北师大版八年级数学下册几何综合复习练习题

北师大版八年级数学下册几何综合复习练习题同学们，几何学习如同在平面上构建一座逻辑的大厦，每一个定义、公理、定理都是坚实的基石。北师大版八年级数学下册的几何内容，以平行四边形为核心，延展到矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形，同时融入了三角形中位线、图形的平移与旋转等重要知识。这份综合复习资料，希望能帮助大家梳理知识脉络，巩固基础，提升解决复杂几何问题的能力。一、核心知识回顾与梳理在进入练习题之前，我们先来简要回顾本学期几何学习的核心内容，这是解决一切几何问题的前提。1.平行四边形：*定义：两组对边分别平行的四边形。*性质：对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分。*判定：从边（两组对边分别平行/相等；一组对边平行且相等）、角（两组对角分别相等）、对角线（对角线互相平分）几个角度去判定。2.特殊平行四边形：*矩形：有一个角是直角的平行四边形。特性：四个角都是直角；对角线相等。判定除定义外，还可通过“对角线相等的平行四边形”或“三个角是直角的四边形”来判定。*菱形：有一组邻边相等的平行四边形。特性：四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。判定除定义外，还可通过“对角线互相垂直的平行四边形”或“四条边都相等的四边形”来判定。*正方形：既是矩形又是菱形的四边形。它兼具矩形和菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形。判定方法多样，可先判定为矩形再证一组邻边相等，或先判定为菱形再证一个角是直角。3.三角形的中位线：*定义：连接三角形两边中点的线段。*定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。这是一个非常重要的性质，常用来转化线段的位置和数量关系。4.图形的变换：*平移、旋转、轴对称是图形的三种基本变换。它们不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。在几何证明中，常常利用这些变换将分散的条件集中，或构造出全等图形、特殊图形。5.几何证明的逻辑：*证明的每一步都要有依据，通常是定义、公理、已学过的定理。要学会从已知条件出发，结合图形，逐步推向求证的结论；或从结论反推，寻找使结论成立所需的条件。二、综合复习策略1.回归课本，夯实基础：所有的综合题都是由基础知识点组合而成。务必将课本上的定义、性质、判定定理吃透，理解其内涵与外延。2.重视图形分析：拿到几何题，首先要仔细观察图形，识别基本图形（如平行四边形、特殊三角形等），分析图形中各元素（边、角、对角线）之间的关系。3.善于总结辅助线作法：辅助线是解决几何问题的桥梁。例如，遇到中点考虑中位线；遇到梯形（虽然本学期重点是平行四边形，但梯形也可能作为背景出现）考虑平移一腰或对角线；遇到线段和差关系考虑截长补短等。要在练习中积累和总结。4.一题多解与多题一解：对于典型题目，尝试从不同角度寻找解法，拓宽思路。同时，要学会归纳同一类型题目的解题规律，达到“做一题，会一类”的效果。5.规范书写过程：几何证明题的书写要求逻辑清晰、步骤完整、理由充分。平时练习就要养成良好的书写习惯，避免因表达不清而丢分。三、综合练习题（一）选择题（每小题只有一个选项符合题意）1.下列性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.四条边都相等2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（）A.AB=CDB.∠ABC=∠ADCC.AC=BDD.AO=CO（此处应有图：一个普通的平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于O）3.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相垂直且一组邻边相等D.对角线互相平分且一组邻边相等4.三角形三条中位线围成的三角形的周长为6，则原三角形的周长是（）A.6B.12C.18D.24（二）填空题5.已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为______，面积为______。6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______cm。（此处应有图：一个矩形ABCD，对角线AC、BD交于O，标出∠AOB=60°，AB=4cm）7.在□ABCD中，若添加一个条件______，则□ABCD是矩形；若添加一个条件______，则□ABCD是菱形。（每空只填一个即可）8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若AB=10，则△DEF的周长是______。（此处应有图：一个直角三角形ABC，∠C为直角，D、E、F分别是AB、BC、CA中点）（三）解答题（写出必要的解题步骤和推理过程）9.已知：如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。求证：四边形BEDF是平行四边形。（此处应有图：平行四边形ABCD，E在AD中点，F在BC中点，连接BE、ED、DF、FB）10.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。（此处应有图：等腰三角形ABC，AB=AC，D是BC中点，ABDE是平行四边形，E点在AC一侧）11.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE。（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的边长为5，∠ABC=60°，求OE的长。（此处应有图：菱形ABCD，对角线AC、BD交于O，DE平行且等于AC，连接CE、OE）12.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC。（1）求证：FC=FE；（2）若正方形边长为4，求△FCE的面积。（此处应有图：正方形ABCD，E是BC中点，△ABE沿AE折叠得到△AFE，F点在正方形内部，连接FC）四、练习题参考答案与提示（一）选择题1.C（提示：平行四边形的对角线互相平分，矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形也具有此性质。）2.C（提示：平行四边形对角线互相平分但不一定相等，只有矩形等特殊平行四边形对角线才相等。）3.D（提示：对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加一组邻边相等则为菱形。）4.B（提示：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，故新三角形周长是原三角形周长的一半。）（二）填空题5.5，24（提示：菱形对角线互相垂直平分，利用勾股定理求边长，面积等于对角线乘积的一半。）6.8（提示：矩形对角线相等且互相平分，△AOB为等边三角形，所以AO=AB=4，AC=2AO=8。）7.∠ABC=90°（或AC=BD等）；AB=BC（或AC⊥BD等）（提示：矩形的判定可从角或对角线入手；菱形的判定可从边或对角线入手。）8.15（提示：D、E、F分别是中点，DE、EF、FD都是△ABC的中位线，长度分别为AC/2、AB/2、BC/2，所以△DEF周长是△ABC周长的一半。在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²=100，但此处直接用中位线性质求和更简便：(AB+BC+CA)/2。）（三）解答题9.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC。∵E、F分别是AD、BC的中点，∴ED=AD/2，BF=BC/2。∴ED=BF。又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）10.证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，AE=BD；AB∥DE，AB=DE。∵D为BC中点，∴BD=DC。∴AE=DC，且AE∥DC。∴四边形ADCE是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。∴∠ADC=90°。∴四边形ADCE是矩形。（有一个角是直角的平行四边形是矩形）11.（1）证明：∵DE∥AC，且DE=AC，∴四边形OCED是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD。（菱形对角线互相垂直）∴∠COD=90°。∴平行四边形OCED是矩形。（有一个角是直角的平行四边形是矩形）（2）解：∵菱形ABCD的边长为5，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形。（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）∴AC=AB=5。∴OC=AC/2=2.5。∵BD⊥AC，在Rt△BOC中，BC=5，OC=2.5，∴OB=√(BC²-OC²)=√(25-6.25)=√18.75=(5√3)/2。∴OD=OB=(5√3)/2。∵四边形OCED是矩形，∴OE=CD。（矩形的对角线相等）又∵CD=BC=5，∴OE=5。（提示：也可在Rt△ODE中，OD=(5√3)/2，DE=AC=5，利用勾股定理求OE。）12.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠BCD=90°。∵E是BC中点，∴BE=EC=BC/2。将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，∴AF=AB，FE=BE，∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAE。∴FE=EC。设∠BAE=α，则∠FAE=α，∠EAD=90°-2α。∵AF=AD=AB，∴∠AFD=∠ADF=[180°-(90°-2α)]/2=45°+α。∵∠AFE=90°，∠ADC=90°，∴∠EFC=180°-∠AFE-∠AFD=180°-90°-(45°+α)=45°-α。∠FCD=∠BCD-∠ECF，在△EFC中，FE=EC，∴∠EFC=∠ECF=45°-α。∴FC=FE。（等角对等边）（提示：也可通过计算角度或构造辅助线证明△EFC为等腰三角形。）（2）解：若正方形边长为4，则BE=EC=FE=2。由（1）知∠ECF=45°-α，且FE=EC=2。过点F作FG⊥BC于点G。在Rt△FGE中，∠FEG=180°-90°-(45°-α)=45°+α。但或许更简便的是，设FG=x，EG=y。∵∠FEG+∠BAE=90°（∠AEB+∠BAE=90°，且∠FEG=∠AEB），可证△FGE∽△ABE，∴FG/AB=EG/BE=FE/AE。AE=√(AB²+BE²)=√(16+4)=√20=2√5。∴x/4=y/2=2/