五年级数学上册·第一单元《小数乘法》第3课时：小数乘小数的算理与算法（教案）

五年级数学上册·第一单元《小数乘法》第3课时：小数乘小数的算理与算法（教案）

  一、教学理念与设计思路

  本课时教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，立足于深度学习理论及建构主义学习观。我们坚信，数学教学不应是机械规则的灌输，而应是学生主动探究、意义建构与思维发展的过程。“小数乘小数”作为整数乘法向小数乘法的关键性拓展，其教学价值远超于掌握一条计算法则。它既是“运算能力”培养的重要节点，也是发展“数感”、“推理意识”和“模型思想”的绝佳载体。因此，本设计摒弃传统的“告知-练习”模式，采用“情境问题驱动—多元表征联结—算理算法贯通—迁移拓展深化”的探究路径。通过创设真实且富有挑战性的数学任务，引导学生在解决“如何计算”的问题中，自主经历从直观几何模型（面积模型）到抽象算术推理（积的变化规律）的完整认知过程，实现算理的透彻理解和算法的自主建构，让数学知识在学生的思维活动中“生长”出来，最终达成对乘法运算意义的一致性理解，并为后续学习小数除法、分数乘除法及比例奠定坚实的认知基础。

  二、学情分析

  本课教学对象为小学五年级上学期学生。在知识储备上，学生已经熟练掌握了整数乘法的计算方法、小数乘整数的算理与算法（利用积的变化规律，将小数乘整数转化为整数乘法），并对小数的意义、数位顺序及小数点移动引起小数大小变化的规律有了扎实的理解。在思维特征上，该年龄段学生的抽象逻辑思维开始迅速发展，但仍需具体形象思维的有力支持；他们具备一定的观察、比较、归纳和类比能力，但在严密的数学推理和语言表述方面仍需教师引导。潜在的认知难点在于：第一，如何将小数乘整数的转化经验（扩大—计算—缩小）自然迁移到两个因数都需要变化的情境中，理解“两次转化”的思想；第二，如何从“因数扩大倍数与积扩大倍数”的关系中，自主归纳出“积的小数位数等于因数小数位数之和”这一核心算法，并理解其内在逻辑而非机械记忆；第三，在计算过程中如何处理乘积末尾有零及位数不足需补零的情况。因此，教学需提供充足的直观支撑和思维台阶，帮助学生在已有认知“生长点”上实现对新知识的同化与顺应。

  三、教学目标（素养导向）

  1.知识与技能：结合具体情境（如计算长方形面积、商品总价等），理解小数乘小数的计算算理，自主探索并掌握小数乘小数的笔算方法，能正确、熟练地进行计算，并能解决相关的简单实际问题。

  2.过程与方法：经历探索小数乘小数计算方法的过程，通过动手操作（画图）、观察比较、合情推理、归纳概括等活动，体验“转化”和“数形结合”的数学思想方法，发展抽象、推理和建模能力。

  3.情感态度与价值观：在探索算理算法的过程中，获得成功的体验，增强学习数学的自信心；感受数学知识之间的内在联系及严谨性，养成认真计算、细致检验的良好学习习惯；体会数学在解决现实问题中的价值。

  四、教学重难点

  教学重点：理解并掌握小数乘小数的计算算理，明确积的小数点定位方法。

  教学难点：自主推导并理解“积的小数位数等于两个因数的小数位数之和”的算法原理；正确处理计算中乘积的小数位数确定问题（包括补零、去零）。

  五、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（内含情境动画、互动探究工具、动态面积模型演示）、实物投影仪。

  2.学生准备：每生一张方格纸（或点阵图）、直尺、学习任务单。

  3.环境准备：教室桌椅按4-6人合作学习小组摆放，便于开展探究与交流。

  六、教学过程设计

  (一)情境激趣，问题驱动（预计时间：8分钟）

    1.创设情境，引出问题：

    教师利用课件呈现学校“开心农场”扩建规划图的情境。画面显示两块新的长方形种植区域。区域A：长3.2米，宽2.1米，计划种植向日葵；区域B：长0.8米，宽0.6米，计划用于育苗。教师提问：“为了准备足够的种子和肥料，我们需要知道这两块地的面积分别是多少。同学们，如何列式？”

    引导学生迅速列出算式：区域A面积：3.2×2.1；区域B面积：0.8×0.6。

    教师揭示课题：“3.2和2.1都是小数，0.8和0.6也是小数。这就是我们今天要深入探究的‘小数乘小数’。”（板书课题：小数乘小数——算理与算法）

    2.激活旧知，明确方向：

    教师追问：“面对‘小数乘小数’这个新问题，我们已有的知识武器是什么？”引导学生回顾“小数乘整数”的计算方法（如：3.2×4，将3.2看作32个0.1，乘以4得128个0.1，即12.8），其核心是“转化”为整数乘法。进而提出驱动性核心问题：“那么，小数乘小数能否也‘转化’为整数乘法来计算呢？如果能，转化的依据是什么？转化之后，积又该如何‘变回来’？”此环节旨在明确本课探究的核心与方向，将学生的思维聚焦于“转化”策略的迁移与应用上。

  (二)多元探究，构建算理（预计时间：20分钟）

    本环节是突破算理理解的关键，采用“先直观建模，后抽象推理”的双路径并行策略，帮助学生建立牢固的概念表象。

    路径一：数形结合，直观建模（以3.2×2.1为例）

    1.操作感知：教师引导：“长方形的面积等于长乘宽。3.2米和2.1米不方便直接测量，我们可以把它‘缩小’来研究。”提出任务一：请在方格纸（每个格子代表0.1米×0.1米，即0.01平方米）上，画出表示长3.2米、宽2.1米的长方形示意图，并思考如何计算出它的面积。

    学生动手画图。教师巡视，选取典型画法进行投影展示。学生会画出长边占32个小格（3.2米），宽边占21个小格（2.1米）的长方形。

    2.观察计算：教师提问：“现在，这个长方形的面积（以小方格为单位）可以怎么算？”引导学生发现：

      方法A：整个大长方形包含（32×21）个小方格。

      方法B：将长方形分割成整格部分和边缘部分分别计算再求和。

    聚焦于方法A，追问：“32×21=672，这个672表示什么？”（表示有672个小方格，每个小方格面积是0.01平方米）那么，长方形的实际面积是多少平方米？”（672个0.01平方米就是6.72平方米）。板书过程：3.2×2.1→（看成32个0.1乘21个0.1）→32×21=672→672个（0.1×0.1）=672个0.01=6.72。

    3.建立联系：教师用课件动态演示：将长3.2米（32个0.1米）和宽2.1米（21个0.1米）同时扩大10倍，变成长32米、宽21米的大长方形，计算其面积为672平方米。然后提问：“这个672平方米是我们原来那个小长方形实际面积的多少倍？”（100倍）因为长和宽都扩大了10倍，面积就扩大了（10×10=100）倍。所以，原面积应是672÷100=6.72（平方米）。动态演示“扩大—计算—缩小”的过程。

    路径二：逻辑推理，明晰算理（仍以3.2×2.1为例）

    1.推理演绎：教师引导脱离图形，进行纯算术推理：“不画图，我们能从‘积的变化规律’来解释吗？”师生共同梳理：

      为了计算3.2×2.1，可以把两个因数都转化成整数。把3.2扩大10倍变成32，把2.1扩大10倍变成21。根据积的变化规律，“一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，积就扩大a×b倍”。本题中，a=10，b=10，所以积扩大了100倍。

      计算整数乘法：32×21=672。这个672是扩大了100倍以后的结果。

      因此，原来的积应该是672缩小到它的1/100，即672÷100=6.72。小数点向左移动两位。

    2.记录对比：教师规范板书竖式计算过程，并对应写出思考过程：

      3.2（×10）→32

      ×2.1（×10）→×21

      ────────────

      3232

      6464

      ────────────

      6.72（÷100）←672

    引导学生对比观察：因数3.2有一位小数，因数2.1有一位小数，积6.72有两位小数。初步感知联系。

  (三)合作探究，归纳算法（预计时间：12分钟）

    1.迁移探究，验证规律：

    教师出示任务二（合作学习）：请运用刚才的“转化”思想（可以画图，也可以用积的变化规律推理），独立计算“开心农场”中区域B的面积：0.8×0.6。完成后，在小组内交流你的计算过程和想法。

    学生独立尝试，小组讨论。教师巡视，关注不同方法（尤其是将0.8和0.6分别看作8个0.1和6个0.1，乘积是48个0.01，即0.48）。

    2.汇报交流，聚焦本质：

    小组代表汇报。关键聚焦：0.8×10=8，0.6×10=6，积扩大100倍；8×6=48；48÷100=0.48。板书竖式。引导学生观察：因数0.8有一位小数，0.6有一位小数，积0.48有两位小数。积的小数位数似乎又是两个因数小数位数之和。

    3.举例验证，归纳概括：

    教师提出挑战：“这会不会是巧合？请各小组再任意写一个‘小数乘小数’的算式（可以是两位小数乘一位小数等），用‘转化’的方法算一算，并数一数因数的小数位数和积的小数位数，看看有什么发现。”

    小组活动，举例验证。如：1.25×0.4（两位小数×一位小数），2.03×0.12（两位小数×两位小数）等。

    4.形成结论，提炼算法：

    各小组汇报验证结果。教师引导学生用准确、简练的数学语言归纳算法：“通过刚才大量的例子，我们发现，计算小数乘小数时，先按照整数乘法算出积，再看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。”

    教师追问：“谁能从算理上解释为什么可以这样‘看位数、点小数点’？”引导学生回到“积的变化规律”：两个因数分别扩大10^n倍和10^m倍（n、m分别是它们的小数位数），积就扩大10^(n+m)倍。所以，按整数乘完后，积需要缩小10^(n+m)倍，也就是小数点向左移动(n+m)位。这正好等同于“数出（n+m）位小数”。至此，算法从算理中自然“生长”出来，实现了算理与算法的有机统一。教师完整板书算法要点。

  (四)巩固深化，灵活应用（预计时间：12分钟）

    本环节设计多层次、多形式的练习，旨在巩固算法、提升技能、发展思维，并学会处理特殊问题。

    1.基础巩固，掌握算法：

    出示基本笔算题组：①4.7×2.8②0.65×0.24③1.8×0.025。

    学生独立完成，指名板演。集体订正时，重点讨论：

      题②：积的末尾有0，并且小数点后位数不足（0.65×0.24=0.1560）。引导学生讨论“0.1560”末尾的0是否可以去掉？为什么？（根据小数的性质，可以化简为0.156）。强调：先确定小数点的位置，再化简。

      题③：1.8是一位小数，0.025是三位小数，积应有四位小数。但1.8×0.025=0.045，只有三位，怎么办？（用0补足：在45前面补一个0，再点小数点，得到.045，整数部分写0，即0.045）。这是本课难点，需通过板书演示强调。

    2.解决问题，实践应用：

    呈现实际问题：①“开心农场”收获的南瓜每千克售价5.6元，李阿姨买了2.5千克，应付多少钱？②一块长方形玻璃，长1.3米，宽0.85米，这块玻璃的面积是多少平方米？如果每平方米玻璃的价钱是72元，买这块玻璃需要多少钱？

    引导学生审题，找出数量关系，列式计算并解答。强调计算在解决实际问题中的应用，以及计算结果的合理性（如面积、金额通常保留两位小数）。

    3.思维拓展，深化理解：

    设计探究题：不计算，你能根据积的小数位数规律，直接判断下面各算式积的小数点位置吗？

      A.14.8×3.5（积有两位小数）

      B.1.48×0.35（积有四位小数）

      C.0.148×0.35（积有五位小数）

      D.0.148×0.035（积有六位小数）

    追问：观察这组算式，你还有什么发现？（一个因数不变，另一个因数缩小10倍、100倍……积也相应缩小；因数的小数位数之和决定了积的小数位数，但具体数值大小还需计算。）此题旨在强化对“小数位数”规律的敏感度，并渗透函数思想。

  (五)总结反思，延伸启思（预计时间：8分钟）

    1.自主梳理，构建网络：

    教师提问：“回顾今天的学习历程，我们是怎样探索出小数乘小数的计算方法的？你有哪些收获和体会？”引导学生从知识（算理、算法）、方法（转化、数形结合）、经验等方面进行全景式回顾。鼓励学生用自己的语言描述核心算法，并解释其背后的道理。

    2.沟通联系，形成体系：

    教师利用板书或课件，引导学生将“小数乘小数”与之前学过的“整数乘法”、“小数乘整数”进行对比，找出共同点与不同点。共同点：最终都转化为整数乘法计算；都运用了“转化”的思想。不同点：转化过程中，因数扩大的倍数不同，导致积需要缩小的倍数也不同。将三者统一到“依据积的变化规律进行转化”的认知框架下，形成完整的乘法计算知识网络。

    3.布置作业，分层提升：

    设计分层作业，满足不同学生的发展需求。

      必做题（面向全体）：课本对应练习，完成5道小数乘小数的笔算和2道基础应用题。

      选做题（面向学有余力）：

        ①探究题：已知56×37=2072，那么0.56×0.37=（），5.6×0.037=（），你能不计算直接写出得数吗？请写出你的思考。

        ②实践题：请在家里或小区里找一找涉及“小数乘小数”计算的实际问题（如计算瓷砖面积、购买散装食品等），记录下来并尝试解决。

      预习任务（引导后续学习）：思考：在小数乘法中，如果乘得的积的小数位数太多，而实际问题又不需要那么精确时，我们该怎么办？查阅资料或思考“近似数”和“积的近似值”的概念。

  七、板书设计（结构化思维导图式）

    板书设计力求体现探究过程、突出知识重点、建立知识联系，成为学生思维的“可视化”支架。

  小数乘小数——算理与算法

  核心问题：如何转化为整数乘法？

  例1：3.2×2.1=？

    探究路径：

    1.数形结合：3.2米→32个0.1米  2.1米→21个0.1米

      面积小方格数：32×21=672（个）

      实际面积：672×0.01=6.72（平方米）

    2.算理推理：

      3.2 （×10） → 32

      ×2.1 （×10） → ×21

      ────         ────

       32            32

       64            64

      ────         ────

       6.72 （÷100）← 672

    例2：0.8×0.6=0.48（验证）

  算法归纳（从算理中来）：

    1.按：按整数乘法算出积。

    2.看：看两个因数中一共有几位小数。

    3.点：从积的右边起数出几位，点上小数点。

    （若位数不足，用0补足；若末尾有0，先点后化简）

  知识网络：

    整数乘法←（转化/积的变化规律）→小数乘整数