2026年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学模拟试卷（二模）（含解析）

/2026年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．1．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）2026年长沙市市级重点项目总投资约13330亿元，数据13330亿用科学记数法表示正确的是（）A．13330×108 B．133.3×1010 C．1.333×1011 D．1.333×10123．（3分）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为（）A．+20米 B．﹣20米 C．+40米 D．﹣40米4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab35．（3分）某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．64，76 B．64，100 C．76，64 D．64，846．（3分）在平面直角坐标系中，将线段AB水平向左平移4个单位后得到线段A′B′，则点A（﹣2，3）的对应点A′的坐标为（）A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，3） D．（2，﹣1）7．（3分）反比例函数y经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2 B．函数图象分布在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小8．（3分）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（）A．50° B．25° C．40° D．65°10．（3分）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）A．S1+S2 B．S1+S2 C．S1+S2 D．S1+S2的大小与P点位置有关二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为．12．（3分）因式分解：x3﹣9x＝．13．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．14．（3分）若扇形的圆心角为45°，半径为8，则该扇形的弧长为．15．（3分）《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．16．（3分）如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a∼h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个、2个或3个球．②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走．③最后一个将球取完的人获胜．若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜．三、解答题:(第17-19题各6分，20-21题各8分，第22-23题各9分，第24-25题各10分，共72分．)17．（6分）计算：|﹣3|﹣2tan60°（）﹣1．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1．（2）在x轴上作出一点P，使PA+PB最小，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法）20．（8分）为传承中华优秀传统文化，丰富校园艺术生活，某校了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次共抽取名学生进行调查，扇形统计图中的x＝；（2）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是度；（3）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有多少名？21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．22．（9分）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？23．（9分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，AF⊥BD于点F，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF，AB＝4，求菱形AEGD的面积．24．（10分）我们约定：若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝a有交点，我们称函数y＝ax2+bx+c（a≠0）为“飞翔函数”，其交点为“飞翔点”：若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣a有交点，我们称函数y＝ax2+bx+c（a≠0）为“僖乐函数”，该交点为“僖乐点”：（1）若函数y＝2x2﹣x+c既是“飞翔函数”，也是“僖乐函数”，求c的取值范围；（2）已知函数y＝tx2﹣t（t≠0）的一个“僖乐点”为P，直线y＝mx+n（m≠0）与抛物线y＝tx2﹣t（t≠0）的两个交点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），且满足x1+x2＝2026，直线PQ是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由；（3）关于x的函数y＝x2﹣（3k+sk+t+2）x+（sk+2）（3k+t）+1（s、t为正整数，k为实数）图象上存在两个“飞翔点”A（x1，y1），B（x2，y2）；①求A、B的坐标（用s、k、t的式子表示）；②如果对于一切实数k，恒成立，求s、t的值．25．（10分）AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点（不与点A、点B重合）；（1）如图1，∠ACB的平分线交⊙O于点D，直径AB＝10，弦BC＝6，求CD的长；（2）如图2，弦CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接BD，令△ACE的面积为S1，△BCE的面积为S2，△BDE的面积为S3，且S1＝S2+S3，求tan∠CDB的值；（3）如图3，CE⊥AB于点E，∠CAB的平分线交CE、CB分别于点M、点N，设x＝CE2，，求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）．

2026年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．1．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）2026年长沙市市级重点项目总投资约13330亿元，数据13330亿用科学记数法表示正确的是（）A．13330×108 B．133.3×1010 C．1.333×1011 D．1.333×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：13330亿＝1333000000000＝1.333×1012．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为（）A．+20米 B．﹣20米 C．+40米 D．﹣40米【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为﹣20米．故选：B．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．【解答】解：a3+a3＝2a3，因此选项A不正确；（a3）2＝a3×2＝a6，因此选项B正确；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项C不正确；（ab）3＝a3b3，因此选项D不正确；故选：B．【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．5．（3分）某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．64，76 B．64，100 C．76，64 D．64，84【分析】将数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的概念可得答案．【解答】解：将这组数据重新排列为64，64，73，76，84，90，100，这组数据的众数为64、中位数为76，故选：A．【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（3分）在平面直角坐标系中，将线段AB水平向左平移4个单位后得到线段A′B′，则点A（﹣2，3）的对应点A′的坐标为（）A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，3） D．（2，﹣1）【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，水平平移仅改变点的横坐标，纵坐标保持不变，向左平移时点的横坐标减去平移的单位长度，按规律计算即可得到结果．【解答】解：根据平面直角坐标系中点的平移规律可知：点A坐标为（﹣2，3），线段向左平移4个单位，∴A′的横坐标为﹣2﹣4＝﹣6，纵坐标仍为3，∴A′的坐标为（﹣6，3）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移法则是关键．7．（3分）反比例函数y经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2 B．函数图象分布在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数y经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数y经过点（2，1），∴1，解得，k＝2，故选项A不符合题意；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B不符合题意；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意、选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．8．（3分）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，∴∠2＝40°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（）A．50° B．25° C．40° D．65°【分析】连接OC，先根据圆周角定理得∠DOC＝2∠A＝50°，再根据切线的性质定理得∠OCD＝90°，即可求∠D的度数．【解答】解：如图：连接OC∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝25°，∴∠DOC＝2∠A＝50°，∵过点D作⊙O的切线，切点为C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝40°．故选：C．【点评】此题综合运用了切线的性质定理、圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余的性质，熟记和圆的切线有关的各种性质是解题关键．10．（3分）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）A．S1+S2 B．S1+S2 C．S1+S2 D．S1+S2的大小与P点位置有关【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交CB的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为3，∴摸出的小球是白球的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12．（3分）因式分解：x3﹣9x＝x（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．【解答】解：x3﹣9x，＝x（x2﹣9），＝x（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．13．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≠4．【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解．【解答】解：由题意可得x﹣4≠0，解得：x≠4，故答案为：x≠4．【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．14．（3分）若扇形的圆心角为45°，半径为8，则该扇形的弧长为2π．【分析】将已知圆心角，半径代入弧长公式计算即可．【解答】解：该扇形的弧长为．故答案为：2π．【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是关键．15．（3分）《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为4.55尺．【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，故答案为：4.55尺．【点评】考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．16．（3分）如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a∼h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个、2个或3个球．②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走．③最后一个将球取完的人获胜．若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则乙（填“甲”或“乙”）一定获胜．【分析】甲首次取走写有b，c，d的三个球，则剩下的球为a，e，f，g，h，而乙首次也取走三个球，且必须相邻，由此分类讨论即可求解．【解答】解：∵甲首次取走写有b，c，d的三个球，∴还剩下a，e，f，g，h，又∵乙首次也取走三个球，且必须相邻，∴乙可以取e，f，g或f，g，h．若乙取e，f，g，只剩下a，h，∵它们不相邻，∴甲只能拿走其中一个，故乙取走最后一个，故乙胜；同理若乙取f，g，h，只剩下a，e，∵它们不相邻，∴甲只能取走一个，故乙取走最后一个，故乙胜；故答案为：乙．【点评】本题考查了逻辑推理与论证，解题的关键是理解题意．三、解答题:(第17-19题各6分，20-21题各8分，第22-23题各9分，第24-25题各10分，共72分．)17．（6分）计算：|﹣3|﹣2tan60°（）﹣1．【分析】按顺序依次计算，先把绝对值化简，再算出2tan60°，然后根据二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．【解答】解：原式．【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分式的加减法，设计到的知识点有零指数幂、特殊角的三角函数值，一定要牢记．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x．【分析】直接利用乘法公式结合整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2＝﹣2x，当x时，原式＝﹣2×（）＝1．【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1．（2）在x轴上作出一点P，使PA+PB最小，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法）【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，根据两点之间线段最短即可使PA+PB最小，进而可以写出点P的坐标．【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△AB1C1，如图1即为所求；（2）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时PA+PB最小，由图知，P（﹣1，0）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．20．（8分）为传承中华优秀传统文化，丰富校园艺术生活，某校了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次共抽取200名学生进行调查，扇形统计图中的x＝15%；（2）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是36度；（3）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有多少名？【分析】（1）从统计图中提取信息、计算百分比；（2）从统计图中提取信息，计算圆心角即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）抽取学生总数＝80÷40%＝200名，；故答案为：200，15%；（2）“扬琴”所对扇形的圆心角；故答案为：36；（3）所抽样本中喜爱“二胡”学生所占百分比，3000×30%＝900（名），答：该校喜爱“二胡”的学生约有900名．【点评】本题考查了从统计图中提取信息、计算百分比和圆心角、用样本估计总体的能力，熟练掌握从统计图中提取信息、计算百分比和圆心角、用样本估计总体是解题的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．【分析】（1）由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可；（2）由三角形内角和定理得出∠ABC＝30°，由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE∠ABC＝15°，在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，在△ABE和△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（SAS）；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE∠ABC＝15°，在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．22．（9分）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？【分析】（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，根据“购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元”列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，根据题意求出w与a的函数关系式，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a是正整数确定出购买方案．【解答】解：（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，根据题意得：，解得，答：柏树的单价为200元/棵，杉树的单价是150元/棵；（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，根据题意：a≥2（80﹣a），解得，w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，又∵a为整数，∴当a＝54时，w最小＝14700，此时，80﹣a＝26，即购买柏树54棵，杉树26棵时，总费用最小为14700元．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．23．（9分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，AF⊥BD于点F，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF，AB＝4，求菱形AEGD的面积．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF＝DF，再证△GEF和△ADF全等，得出GF＝AF，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF、EF的长，即可得出对角线AG、ED的长，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，，∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四边形AEGD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，，∵tan∠AEF，∴，即，∴EF，∵四边形AEGD是菱形，∴AG＝2AF，ED＝2EF，∴菱形AEGD的面积．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．24．（10分）我们约定：若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝a有交点，我们称函数y＝ax2+bx+c（a≠0）为“飞翔函数”，其交点为“飞翔点”：若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣a有交点，我们称函数y＝ax2+bx+c（a≠0）为“僖乐函数”，该交点为“僖乐点”：（1）若函数y＝2x2﹣x+c既是“飞翔函数”，也是“僖乐函数”，求c的取值范围；（2）已知函数y＝tx2﹣t（t≠0）的一个“僖乐点”为P，直线y＝mx+n（m≠0）与抛物线y＝tx2﹣t（t≠0）的两个交点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），且满足x1+x2＝2026，直线PQ是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由；（3）关于x的函数y＝x2﹣（3k+sk+t+2）x+（sk+2）（3k+t）+1（s、t为正整数，k为实数）图象上存在两个“飞翔点”A（x1，y1），B（x2，y2）；①求A、B的坐标（用s、k、t的式子表示）；②如果对于一切实数k，恒成立，求s、t的值．【分析】（1）根据新定义，分别联立方程，利用判别式大于等于0求c的范围，即可得出结果；（2）先求出僖乐点P的坐标，代入直线方程得到n和t的关系，联立直线和抛物线，利用根的和的条件得到m和t的关系，整理直线方程得到定点即可；（3）①根据新定义，得到对应的一元二次方程，解方程即可；②分2种情况，利用图象法求不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵函数y＝2x2﹣x+c是“飞翔函数”，依题意得：抛物线与y＝2有交点，当2x2﹣x+c＝2时，∴2x2﹣x+（c﹣2）＝0，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（c﹣2）＝17﹣8c≥0，解得：，又∵该函数是“僖乐函数”，依题意得：抛物线与y＝﹣2有交点，当2x2﹣x+c＝﹣2时，∴2x2﹣x+（c+2）＝0．Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（c+2）＝﹣15﹣8c≥0，解得：，综上所述，c的取值范围为；（2）直线PQ经过一个定点；理由如下：∵函数y＝tx2﹣t（t≠0）的一个“僖乐点”为P，∴抛物线与直线y＝﹣t有交点，当tx2﹣t＝﹣t时，解得：x＝0，∴僖乐点P（0，﹣t）；∵直线y＝mx+n（m≠0）与抛物线y＝tx2﹣t（t≠0）的两个交点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），将点P的坐标代入得：n＝﹣t，∴y＝mx﹣t；联立得：tx2﹣t＝mx﹣t，∴tx2﹣mx＝0，∴；∵x1+x2＝2026，∴，∴m＝2026t，∴y＝2026tx﹣t＝t（2026x﹣1），∴时，y＝0，∴直线PQ经过一个定点；定点为；（3）①关于x的函数y＝x2﹣（3k+sk+t+2）x+（sk+2）（3k+t）+1（s、t为正整数，k为实数）图象上存在两个“飞翔点”A（x1，y1），B（x2，y2），a＝1，故飞翔点满足y＝1，当y＝1时，得：x2﹣（3k+sk+t+2）x+（sk+2）（3k+t）+1＝1，∴[x﹣（sk+2）][x﹣（3k+t）]＝0，解得：x＝3k+t或x＝sk+2，飞翔点的纵坐标为y＝1；∴A（sk+2，1），B（3k+t，1）（A，B可互换）；②当x1＝sk+2，x2＝3k+t时，由题意，对任意实数k，（sk+2）2≤（3k+t）2恒成立，∴（s2﹣9）k2+（4s﹣6t）k+（4﹣t2）≤0，对任意实数k恒成立，当s2﹣9＝0，即s＝3（负值舍去）时，则（12﹣6t）k+（4﹣t2）≤0，对任意实数k恒成立，∴12﹣6t＝0，4﹣t2＝0时，满足题意，此时t＝2；当s2﹣9≠0时，y＝（s2﹣9）k2+（4s﹣6t）k+（4﹣t2）图象开口向下，抛物线与k轴最多有一个交点，∴Δ＝（4s﹣6t）2﹣4（s2﹣9）（4﹣t2）＝4（st﹣6）2≤0，s2﹣9＜0，解得：﹣3＜s＜3，又∵4（st﹣6）2≤0，（st﹣6）2≥0，∴st＝6，解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）；当x2＝sk+2，x1＝3k+t时，由题意，对任意实数k，（3k+t）2≤（sk+2）2恒成立，∴（s2﹣9）k2+（4s﹣6t）k+（4﹣t2）≥0，对任意实数k恒成立，当s2﹣9＝0时，即s＝3（负值已舍去）时，则（12﹣6t）k+（4﹣t2）≥0，对任意实数k恒成立，∴12﹣6t＝0，4﹣t2＝0时，满足题意，此时t＝2；当s2﹣9≠0时，则抛物线y＝（s2﹣9）k2+（4s﹣6t）k+（4﹣t2）的开口向上，抛物线与k轴最多有一个交点，∴s2﹣9＞0，Δ＝（4s﹣6t）2﹣4（s2﹣9）（4﹣t2）＝4（st﹣6）2≤0，∴s＞3或s＜﹣3，又∵4（st﹣6）2≤0，（st﹣6）2≥0，∴st＝6，解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或；综上所述，s＝1，t＝6或s＝2，t＝3或s＝6，t＝1或s＝3，t＝2．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了新定义：“飞翔函数”，也是“僖乐函数”，二次函数的性质，解一元二次方程，解一元二次不等式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．25．（10分）AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点（不与点A、点B重合）；（1）如图1，∠ACB的平分线交⊙O于点D，直径AB＝10，弦BC＝6，求CD的长；（2）如图2，弦CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接BD，令△ACE的面积为S1，△BCE的面积