5.1 不定积分的概念与性质

第五章不定积分

微分与积分是微积分中的两个核心概念，一元函数积分学由不定积分和定积分组成.它们之间存在着密切的关系。目录02不定积分的概念与性质0103分部积分法不定积分在经济中的应用05有理函数的积分换元积分法0402.不定积分的几何意义03.基本积分公式第一节不定积分的概念与性质01.原函数与不定积分的概念04.不定积分的性质05.内容小结一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质1.引例假设某物体做变速直线运动,其速度是关于时间的函数,求在时刻的物体的位置,即求位置函数.分析的导数就是速度函数,位置函数对时间即.已知,我们需找到一个函数,满足.第一节不定积分的概念与性质2.原函数的定义如果在区间上，可导函数的导函数为,即对任一都有或那么函数就称为（或)在区间上的一个原函数.定义1第一节不定积分的概念与性质对任一

有,因此为在上的一个原函数.对任一有，因此为在上的一个原函数.对于一般的函数一定存在原函数吗？若存在，原函数是否唯一?例如，第一节不定积分的概念与性质定理1(原函数存在定理)

如果函数在区间上连续，则在区间上存在可导函数,使对任一，都有简单地说，连续函数一定有原函数.那么原函数是否唯一？第一节不定积分的概念与性质结论:(1)函数的原函数不唯一.若是在区间上的一个原函数，即，则对任意常数有，.因此的原函数不唯一，有无穷多个.第一节不定积分的概念与性质(2)函数的任意两个原函数之间相差一个常数.证

设和是函数的任意两个原函数，因此有，.作函数，求导得在一个区间上导数恒为零的函数为常数，所以，即.第一节不定积分的概念与性质定义23.不定积分的定义在区间上，函数的全体原函数叫做函数

(或)在区间的不定积分，记作其中记号叫做积分号，叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量.则第一节不定积分的概念与性质例5-1解由知，求例5-2求解当时，，在内，当时，在内，，综上第一节不定积分的概念与性质例5-3已知某商品的边际收益函数为，求总收益函数.解当时，代入上式，得.于是收益函数为.第一节不定积分的概念与性质二、不定积分的几何意义若是的一个原函数，其图象称为积分曲线.不定积分，其几何意义表示积分曲线族.对于横坐标为的所有点处，其切线斜率都等于.

第一节不定积分的概念与性质从不定积分的定义可得如下的性质:（1）或（2）或由此可见，微分运算与不定积分运算是互逆的.当记号与一起运算时，或者抵消或者相差一个常数.第一节不定积分的概念与性质三、基本积分公式利用求导（或微分）与求积分之间的互逆关系，可以由基本求导公式得出基本积分公式.基本积分表（1）（2）（是常数）；；第一节不定积分的概念与性质（3）（4）（5）（6）（7）；；

(且)；；；第一节不定积分的概念与性质（8）（9）（10）（11）（12）（13）；；；；；；第一节不定积分的概念与性质例5-5求解例5-6求解积分公式第一节不定积分的概念与性质例5-7求解例5-8求解积分公式第一节不定积分的概念与性质四、不定积分的性质设函数，的原函数存在，则有以下性质成立.性质1性质2（是常数，）第一节不定积分的概念与性质例5-9求解例5-10求解第一节不定积分的概念与性质例5-11求解