝π(r＋3r)×10＝40πr，S底＝π·r2＋πR2＝10πr2，所以40πr＋10πr2＝210π，即r2＋4r－21＝0，解得r＝3，则R＝9.考点三多面体与球1．外接球问题(1)到各个顶点距离相等的点是外接球的球心．(2)正方体或者长方体的外接球的球心是其对角线的中点．(3)棱柱的外接球的球心是上下底面多边形外心连线的中点．(4)正棱锥的外接球球心在体高上．(5)正四面体、同一顶点或者首尾相接的三条棱两两垂直的几何体、对棱相等的三棱锥均可构造长方体或正方体来解决．(6)利用球心与截面圆圆心连线垂直于截面圆及球心与弦的中点的连线垂直于弦的性质确定球心．2.内切球问题(1)内切球的球心到各面的距离相等．(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．(3)经常用等体积法解决内切球问题．●方法技巧解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．●典例研析

多面体与球中的面积和体积问题(2)(2025·焦作二模)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为(

)A．12π B．16πC．20π D．24π【答案】

(1)B

(2)B

多面体与球中的截面问题4．(2024·河南一模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝4，P为CC1的中点，E在棱A1D1上，且A1E＝3ED1，则过E且与A1P垂直的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为(

)A．6 B．8C．12 D．16【答案】

C因为P为CC1的中点，则由正方体的性质可得：PQ⊥平面AA1D1D.又因为EH⊂平面AA1D1D，所以EH⊥PQ.

表面积与球的组合体中的最值问题5．(2025·岳麓区校级模拟)一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为(

)【答案】

B●跟踪训练5．(2025·芜湖二模)已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为Γ(除圆锥底面圆心外)，Γ所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为(

)A．1∶6 B．1∶7C．1∶8 D．1∶9【答案】

B【答案】

ACD7．(2025·安徽校级模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是____________.课时跟踪训练一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法中正确的是(

)A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆【答案】

B【解析】以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，满足圆锥的定义，故B正确；用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故C错误；当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，D错误．故选B.2．(2025·扬州校级模拟)如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为(

)【答案】

A【答案】

C【答案】

C【解析】设四面体ABCD的外接球半径为R，球心O，因为球的表面积为4πR2＝16π，所以R＝2，因为AD＝4，所以AD为直径，所以球心O为线段AD的中点，如图：【答案】

B【解析】因为AB⊥平面AA1D1D，AB⊂平面ABD1，所以平面ABD1⊥平面AA1D1D，将平面BCD1翻折到与平面ABD1在同一个平面，如图所示，【答案】

B【解析】如图，作出圆台的轴截面，要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与AD，CD，BC相切的球，【答案】

D8．(2025·湖南模拟)已知某正三棱柱外接球的表面积为4π，则该正三棱柱体积的最大值为(

)【答案】

A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．正方体A1B1C1D1－ABCD的8个顶点中的4个不共面顶点可以