高级基础统计 5

Logistic

Regression逻辑回归•

逻辑回归原理•

逻辑回归模型一、逻辑回归原理1、原理逻辑回归的目标与线性回归一样，都是为了确定一个拟合良好、可辩护的模型，来描述二元因变量与二元因变量之间的关系、

二元因变量和一组自变量或解释变量之间的关系。一组自变量或解释变量之间的关系。与往常一样，一个通常未说明的假设是

自变量直接或间接地影响结果，而且

自变量用于解释或预测结果，具体取决于

具体研究目标而定。在介绍逻辑回归模型框架之前，有必要介绍一些对建立和解释这些模型有用的基本原则：

几率、几率比和几率比的对数，或log(几率)。•概率与概率相关，但在概念和数值上有所不同。假设十字路口发生追尾碰撞的概率为P=0.1。由此可见，撞车不涉及追尾碰撞的概率为0.9。•赔率描述的是事件发生的可能性。几率与概率相关，即O=P/1-P，因此在这种情况下O=0.1/0.9。因此，可以说撞车是追尾的（条件）几率是1/9，或者说撞车不是追尾的几率是9:1。•几率比用于比较两个事件发生的可能性。接着前面的例子，我们可能会问，追尾和擦边哪种撞车事故更有可能发生（假设擦边撞车的几率为四分之一）。计算几率比得出的结果是（1/9）/（1/4）=4/9，这表明发生追尾撞车事故的几率比发生擦边撞车事故的几率高出4/9（即4起追尾撞车事故相当于平均发生9起擦边撞车事故）。为便于分析，通常使用自然对数变换对几率比进行缩放，从而得到几率比的对数（LN几率比）。自然对数几率比便于分析，0和0.5之间的概率对应于

和0之间的对数几率比，而自然对数几率比则对应于-间的和0之间的对数几率比。之间的概率对应于和0之间的对数几率比，而0和

之间的LN几率比对应于0.5和1之间的概率。正如概率在0.5左右对称一样，LN百分比也在0左右对称。0.5左右对称（高于0的1个单位与低于0的1个单位相当，等等）。使用赔率表时，这种方便的对称性并不存在。因此，对于大多数

因此，在大多数建模应用中，通常使用LN赔率标度。二、逻辑回归模型在逻辑回归中，因果关系是人口比例或概率(P)，即在逻辑回归中，因变量是指结果表明存在某种情况的人口比例或概率（P），通常使用二进制指标变量来表示。在建立逻辑回归方程时，几率的LN代表对数转换。其中logit是协变量的函数，即β0是模型常数，β1...βk是与解释变量相对应的未知参数（

是自变量集）。在方程中，未知二项概率是解释变量（可能包括连续和离散变量）的函数(可能包括连续变量和离散变量）的函数。方程中的未知参数通常采用最大似然法进行估计。最大似然法估计方程

中的未知参数。这些参数估计出来后，将用于估计结果取值为1的概率。逻辑回归方程在中间范围近似于线性，在极端值处近似于对数。对方程

进行简单转换即可得出这表明，在所有其他变量保持不变的情况下，当一个解释变量的值增加一个单位时

其他变量保持不变时，概率比率变为例题巡逻计划于1991年启动，目的是巡逻80-94号公路中长达

公里的一段和65号公路中长达8公里的一段。巡逻人员将沿走廊寻找、应对并提供服务，以补救事故（车辆碰撞和瘫痪）（更多详情，请参阅Karlaftis等人，1999年）。完成协助后，巡逻人员将记录如表13.1所示。我们收集了被认为与二次事故（例如，在第一次事故造成的队列中发生的碰撞或车辆瘫痪）的可能性相关的变量。清理时间（清理道路上的车辆和碎片所需的时间）通常与二次事故的可能性呈正相关，原因很简单，因为暴露程度增加了。车辆类型也很重要，因为特定类型的车辆（大型卡车、乘用车等）可能更难清理，可能导致更多车道关闭等。道路位置可能有助于显示事故的严重程度、避免二次事故所需的停车时间等。季节则反映了牵引力、能见度以及恶劣天气条件的可能性。最后，工作日与周末出行可能反映出驾驶员对周围路况的熟悉程度、态度和攻击性，以及可能的车辆组合。表13.1服务巡逻变量表13.2服务巡逻数据的逻辑回归模型：

系数表13.2服务巡逻数据的逻辑回归模型：

系数（续）使用公式估算事故导致二次事故的概率。例如，我们来研究一下不涉及面包车、发生在夏季、清理时间分别为15分钟、30分钟和60分钟的事件（注意，面包车和冬季的指标变量为零，因此模型中去除了相应的系数）：根据这一逻辑回归模型，15分钟内清理完毕的事故导致二次事故的概率约为30%。正如正系数

正如正系数所表明的，清理时间的延长会增加发生二次事故的概率。30分钟和60分钟的清理时间会导致约40%和60%的二次事故发生概率。概率是有用的，但变量的几率比是多少呢？如表13.2所示，疏散时间每增加一分钟，发生二次事故的可能性就会增加近3%。事故发生二次事故的可能性几乎增加3%。例如

与30分钟的清理时间相比，60分钟的清理时间几乎增加了100%发生二次事故的可能性。冬季发生事故发生次生事故的可能性会减少约35%，而涉及货车的事故则会减少约84%。最后，值得评论的是逻辑分布的形式和从逻辑回归模型中获得的模型概率。图13.1显示了二次事故的预测概率与通关时间的函数关系图。图13.1二次事故的预测概率根据对数变换的性质，模型预测值渐近于0和1。在此特定模