小学五年级上册数学《用列举的策略解决问题》教案

小学五年级上册数学《用列举的策略解决问题》教案

一、教学内容分析

本节课教学内容位于苏教版小学数学五年级上册《解决问题的策略》单元。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课隶属于“数与代数”领域，核心素养导向明确指向“模型意识”、“应用意识”和“推理能力”。在知识技能图谱上，学生在此之前已经积累了用列表、画图等策略解决问题的经验，本课学习的“一一列举”策略，是对以往策略的深化与系统化，旨在引导学生面对复杂、离散的数学问题时，能主动运用有序、不重复、不遗漏的思维方式，将所有可能情况清晰地呈现出来，从而为后续学习排列组合、概率等更为抽象的知识奠定坚实的思维方法基础。其过程方法路径，本质上是一种数学建模的雏形：将现实问题抽象为数学问题（如用字母表示变量），通过建立分类、枚举的模型（列举）求得所有可能解，并依据条件进行筛选与验证。这一过程蕴含着分类讨论、有序思考、优化选择等深刻的数学思想。在素养价值渗透上，本课不仅在于教会学生一种解题技巧，更在于培养其思维的严谨性、条理性和全面性，塑造学生面对复杂问题时不畏难、有条理、讲逻辑的科学精神与理性态度。

基于“以学定教”原则进行学情诊断：五年级学生具备一定的逻辑思维能力，在生活中也有“试情况”的朴素经验，但往往处于无序、随机的状态。他们的主要认知障碍在于：一是难以自发形成“有序”列举的意识，容易遗漏或重复；二是在面对复杂条件（如多个限制条件）时，抓不住分类标准，导致思路混乱；三是难以将列举出的结果进行有效比较与选择。在教学过程中，我将通过创设具象化的问题情境（如拼长方形、选路线），让学生在动手操作、列表填数中直观感受无序与有序的差异，体会有序列举的优越性。同时，通过设计层层递进的问题链，引导学生在“做”中“思”，逐步逼近方法的核心。针对不同层次的学生，将通过提供“列举框架”脚手架、设置开放度不同的变式练习，以及鼓励算法多样化表达等方式，实施差异化教学调适，确保每位学生都能在最近发展区内获得思维提升。

二、教学目标

知识目标：学生能理解“一一列举”策略的含义与价值，知道在解决特定类型（如离散、有限、需考虑多种组合）问题时可以运用此策略。能结合具体问题，用列表、画图等方式进行有序、不重复、不遗漏的列举，并能根据问题条件对列举结果进行筛选和确定最终答案。

能力目标：学生在经历问题解决的全过程中，能主动从问题情境中识别出适用列举策略的特征（如“有多少种不同情况”），能独立或合作设计有效的列举方案（如确定分类标准、选择呈现方式），并能有条理地表达自己的思考过程，发展分析问题、有序思考和数学表达的能力。

情感态度与价值观目标：在探索列举策略的过程中，学生能体验到有序思考带来的简洁与高效，克服面对复杂问题时的畏难情绪，养成耐心、细致、严谨的学习习惯。在小组交流中，能认真倾听同伴的不同列举方法，欣赏策略的多样性，初步形成优化意识。

学科思维目标：重点发展学生的分类讨论思想和模型化思维。引导学生将具体问题抽象为“寻找所有符合条件组合”的模型，并掌握通过“先分类、再有序枚举”的方法将模型具体化、可视化，从而提升思维的逻辑性与系统性。

评价与元认知目标：引导学生学会自我监控列举过程，能通过回顾检查列举是否“有序、不重不漏”。能够对比不同列举方法的优劣，并初步学会根据问题特点选择简洁、清晰的呈现方式。鼓励学生反思“为什么要列举”、“怎样才能列举得好”，提升对策略本身价值的认识。

三、教学重点与难点

教学重点：掌握用“一一列举”的策略解决实际问题的基本过程和方法，学会有条理、不重复、不遗漏地进行列举。其确立依据源于课程标准中对“问题解决”能力的要求，以及本单元在小学阶段“策略”教学中的核心地位。列举策略作为一种基础且重要的数学思想方法，是培养学生逻辑思维和有序思考能力的关键载体，对后续数学学习具有深远的奠基作用。

教学难点：学生如何在具体问题中，尤其是在条件隐含或交织时，自觉、灵活地应用列举策略，并主动追求列举的“有序性”。难点成因在于，从“无意识尝试”到“有策略运用”，从“无序罗列”到“有序思考”，需要学生经历认知方式和思维习惯的跨越。预设突破方向是：提供从直观操作（如摆小棒）到半抽象（列表格）再到抽象（纯推理）的渐进式学习支架，让学生在对比中深刻感受“有序”的价值，并通过教师的关键性提问（如“怎样摆才能保证找全所有情况？”）不断引发和强化学生的有序思维。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件（包含问题情境动画、动态列举过程演示）；实物投影仪。

1.2学习材料：设计并印制分层《学习任务单》；准备若干套用于操作的小棒或方格纸（用于拼长方形探究）。

2.学生准备

2.1预习任务：简单回顾以前用过哪些方法（如画图、列表）来解决问题。

2.2学具：直尺、铅笔、草稿本。

3.环境布置

3.1座位安排：4-6人小组合作式座位，便于讨论与操作。

3.2板书记划：预留核心板书区域，规划用于呈现问题、列举过程（表格）、方法提炼和思维导图式小结。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与激趣：“同学们，我们先来玩个‘密室逃脱’游戏的开胃小菜。看，密码锁是两位数的，十位和个位上的数字和是5。你知道密码可能是多少吗？给你30秒，看谁想得多、想得全！”

1.1问题提出与聚焦：学生可能会说出“14、23、50…”等，但往往零散、易遗漏。“停！时间到。我发现有的同学眉头紧锁，是不是觉得情况有点多，怕漏掉了？怎样才能一个不漏地把所有可能的密码都找出来呢？今天，我们就来学习一个能帮助我们‘一个不漏’解决问题的好策略。”

1.2路径明晰与联系：“这个策略就叫——‘一一列举’（板书）。它就像我们整理书架，把书一本本按顺序拿出来清点，既不会乱，也不会丢。这节课，我们就用它来解决几个更有挑战性的问题，看看它到底有多厉害！”

第二、新授环节

任务一：探究“围长方形”中的有序列举

教师活动：首先，出示核心问题：“王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”引导学生解读：“22根1米长的木条意味着什么？”“对，长方形的周长是22米。那长和宽可能是多少米呢？”接着，组织学生独立尝试，教师巡视，收集典型做法（无序尝试的、有序列表的、画图的）。然后，利用实物投影对比展示一份无序列举和一份有序列表（按长从大到小或从小到大）的成果。“大家觉得这样摆（指无序），有什么感觉？是不是有点……乱？”引导学生发现无序容易遗漏。“再看看这份（指有序列表），感觉怎么样？清晰在哪里？”引导学生发现“按顺序”的好处。最后，追问：“从表格里，我们怎么一眼看出哪种围法面积最大？面积是怎么变化的？你发现了什么规律？”

学生活动：独立思考，尝试用自己的方法找出所有可能的长和宽，并计算面积。在教师引导下，观察、对比不同做法的异同，积极参与讨论，发表对“有序”与“无序”的看法。观察表格数据，寻找面积的变化规律，并回答教师提问。

即时评价标准：1.能否正确理解周长22米与长、宽总和（11米）的关系。2.尝试解决问题时，是随意猜测还是有一定顺序。3.在对比观察中，能否清晰表达“有序列举”在避免遗漏和方便比较方面的优势。

形成知识、思维、方法清单：

★核心概念/原理：当问题的答案有多种可能且需要比较时，可以采用一一列举的策略。

▲学科方法：有序列举是列举策略的灵魂。可以按一定顺序（如从大到小）列出所有可能情况。

★应用与发现：在“围长方形”问题中，列表是一种清晰、高效的列举方式。通过列举和计算比较，可以发现：当周长一定时，围成的长方形长和宽越接近，面积越大。

◉易错点提示：长和宽必须是整数吗？题目有隐含条件吗？（根据学情，可讨论非整数情况，但本课基础情境设定为整米数）。

任务二：提炼列举策略的一般步骤

教师活动：承接上一个任务，教师进行引导性总结：“刚才我们成功解决了围花圃的问题，现在来回头看看，我们是怎么一步一步用‘列举’这个法宝的？”通过师生对话，共同梳理步骤：1.分析题意，明确条件与问题（周长22米，长、宽为整米数，求面积最大）。2.确定列举的范围与顺序（长+宽=11米，从长10米宽1米开始，有序往下）。3.进行有序列举，并计算或标注需要的结果（列表，并逐一计算面积）。4.检验比较，选择答案（比较所有面积，找到最大值）。教师板书这四个步骤，并强调：“这就好比我们打仗的‘作战计划’，有了它，面对再复杂的问题，我们心里也有底了！”

学生活动：跟随教师的引导，回忆刚才的解题过程，尝试用自己的语言描述每一步做了什么。参与步骤的归纳与提炼，将内隐的思维过程显性化、结构化。

即时评价标准：1.能否在教师提示下，回忆起解决问题的关键几步。2.能否理解每一步的目的和作用，而不仅仅是背诵步骤名称。

形成知识、思维、方法清单：

★学科方法：解决问题策略（列举）的一般步骤：分析题意→确定范围与顺序→有序列举→检验选择。

◉认知说明：提炼步骤是元认知层面的学习，旨在帮助学生将具体经验上升为可迁移的方法模型。

任务三：应用与辨析——“订阅杂志”问题

教师活动：出示新情境：“小明想订阅《科学世界》、《数学乐园》和《七彩文学》三种杂志，最少订1本，最多订3本。他有多少种不同的订阅方法？”提问引导：“‘最少1本，最多3本’是什么意思？我们可以怎么分类？”引导学生按订阅的本数分成三类：订1本、订2本、订3本。追问：“在每一类里面，怎么列举才能不重复？比如订2本，有哪些组合？”鼓励学生用简洁的方式表示（如用字母S、M、Q代表三本杂志）。巡视指导，关注学生是否能做到“类内有序”。展示学生不同的列举方式（纯文字、列表、画图连线、字母组合），引导学生评价：“你更喜欢哪种方式？为什么？”

学生活动：独立或小组合作，尝试解决新问题。先思考分类标准，再在每一类中有序思考所有可能。尝试用不同的方法呈现列举结果。欣赏并评价同伴的不同方法。

即时评价标准：1.能否主动想到“按订阅本数分类”这一关键。2.在每一类中列举时，是否有序（如固定一本，搭配其他）。3.能否清晰、有条理地呈现自己的思考结果。

形成知识、思维、方法清单：

★学科思维：分类讨论思想。当情况比较复杂时，先进行合理分类，能使列举更有条理。

▲学科方法：列举的呈现方式可以多样化：列表、画图、符号（字母）表示等，选择的标准是清晰、简洁、不遗漏。

◉易错点提示：“订2本”时，要避免出现顺序不同但内容相同的重复情况（如SM和MS），理解“组合”与顺序无关。

任务四：深化理解——“音乐钟”问题

教师活动：呈现稍复杂问题：“一个音乐钟，每隔一段相等时间就发出铃声。已知上午8:00，8:40，9:20和10:00发出铃声，那么从中午12:00到下午3:00，一共会发出多少次铃声？”不急于让学生算，而是先问：“看到这个问题，你的第一感觉是什么？它和我们前面解决的问题有什么不同？”引导学生发现时间的连续性。关键提问：“发出铃声的时刻有什么规律？”“从中午12:00到下午3:00这段时间，我们能把所有时刻都‘列’出来吗？那该怎么办？”启发学生将“列举时刻”转化为“列举间隔数”。引导学生先找出发铃声的周期（40分钟），再计算总时长内包含多少个周期，从而确定次数。

学生活动：面对新问题，先独立思考，感受其与之前问题的差异。在教师关键提问的引导下，发现规律，经历思维转换：从“列举具体时刻”到“计算间隔数”。理解“一一列举”策略并非在所有问题中都直接列出每一个答案，有时可以与周期规律、计算相结合。

即时评价标准：1.能否从已知条件中发现并表述“每隔40分钟响一次”的规律。2.能否在教师引导下，实现从“具体枚举”到“抽象计算”的思维转换。

形成知识、思维、方法清单：

★思维提升：列举策略的灵活应用。当情况有规律、无限多或数量很大时，列举策略需要与寻找规律、数学计算相结合。

▲核心素养：培养模型意识，将“找铃声次数”转化为“求包含的周期数”这一数学模型。

◉教学提示：此任务是本课的一个思维爬坡点，旨在打破学生对列举策略的机械理解，展示其与其它数学思想的融合。

第三、当堂巩固训练

设计核心：构建分层、变式的训练体系，并提供即时反馈。

1.基础层（直接应用）：“有A、B、C三个景点，小明想从中选2个去游玩，一共有多少种不同的选法？”（考察分类、有序列举的基本功）。（教师巡视，关注后进生是否能有序列出AB、AC、BC）“好，我们来核对一下。你是怎么做到不重复的？对，先固定A，再配B和C，然后固定B，但和A配过了，就只配C。这就是有序的魅力！”

2.综合层（情境应用）：“小华有1张5元、2张2元和若干张1元纸币（足够多）。他要买一本8元的书，可以怎样正好付钱？有几种不同的付法？”（条件交织，需综合考虑面额和数量）。（学生小组讨论，尝试用表格列举。教师收集典型错误，如未考虑2张2元的限制）“大家停一下，我发现了两种有趣的方案。这个方案（5+2+1）没问题，但这个方案（2+2+2+2）……咦，我们的2元纸币够吗？看来列举时，一定要回头看看题目给我们的‘资源’条件哦！”

3.挑战层（开放探究）：“一张靶纸共三圈，投中内圈得10分，中圈得8分，外圈得6分。小军投了两次，可能得到多少种不同的总分？”（涉及“有序”与“组合”的深度思考，总分可能相同）。（作为弹性任务，鼓励学有余力的学生探究。反馈时重点展示思维过程）“哇，这位同学不仅列出了所有投中的情况，还把总分一样的情况进行了归类整理，思维非常缜密！”

第四、课堂小结

设计核心：引导学生自主进行结构化总结与元认知反思。

知识整合：“如果用一句话总结今天的收获，你会说什么？”引导学生围绕“一一列举”、“有序”、“不遗漏”、“分类”、“列表”等关键词分享。教师可板书形成简易思维导图：中心是“列举策略”，分支包括“价值”（找全、比较）、“关键”（有序）、“工具”（列表、画图等）、“朋友”（分类讨论、寻找规律）。

方法提炼：“回顾一下，我们是怎么学会用这个策略的？是先碰到问题，然后动手试，在对比中发现‘有序’更好，再总结步骤，最后用它去解决新问题。这本身就是一个很好的学习过程。”

作业布置：1.基础性作业（必做）：完成课本相关练习题，重点巩固用列表进行有序列举。2.拓展性作业（选做）：设计一个生活中可以用列举策略解决的小问题，并写出你的解决方案。3.预习提示：思考一下，我们学过的“画图”策略和今天的“列举”策略，在什么时候可以结合起来用？

六、作业设计

基础性作业（全体必做）：

1.完成课本“练一练”及练习十七第1、2题。要求用列表法有序解答，并书写完整过程。

2.整理本节课关于“列举策略步骤”的笔记。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：

设计一个购物情境：小明有10元钱，商店里铅笔1元/支，橡皮2元/块，他想把钱正好花完，可以怎样买？请用你喜欢的方式（如表格）列出所有可能的购买方案。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

研究“田忌赛马”的故事。如果齐王的三匹马（上、中、下）实力固定，田忌的三匹马（上、中、下）实力也固定但均弱于齐王同等级的马。田忌采用不同的出场顺序，会有多少种比赛结果？哪种策略能赢？这和我们学的列举策略有什么联系？写下你的分析与发现。

七、本节知识清单、考点及拓展

★列举策略的适用情境：当问题存在多种可能答案，且需要找全所有情况或通过比较作出选择时，常考虑使用列举策略。

★列举策略的核心要点——有序性：有序是保证不重复、不遗漏的关键。顺序可以是数字的从小到大（从大到小），也可以是逻辑上的先后（如固定一个，搭配其他）。

▲列举的常用辅助工具：列表法最为清晰规整；画图法（如树状图、连线图）直观形象；符号/字母表示法简洁抽象。应根据问题特点灵活选择或组合使用。

★分类讨论思想：面对复杂情况，先按统一标准分类，再在每一类中有序列举，化繁为简。如“订阅杂志”问题按本数分类。

◉易混淆点辨析：列举的是“组合”（与顺序无关，如选景点）还是“排列”（与顺序有关，如组成密码），需根据问题情境判断。小学阶段以“组合”思想为主。

▲列举策略的深化与联系：列举并非孤立策略，常与画图（帮助理解题意）、列表（呈现列举结果）、计算（处理规律性大量数据）等策略协同使用。

★数学模型应用实例（围长方形）：在“周长一定，求面积最大”模型中，通过列举所有可能的长和宽并计算面积，归纳出“长和宽越接近，面积越大”的规律，体现了从特殊到一般的归纳思维。

◉常见考点：以填空题或选择题形式，考察对列举结果（如多少种不同情况）的判断；以解决问题形式，要求完整呈现有序列举的过程，并作答。

▲思维拓展点：从有限情况的列举，延伸到对无限、规律性问题的思考（如音乐钟问题），体会数学思维的层次性与灵活性。

八、教学反思

本次教学围绕“一一列举”策略展开，力求将模型结构、差异教学与素养培育融为一体。从预设目标达成度来看，通过课堂观察和当堂练习反馈，绝大多数学生能掌握有序列表这一基本操作方法，能解决类似“围长方形”、“选景点”的标准问题，表明知识技能目标基本落实。学生在任务对比和步骤提炼中，对“有序性”的价值有了切身感受，能力与思维目标有所体现。然而，在“音乐钟”问题中，部分学生表现出明显的思维定势，依然试图穷举所有时刻，这提示我对策略适用条件的辨析还需加强，情感上部分学生对于“转化”思维仍存在畏难情绪。

对各教学环节的深度剖析：导入环节的“密码锁”游戏快速激发了兴趣，成功引出了“找全”的需求，为新课做好了心理与认知的双重铺垫。新授环节的四个核心任务构成了一个螺旋上升的认知阶梯。任务一（围长方形）是策略的“初体验”与“价值发现”，学生从无序到有序的对比中获得了最直接的冲击，这是本课成功的基石。任务二（提炼步骤）的“复盘”至关重要，它帮助学生将感性经验结构化，形成了可迁移的方法模型。任务三（订阅杂志）是策略的“变式应用”与“方法优化”，通过不同呈现方式的对比，深化了对策略工具性的理解。任务四（音乐钟）则是“思维挑战”与“边界探索”，意图打破机械应用，虽然部分学生遇到困难，但正是这种“冲突”引发了更深层次的思考。巩固训练的分层设计基本满足了不同学生的需求，但在有限课堂时间内，对挑战层问题的反馈可以更充分，如组织一次微型辩论。

对不同层次学生表现的剖析：基础扎实的学生能迅速领会有序的精髓，并在任务四中展现出良好的思维灵活度，他们渴望更具挑战性的问题。中等层次的学生能跟随任务逐步掌握方法，但在独立面对新情境时（如巩固层的“付钱”问题），有时会忽略隐含条件，需要教师或同伴的“点醒”。少数学习困难的学生在任务一中操作尚可，但从具体操作到抽象列表（任务二）这一步存在跨度，他们更需要教师将“有序”的思维过程用非常具体、慢速的语言拆解演示。未来可为他们准备“列举起始框架”的半完成表格作为脚手架。

教学策略的得失与理论归因：成功之处在于遵循了“情境-问题-探究-建模-应用”的建构主义学习路径，学生始终是探究的主体。差异化的任务与练习设计体现了“最近发展区”理论。不足之处在于，对“元认知”目标的挖掘还可更深，例如可以设计一个“自我评价表”，让学生在学习过程中对照检查“我的列举有序吗？”“我分类了吗？”“我的方法清晰吗？”。此外，课堂节奏上，前三个任务用时稍多，导致对策略“局限性”（何时不适用）的探讨不够充分。