高级基础统计 9

第五章联立方程模型第5章联立方程模型从本质上讲，在经济学和商业领域中，最重要的模型是联立方程模型。以需求和供给为例，两者表现出明显的联动性。如在研究鸡肉的需求时，若不对鸡肉的供给予以分析，以忽略两者之间的重要联系，则会导致出现严重的错误。在利用普通最小二乘法对联立方程进行估计时，如果不是因为出现了一些在估计单个方程时没有遇到的问题，则上述现象对经济学家来说不算什么。最主要的问题是，联立方程模型违背了古典假设，正是由于这个原因，使得联立方程模型中的普通最小二乘估计量是有偏的。因此，通常用被称为二阶段最小二乘法的另外一种估计方法来替代普通最小二乘法，对联立方程模型进行估计。人们也许会好奇，既然联立方程模型在经济中如此重要，并且应用普通最小二乘法对其进行估计时会出现有偏估计量，那么为什么现在才开始研究它。原因在于联立方程模型随着模型中每个方程设定的变化而变化，因此，研究者首先要学会处理前面章节讨论的这些设定问题。也就是说，如果不会或不擅长估计单个方程，那么，学习如何估计联立方程就没有意义。•5.1结构式方程和简约式方程•5.2普通最小二乘法的偏误•

5.3两阶段最小二乘法•5.4识别问题章节目录5.1结构式方程和简约式方程5.1.1联立方程系统的实质先有鸡还是先有鸡蛋？这是一个经常遇到的难以回答的问题。由于鸡和鸡蛋是联合确定的，因此，对于这个问题不可能得到满意的答案；鸡和鸡蛋之间是双向因果关系，拥有的鸡蛋越多，得到的鸡也就越多，同样，拥有的鸡越多，得到的鸡蛋也会越多。更实际地，经济世界充满了这种反馈效应和双向因果关系，这就要求应用联立方程模型。除了前面提到的需求供给模型和简单的宏观经济模型外，还可以对人口与食品供应之间的双向因果关系、工资与物价的联合确定以及外汇与国际贸易、资本流动之间的相互作用进行探讨。传统的计量经济模型，主要是指这样的模型：联立系统指的是，除了Xs对Y施加影响外，Y至少对其中一个Xs有着显著的影响。5.1.1联立方程系统的实质诸如此类的命题一般是通过对变量进行区分，即联合确定的变量［Ys，称作内生变量（endogenousvariables）］和那些非联合确定的变量［Xs，称作外生变量（exogenousvariables）］来建立模型：例如，和分别代表鸡肉的数量和价格；代表消费者的收入；代表牛肉的价格（在消费和生产中，牛肉均为鸡肉的替代品）；代表鸡饲料的价格。在这些定义下，方程1描述的是消费者的行为，方程2描述的是鸡肉供应商的行为。这些行为方程也被称作结构式方程，结构式方程（structuralequations）以内生变量和外生变量的形式，描述了隐含在每个内生变量背后的内在经济理论。研究者必须把这些方程看作一个体系，以便观察所有的反馈循环路径。5.1.1联立方程系统的实质需要注意的是，一个变量之所以是内生变量，是因为它是联合确定的，并不仅仅因为它出现在每个方程中。也就是说，如（牛肉的价格）属于系统无法控制的变量，虽然它出现在每个方程中，但实质上它是外生变量，因为牛肉的价格并不由鸡肉市场联合确定。然而，在有关整体经济的均衡模型中，类似这样的价格变量，很有可能是内生变量。内生变量和外生变量的区分依赖于研究者所研究的经济系统的范围。有时候，联立方程模型中会出现滞后的内生变量，通常这种现象出现在所涉及的方程为分布滞后方程时。这些滞后的内生变量在当期不是联合确定的。因此，和非滞后的内生变量相比，它们与外生变量更相似。为了避免出现麻烦，将所有的外生变量和滞后的内生变量定义为前定变量。“前定”意味着外生变量和滞后的内生变量由设定方程之外的因素决定或不受当期的影响。非滞后的内生变量不是前定的，这是因为在当期，它们由系统联合确定。因此，计量经济学家在讨论联立方程模型时，倾向于使用内生变量和前定变量两个术语。5.1.2联立系统违背了古典假设在古典假设中假设的是所有的解释变量与随机误差项不相关。如果存在相关性，则普通最小二乘法估计程序会将随机误差项对被解释变量的影响归因于解释变量对被解释变量的影响，因而得到的是有偏估计量。为了理解联立方程为何违背了随机误差项与解释变量相互独立，再次考察之前方程构成的联立系统观察在保持方程中其他变量不变的情况下，其中一个随机误差项增加，会导致同一方程中解释变量的增加，从而违背了解释变量与随机误差项之间相互独立的假设。为了加深理解，请参看图如果需求方程中误差项增加，那么，需求曲线会从Q变为Q，而价格和数量都会上升。因此，解释变量的增加与误差项的增加有关，这违背了古典假设。供给=方程1需求=方程2需求与供给的联立方程注：商品的需求与供给是关于联立方程模型中两变量联合确定的一个例子。在这个例子中，方程1为向下倾斜的需求函数，方程2为向上倾斜的供给函数，两者在市场的均衡价格和产量处相交。5.1.3简约式方程另外一种可以对联立方程系统进行描述的方法是运用简约式方程（reduced-formequntions），它是指在联立系统中，每个特定的内生变量都单独用所有的前定变量（外生变量加滞后内生变量）和随机误差项表示的方程。方程（5.2）和方程（5.3）对应的简约式方程分别为：式中，代表随机误差项；代表简约式参数（reduced-formcoefficients），因为它们是简约式方程中前定变量的参数。请留意，每个方程只包含一个内生变量，并且每个方程含有相同的前定变量。诸如、的简约式参数，又被称作效应乘数（impactmultipliers），因为它们包含了整个系统中因前定变量变化而引起的反馈效应，度量的是前定变量每变化1个单位，对内生变量的总影响。5.1.3简约式方程之所以使用简约式方程，主要有以下三个原因：（1）由于简约式方程没有内在的联动性，因而没有违背古典假设。因此，在用普通最小二乘法对其进行估计时，不会遇到本章前面提到的有偏问题。（2）简约式参数被解释为效应乘数，意味着它们有着经济意义和应用价值。比如，如果你想比较第一年中政府支出每增加1美元和税收每减少1美元对收入或消费的影响，就可以通过估计效应乘数对两者进行比较。（3）简约式方程在最常用的联立方程估计方法中扮演着重要角色，这也许是最重要的原因。这种经常采用的二阶段最小二乘法的估计方法，将在第5.3节中进行介绍。5.2普通最小二乘法的偏误5.2普通最小二乘法的偏误如果普通最小二乘法估计量为BLUE（最佳线性无偏估计量），则它必须满足所有的古典假设。当违背了古典假设中的其中一个时，就需要判断普通最小二乘法估计量不再具有BLUE的哪个性质。实践证明，利用普通最小二乘法对联立系统中的结构式方程直接进行估计时，会产生有偏的参数估计量。这种偏误通常被称为联立方程偏误或联立偏误。联立偏误（simultaneitybias）是指在联立系统中，结构式参数的普通最小二乘法估计量（）的期望与真实值不相等。即在联立系统中存在以下问题：为什么会存在偏误呢？回顾第5.1节，在联立方程中，当为解释变量时，随机误差项与内生变量（）存在相关关系。在联立系统中，所有的估计量都存在潜在的偏误。5.2普通最小二乘法的偏误这个偏误是怎样的呢？在联立系统中可以得到一个关于回归参数期望值的方程，该回归参数通过普通最小二乘法估计得到。这个方程显示了只要随机误差项与解释变量之间存在相关性，则参数估计量是有偏的。另外，它还显示了偏误的符号与随机误差项和内生变量之间相关系数的符号相同，其中，该内生变量在含有该随机误差项的方程中为解释变量。尽管偏误的方向依赖于结构式方程的特定内容和模型隐含的理论，但由于在经济和商业案例中相关系数通常为正，故一般而言，偏误也为正。虽然这并不意味着在联立系统中，每个经由普通最小二乘法得到的参数都是总体参数的劣质估计量。但在估计联立方程时，还是很有必要采用一种有别于普通最小二乘法的估计方法。在对这种最常用的估计方法（二阶段最小二乘法）进行分析之前，先看一个联立偏误的例子。例5.1为了说明应用普通最小二乘法估计联立方程时产生的偏误，这里采用蒙特卡罗试验来得到一个关于有偏估计的例子。除非知道的真实值，否则无法知道是否存在偏误，因此，任意选取一组参数，将它们设定为“真实值”。然后基于这些“真实”的参数，随机地产生数据集，根据这些数据集，重复进行回归，得到一组普通最小二乘法参数估计量。这些参数估计量的期望值与真实的参数值显著不同，从而验证了在联立系统中运用普通最小二乘法估计参数时存在偏误。以需求与供给模型为例：也就是说，价格与需求量之间为负相关，价格与供给量之间以及外生变量与相应的被解释变量之间均为正相关。例5.1第二步：随机产生一系列基于真实参数值的数据集，这也意味着在生成不同的数据集（该例中有5000个数据集）之前，设定数据要具备其他性质。第三步：对生成的数据集应用普通最小二乘法，计算需求方程（5.13）的参数估计量。（供给方程可以得到类似的结果。）根据5000次回归后的估计结果计算出的参数均值为：换句话说，的期望值应为-1.00，但恰恰相反，计算出的结果为-0.37；的期望值应为+1.00，但计算出的结果为1.84：这就是联立偏误！如图所示的的样本分布，的普通最小二乘法估计量几乎从不接近-1.00，而的普通最小二乘法估计量的分布涵盖了很大范围的数值例5.1如图所示的的样本分布，的普通最小二乘法估计量几乎从不接近-1.00，而的普通最小二乘法估计量的分布涵盖了很大范围的数值显示联立方程偏误的普通最小二乘法估计量的抽样分布5.3两阶段最小二乘法5.3两阶段最小二乘法如何消除（或至少减小）联立偏误？尽管减小联立偏误的估计方法很多，但最常用的替代普通最小二乘法的方法是两阶段最小二乘法。运用普通最小二乘法估计联立方程时会出现联立偏误，主要是因为联立方程违背了古典假设。解决方法是找出避免违背假设的估计方法，第一步是找到满足下列条件的变量：（1）能够代替内生变量；（2）与误差项不相关。这样的变量被称为工具变量（instrumentalvariable），它是内生变量很好的替代量，且与误差项不相关。工具变量回归通过预测内生变量的值来替代方程中充当解释变量的内生变量，从而满足古典假设，这些预测值由普通最小二乘法方程产生。5.3.1什么是两阶段最小二乘法两阶段最小二乘法（2SLS）是一种系统地生成工具变量，用来替代联立方程中充当解释变量内生变量的方法。它通过对联立方程右边需被替换内生变量的简约式方程进行回归，把从简约式方程中得到的估计值（或拟合值）作为工具变量。对每个内生变量，联立系统中每个前定变量都可作为工具变量候选，但只选一个会遗漏信息，所以使用所有前定变量的线性组合。两阶段最小二乘法的两步过程为：第一阶段：对每个内生变量对应的简约式方程进行回归，内生变量在联立方程系统中作为解释变量。由于前定变量（外生变量加上滞后内生变量）与简约式方程中的误差项不相关，故简约式方程的普通最小二乘估计量是无偏的，可用来计算内生变量的估计值：这些在结构式方程中被当作工具变量。5.3.1什么是两阶段最小二乘法第二阶段：用简约式方程中得到的替代出现在结构式方程右边的，然后用普通最小二乘法估计修正后的结构式方程。即估计下列方程：需注意，被解释变量仍是原来的内生变量，仅替代结构式方程右边充当解释变量的内生变量。此步骤得到的结构式方程参数是一致估计量，大样本下无偏，小样本下有偏。若第二阶段方程用普通最小二乘法估计，得到的是错误的，要使用计算机中的两阶段最小二乘法估计程序进行估计。该方法可推广到m个不同的联立结构式方程，每个简约式方程都以前定变量作为解释变量，普通最小二乘法得出的简约式方程参数估计值用于计算内生变量估计值，这些估计值在结构式方程中作为解释变量，用其替代内生变量原始值后，再次用普通最小二乘法对结构式方程进行估计。5.3.2两阶段最小二乘法的性质（1）小样本有偏性：两阶段最小二乘法在小样本中仍是有偏的。小样本下，的期望值不等于真实值，但随样本容量增大，期望值与真实值越来越接近。样本容量变大时，普通最小二乘估计量和两阶段最小二乘估计量方差均减小，普通最小二乘估计量成为错误值的最佳估计，两阶段最小二乘法成为正确值的最佳估计。样本容量越大，两阶段最小二乘法估计误差越小，但不会为零。（2）简约式方程拟合优度影响：如果简约式方程的拟合优度很低，两阶段最小二乘法也会出现偏误。工具变量是内生变量的替代量，简约式方程拟合优度低，工具变量与原始内生变量相关性低，两阶段最小二乘法可能无效。随简约式方程拟合度增加，两阶段最小二乘法有效性逐渐提高。（3）估计量方差与标准误偏大：两阶段最小二乘估计量的方差与偏大。减少偏误有代价，即两阶段最小二乘估计量的方差与标准误高于普通最小二乘法。总体而言，两阶段最小二乘法得到的联立系统中参数的估计量优于普通最小二乘法，但简约式方程拟合优度很低时例外。5.4识别问题5.4识别问题

两阶段最小二乘法只能应用于可识别的方程。在对联立系统中的方程进行估计之前，首先需要对模型的识别问题予以说明。一旦方程是可识别的，就可以用两阶段最小二乘法进行估计。而如果方程不能识别（不可识别的），即使样本容量再大，也不能用两阶段最小二乘法进行估计。虽然这些不能识别的方程可以用普通最小二乘法来估计，但很难解释普通最小二乘法的估计参数，因为这些参数与我们想要估计的参数不一致。需要重点指出的是，不能确保可识别方程（因而可以用两阶段最小二乘法来估计）的二阶段最小二乘估计量是好的估计量。问题在于能否得到二阶段最小二乘估计量，而不在于二阶段最小二乘估计量是不是好的估计量。5.4.1什么是识别问题识别是联立系统中的方程可以应用两阶段最小二乘法估计的先决条件。一个结构式方程只有在该方程遗漏了足够多系统中的前定变量，从而使得这个方程能够区别于系统中的其他方程时，它才是可识别的。注意，也许联立方程模型中的某个方程是可识别的，但其他方程不一定是可识别的。以供需联立系统为例（仅考虑价格和数量因素）：式中，。尽管将其中一个方程定义为需求方程，另一个定义为供给方程，但计算机无法从数据中识别两个方程，因为两个方程左边和右边的变量几乎一样。由于缺少可以对两个方程进行区别的前定变量，故无法对需求方程和供给方程进行识别。如果在农产品的供给方程中加入前定变量天气（W），供给方程变为：5.4.1什么是识别问题此时，当W变化时，供给曲线移动，需求曲线不变，可从中选出需求曲线。如上图所示，W取不同值得到不同供给曲线，与不变需求曲线相交于不同均衡点（交点从1-4），这些均衡点可观测或作为数据集输入计算机。能识别需求曲线是因为需求曲线遗漏至少一个前定变量，该变量变化时需求曲线不变，供给曲线移动，使需求数量在需求曲线上移动，得到足够信息估计需求曲线参数。而供给曲线仍未知，因它的移动未提供形状线索，供给曲线不能识别是因为没有类似前定变量。移动的供给曲线使得需求曲线可以识别5.4.1什么是识别问题即使将变量W加入需求方程，仍不能识别供给方程。若两个方程都含W，需求与供给方程又一致，W变化时两条曲线都移动，未给出任何信息（如下图所示，观测到的均衡价格与数量是任意交点，描绘不出供给和需求曲线，两条曲线都不可识别）。需求与供给曲线均移动时不可识别5.4.1什么是识