4.3泰勒几次公式

泰勒公式的建立01.几个初等函数的02.内容小结03.第三节泰勒公式麦克劳林公式在中国古代，数学和天文学的发展对精度的追求达到了极高的水平。

例如：《九章算术》中,刘徽利用“割圆术”计算圆周率，通过不断倍增正多边形的边数，以极限思想逼近圆的周长，体现了“以直代曲”的逼近思想。

元代科学家郭守敬在制定《授时历》时，首次采用了当时世界上最先进的“招差术”(高次插值)来计算天体运行轨迹.

中国古代的“割圆术”和插值法，虽然没有严格的极限理论支撑，

对于一些比较复杂的函数，为了研究方便，通常需要用简单的函数来但已经蕴含了函数逼近的思想。而泰勒公式则用严格的数学语言，将这一思想推广到任意光滑函数，成为现代科学计算的基石之一.近似表示.而多项式函数总是比较简单的，因此我们经常在一个局部范围内用多项式函数来近似表示一个复杂的函数.第三节泰勒公式

若函数在处可导，有：不足：精度不高，误差不能估计.例如：当很小时，有如下的近似等式：误差是比高阶的无穷小。第三节泰勒公式

问题(1)寻找函数，使得.（2）误差可估计.分析：近似程度越来越好1.若在点相交:2.若有相同的切线:3.若弯曲方向相同:

第三节泰勒公式要求则由得：由得：由得：

第三节泰勒公式由得：由得：因此：

第三节泰勒公式泰勒（Taylor）中值定理1如果函数

在处具有阶导数，则存在

的一个邻域，对于该邻域内任一个

有：其中

，称为佩亚诺（Peano）余项.称为在处的次泰勒多项式，称为带有佩亚诺余项的

阶泰勒公式.

第三节泰勒公式证

令,则函数

在处具有阶导数，故在的某邻域内存在

阶导数,因此

也在该邻域内

可导，应用洛必达法则，得：因此.第三节泰勒公式泰勒（Taylor）中值定理2如果函数

在的某邻域

内有直到

阶的导数，则当

时，有其中

，是与之间的某个值.称为带有拉格朗日余项的

阶泰勒公式.拉格朗日（Peano）余项

第三节泰勒公式证

令,则和在以

及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，累次利用柯西中值定理，得(在与之间)(在与之间)第三节泰勒公式(在与之间)(在与之间)得：(在与之间)第三节泰勒公式注：（1）拉格朗日型余项的泰勒公式是拉格朗日中值定理的推广.当时，有(在与之间)(在与之间)（2）由泰勒公式，如果用

近似，误差为.如果对于某个固定的,当时，有，则第三节泰勒公式（3）在泰勒公式中

，若取

，，则带有拉格朗日余项的麦克劳林公式带有佩亚诺余项的麦克劳林公式第三节泰勒公式例

4-26写出函数

的带有拉格朗日余项的

阶麦克劳林公式.

解所以,

代入公式得：用这个公式计算

产生得误差为第三节泰勒公式如果分别取,可得近似公式为：第三节泰勒公式例4-27写出函数

的带有拉格朗日余项的

阶麦克劳林公式.解

所以它们顺序循环地取,代入公式，令，得第三节泰勒公式其中如果分别取

，可得近似公式为第三节泰勒公式这时的误差为类似地，还可以得到其中第三节泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节泰勒公式在实际工程应用中，近似过程必然会产生误差，而严格的误差分析是确保系统可靠性的关键，忽略误差可能会导致严重后果.

例如，在北斗导航系

统中，原子钟的时间误差为

，那么累计

万年误差才有

，其全球服务定位能力可达米级，而在亚太地区更是实现了厘米级的精准定位，甚至能够监测到地质灾害中地表毫米级的微小变化.

光学精度对于芯片制造至关重要，由中国科学院光电技术研究所研制的光刻机，光刻分辨力达到,

（相当于头发丝直径的三千分之一）

第三节泰勒公式结合双重曝光技术后，未来还可用于制造

级别的芯片

.

在天问一号的深空机动中，环绕器距离瞄准的火星位置约3亿公里，误差控制约

，这相当于从北京到上海约

的距离中瞄准一个直径约

的目标

，难度可想而知.

任何微小的误差都可能导致严重的后果，在1991年海湾战争中，爱国者导弹的计时器采用24位浮点数运算，连续运行100小时后累计误差达，导致对飞毛腿导弹的飞行定位偏差

，这种误差在高速飞行的导弹面前被放大，直接导致防御系统无法准确锁定目标

.第三节泰勒公式拓展题例4-28求函数

带佩亚诺余项的阶麦克劳林公式.

解第三节泰勒公式例4-29利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限.解由于分母是

，于是第三节泰勒公式一般的，可以证明其中

为正整数思考:第三节泰勒公式

例4-30利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求