《一次函数与几何图形综合》专题

《一次函数与几何图形综合》专题《一次函数与几何图形综合》专题《一次函数与几何图形综合》专题《一次函数与几何图形综合》专题总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化,而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖,能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题）,这类问题的特点是:根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系,求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题;另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形,特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题）,这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征,运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。1。代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形(自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据2。几何(1）基本图象有几个(2)图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联(4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3。代数与几何（1)代数（几何)在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据(2）几何（代数)通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强,应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略,常用的解题策略一般有以下几种：综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理,“由已知得可知”，“从要求到需求”,通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组；3。注意使用分类讨论的思想（函数方法）。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．函数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学思想，因此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进行缜密地思考,用分类讨论的思想探讨出现结论的一切可能性,从而使问题的解答完整无遗。4。用数形结合的思想。数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们的辩证统一表现在：“数”可以准确地澄清“形”的模糊,而“形"能直观地启迪“数”的计算；使用数形结合的思想来解5。运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识"，把“未知”化为“已知"，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题,可以大胆地说,不掌握转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题。知识规律小结:（1)常数k,b对直线y=kx+b（k≠0）位置的影响．①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．②当k，b异号时,即—＞0时，直线与x轴正半轴相交;当b=0时，即-=0时，直线经过原点；当k,b同号时，即-﹤0时，直线与x轴负半轴相交．③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限;当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限;当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；当k﹤O,b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；当b＜O,b＜O时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．直线y=kx+b（k≠0)平行于直线y=kx(k≠0）当b＞0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;当b﹤O时，把直线y=kx向下平移｜b|个单位，可得直线y=kx+b．（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2y1与y2相交；②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1)或（0，b2）；③y1与y2平行；④y1与y2重合。例题精讲：1。已知,如图，在平面直角坐标系内,点A的坐标为（0,24)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为(18，6）．

(1）求直线l1,l2的表达式；

（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．

①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；

②若矩形CDEF的面积为108,求出点C的坐标．解：（1）设直线l1的表达式为y=k1x∵点（18,6）在直线l1上∴6=18k1∴k1=

∴y=x

设直线l2的表达式为y=k2x+b∵点A（0,24），B（18,6）在l2上

待定系数法可得直线l2的解析式为：y=—x+24

(2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a

∴x=3a，

∴点C的坐标为(3a，a）

∵CD∥y轴

∴点D的横坐标为3a

∵点D在直线l2上，

∴y=—3a+24

∴D（3a，-3a+24)

②∵C（3a，a），D（3a，-3a+24）

∴CF=3a，CD=—3a+24-a=-4a+24

∵矩形CDEF的面积为108

∴S矩形CDEF=CF•CD=3a×(—4a+24）=108，解得a=3

当a=3时，3a=9

∴C点坐标为（9,3)2．如图①所示,直线L：与轴负半轴、轴正半轴分别交于A、B两点。(1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；（2）在（1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。（3）当取不同的值时，点B在轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EF交轴于P点，如图③。问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是,说明理由。第2题图第2题图①第2题图第2题图②第2题图第2题图③考点：一次函数综合题;直角三角形全等的判定．专题：HYPERLINK”http：///math/ques/detail/c1da04e0-31a4—43e5-8e09-97097d77e0d7"代数几何综合题．分析：（1)是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；

（2）由OA=OB得到启发,证明∴△AMO≌△ONB,用对应线段相等求长度;

（3）通过两次全等,寻找相等线段,并进行转化,求PB的长．解答：解：（1)∵直线L：y=mx+5m，

∴A（—5，0），B（0，5m），

由OA=OB得5m=5，m=1，

∴直线解析式为:y=x+5．

（2）在△AMO和△OBN中OA=OB，∠OAM=∠BON,∠AMO=∠BNO,

∴△AMO≌△ONB．

∴AM=ON=4，

∴BN=OM=3．

（3)如图，作EK⊥y轴于K点．

先证△ABO≌△BEK,

∴OA=BK，EK=OB．

再证△PBF≌△PKE，

∴PK=PB．

∴PB=BK=OA=．点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题．3。如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线与直线关于x轴对称，已知直线的解析式为（1）求直线的解析式；(3分)（2）过A点在△ABC的外部作一条直线，过点B作BE⊥于E,过点C作CF⊥于F分别,请画出图形并求证：BE＋CF＝EF（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交与点M，且BP＝CQ,在△ABC平移的过程中,①OM为定值；②MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论,并求出其值.（6分)考点：轴对称的性质；一次函数综合题；二次根式的性质与化简；HYPERLINK”/math/ques/detail/bcd28244-a2a9—4df3—84bb-25b5968b4b0b"一次函数图象上点的坐标特征;HYPERLINK”/math/ques/detail/bcd28244—a2a9—4df3—84bb—25b5968b4b0b”待定系数法求正比例函数解析式；HYPERLINK”/math/ques/detail/bcd28244-a2a9—4df3—84bb—25b5968b4b0b"全等三角形的判定与性质；https：///s?wd=PN&tn=44039180_cpr＆fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy—bIi4WUvYETgN-TLwGUv3EnW6knHbYnHDL"\t”/question/_blank”PN,∠NPA=∠\t”https：///question/_blank”BPM，△NPA≌△HYPERLINK”/s？wd=BPM＆tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3EnW6knHbYnHDL”\t"https：///question/_blank"BPM(HYPERLINK”/s？wd=%E8%BE％B9%E8％A7％92%E8%BE％B9&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy—bIi4WUvYETgN—TLwGUv3EnW6knHbYnHDL”\t"https：///question/_blank"边角边），则有∠PMB=∠HYPERLINK”https：///s?wd=PAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN—TLwGUv3EnW6knHbYnHDL"PAN=∠PAB，由题意可知∠OAB=∠ABO=45°，∠HYPERLINK”https：///s？wd=OA&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3EnW6knHbYnHDL”\t”https：///question/_blank”OAP+∠APO=∠\t"https：///question/_blank"OAB+∠PAB+∠APB=90°＝∠HYPERLINK”/s?wd=MPA＆tn=44039180_cpr＆fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN—TLwGUv3EnW6knHbYnHDL"\t”/question/_blank”MPA，在△PMB中∠\t”https：///question/_blank”PMB+∠HYPERLINK”https：///s?wd=MBP&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3EnW6knHbYnHDL"\t”https：///question/_blank"MBP+∠HYPERLINK”/s？wd=MPB&tn=44039180_cpr＆fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy—bIi4WUvYETgN—TLwGUv3EnW6knHbYnHDL”\t”https：///question/_blank"MPB=∠PMB+∠https：///question/_blank”MBP+∠https：///question/_blank”MPA+∠APB=180°∠PMB+∠HYPERLINK”/s？wd=MBP&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y1n1RLm1D4mWPBmWKbmhRY0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy—bIi4WUvYETgN-TLwGUv3EnW6knHbYnHDL"\t”https：///question/_blank”MBP+∠APB=180°—∠MPA=90°∠MBP=90°-∠PMB-∠APB=90°—∠PAB—∠APB=90°—(90°—∠OAB)＝45°所以∠MBA=180°—∠ABO-∠MBP=180°-45°—45°=90°故直线MB与直线AB互相垂直，所以线段OQ值不变（直线AB固定）.向左转｜向右转6.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图像过点B（-1，），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C,与直线y=kx交于点P，且PO=PA求a+b的值；(2)求k的值；（3)D为PC上一点,DF⊥x轴于点F,交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标.考点：HYPERLINK”http：///math/ques/detail/fb6cd5cb—4268-4a9b—8af9—035c29080874”一次函数与二元一次方程（组）．专题:HYPERLINK”/math/ques/detail/fb6cd5cb-4268-4a9b-8af9—035c29080874”计算题;待定系数法．分析：（1）根据题意知,一次函数y=ax+b的图象过点B(-1,）和点A（4,0)，把A、B代入求值即可；

（2）设P（x，y），根据PO=PA，列出方程，并与y=kx组成方程组,解方程组；

（3）设点D（x,—x+2），因为点E在直线y=x上，所以E（x，x），F（x,0)，再根据等量关系DE=2EF列方程求解．解答：解：(1）根据题意得：=-a+b0=4a+b

解方程组得：a=，b=2

∴a+b=—+2=，即a+b=；

(2）设P（x，y），则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线y=kx上，

由（1）得：一次函数y=ax+b的解析式是y=-x+2，

又∵PO=PA，

∴x2+y2=（4-x）2+y2y=kxy=x+2，

解方程组得：x=2，y=1,k=∴k的值是；

(3）设点D（x，—x+2），则E(x，x)，F(x,0），

∵DE=2EF，

∴-x+2—x=2×x，

解得:x=1,

则—x+2=-×1+2=,

∴D（1，）．点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．7.在直角坐标系中，B、A分别在x,y轴上，B的坐标为（3，0）,∠ABO=30°，AC平分∠OAB交x轴于C；（1）求C的坐标(2若D为AB中点，∠EDF=60°,证明：CE+CF=OC（3)若D为AB上一点,以D作△DEC，使DC=DE，∠EDC=120°,连BE，试问∠EBC的度数是否发生变化；若不变,请求值。.在直角坐标系中，B、A分别在x，y轴上，B的坐标为（3,0），∠ABO=30°，AC平分∠OAB交x轴于C;解：∵∠AOB=90°∠ABO=30°∴∠OAB=30°又∵AC是∠OAB的角平分线∴∠OAC=∠CAB=30°∵OB=3∴OA=OC=1即C(1，0)若D为AB中点，∠EDF=60°，证明：CE+CF=OC证明：取CB中点H，连CD，DH∵AO=CO=1∴AC=2又∵D，H分别是AB,CD中点∴DH=AB=2∵DB=AB=BC=2∠ABC=30°∴BC=2CD=2∠CDB=60°CD=1=DH∵∠EOF=∠EDC+∠CDF=60°∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°∴∠EDC=∠FDH∵AC=BC=2∴CD⊥ABADC=90°∵∠CBA=30°∴∠ECD=60°∵HD=HB=1∴∠DHF=60°在△DCE和△DHF中∠EDC=∠FDH∠DCE=∠DHFDC=DH∴△DCE≌△DHF（AAS)∴CE=HF∴CH=CF+FH=CF+CE=1OC=1∴CH=OC∴OC=CE+CF若D为AB上一点，以D作△DEC,使DC=DE,∠EDC=120°，连BE，试问∠EBC的度数是否发生变化；若不变,请求值。解：不变∠EBC=60°设DB与CE交与点GDC=DE∠EDC=120°∴∠DEC=∠DCE=30°在△DGC和△DCB中∠CDG=∠BDC∠DCG=∠DBC=30∴△DGC∽△DCB∴=DC=DE∴=在EDG和BDE中=∠EDG=∠BDE∴△EDG∽△BDE∴∠DEG=∠DBE=30°∴∠EBD=∠DBE+∠DBC=60°8。如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0)，交y轴正半轴于点B（0，b)，且a、b满足+｜4－b|=0（1)求A、B两点的坐标;（2）D为OA的中点，连接BD,过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；ABABOMPQxyABODEFyx（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点,以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.解答：解：①∵+｜4—b|=0

∴a=4,b=4，

∴A（4，0),B（0,4）；

（2）作∠AOB的角平分线,交BD于G，

∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA，

∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF，

∴△BOG≌△OAE，

∴OG=AE．

∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD，

∴△GOD≌△EDA．

∴∠GDO=∠ADE．

（3）过M作MN⊥x轴，垂足为N．

∵∠BPM=90°，

∴∠BPO+∠MPN=90°．

∵∠AOB=∠MNP=90°,

∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN．

∵BP=MP，

∴△PBO≌△MPN，

MN=OP，PN=AO=BO，

OP=OA+AP=PN+AP=AN，

∴MN=AN,∠MAN=45°．

∵∠BAO=45°，

∴∠BAO+∠OAQ=90°

∴△BAQ是等腰直角三角形．

∴OB=OQ=4．

∴无论P点怎么动OQ的长不变．点评：（1）考查的是根式和绝对值的性质．

(2）考查的是全等三角形的判定和性质．

（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质．9.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0，1),∠BAO=30°．求AB的长度；（2)以AB为一边作等边△ABE,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证:BD=OE．(3）在（2）的条件下,连结DE交AB于F．求证:F为DE的中点．考点：h