10.4 线段的垂直平分线 同步练习【鲁教54】七下数学一课一练

第十章三角形的有关证明第4节线段的垂直平分线基础过关全练知识点1线段垂直平分线的性质定理1.如图所示，AC垂直平分BD，若AB=3cm，CD=5cm，则四边形ABCD的周长是()A.11cm B.13cm C.16cm D.18cm2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是()A.22° B.27° C.32° D.40°3.(2021山东济南期末)如图，∠ABC=90°，∠C=15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，CE=10cm，则AB=()A.4cm B.5cm C.6cm D.不能确定4.(2022内蒙古鄂尔多斯中考)如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB=3.7，AC=2.3，则△ADC的周长是.

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是线段AB的垂直平分线，交AC于点E，连接BE.(1)若∠A=35°，求∠CBE的度数；(2)若∠A=30°，△BCE的周长为15+53，求△ABC的面积.知识点2线段垂直平分线的判定定理6.已知：C、D是线段AB外不重合的两点，AC=BC，AD=BD，点P在直线CD上.若AP=5，则BP的长为()A.2.5 B.5 C.10 D.257.(2023陕西西安高陵期末)如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，BC与AD交于点E，AC=BD.求证：点E在线段CD的垂直平分线上.8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，EH垂直平分BD，连接DE交AC于F，求证：点E在线段AF的垂直平分线上.知识点3三角形三条边的垂直平分线的性质9.(2023河北石家庄赵县二模)A、B、C三地所在的位置如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到这三地的距离相等，则中转仓的位置应选在()A.△ABC的三边垂直平分线的交点处 B.△ABC的三边中线的交点处C.△ABC的三条角平分线的交点处 D.△ABC的三边上的高所在直线的交点处能力提升全练10.如图，在锐角三角形ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，射线BP为∠ABC的平分线，且直线l与射线BP相交于点P.若∠A=64°，∠ACP=26°，则∠ABP的度数为()A.30° B.32° C.34° D.36°11.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG，则∠EAG的度数为()A.15° B.20° C.25° D.30°12.(2022湖北宜昌中考)如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=6，则△A.25 B.22 C.19 D.1813.(2023浙江丽水中考)如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB.若AB=4，则DC的长是.

14.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠AOC=68°，则∠ABC=.15.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是线段AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是.

16.(2022山东济南章丘期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终与PA相等，线段BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由；(2)若AC=3，BC=4，PA=1，求线段DE的长.素养探究全练17.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC.若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm.(1)求线段BC的长；(2)连接OA，求线段OA的长；(3)若∠BAC=n°(n>90)，求∠DAE的度数.(用含n的式子表示)

第十章三角形的有关证明第4节线段的垂直平分线答案全解全析基础过关全练1.C∵AC垂直平分BD，∴AD=AB=3cm，BC=CD=5cm，∴四边形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=16cm.故选C.2.B∵AB=AC，∠A=42°，∴∠ABC=12(180°-∠A)=12∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=42°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=69°-42°=27°.故选B.B∵DE垂直平分AC，∴AE=CE=10cm，∴∠EAC=∠C=15°，∴∠AEB=30°，∵∠ABC=90°，∴AB=12AE=5cm，故选4.答案6解析∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD=CD，∵AB=3.7，AC=2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC=AB+AC=6，故答案为6.5.解析(1)∵∠C=90°，∠A=35°，∴∠ABC=90°-35°=55°，∵直线DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=35°，∴∠CBE=55°-35°=20°.(2)∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵EB=EA，∴∠ABE=∠A=30°，∴∠CBE=30°，∴BE=2CE，设CE=x，则BE=2x，∴BC=BE2−CE2=3x,∴3x+3x=15+53,∴x=5,∴BC=56.B∵C、D是线段AB外不重合的两点，AC=BC，AD=BD，∴直线CD是线段AB的垂直平分线，∵点P在直线CD上，AP=5，∴BP=AP=5，故选B.7.证明∵∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD，且AB=BA，∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，∴AD=BC，∠ABC=∠BAD，∴AE=BE，∴EC=ED，∴点E在线段CD的垂直平分线上.8.证明证法一：∵EH垂直平分BD，∴BE=DE，EH⊥BD，∴∠BEH=∠DEH，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴EH∥AC，∴∠BEH=∠A，∠DEH=∠AFE，∴∠A=∠AFE，∴AE=EF，∴点E在线段AF的垂直平分线上.证法二：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠D+∠DFC=90°，∵EH垂直平分BD，∴EB=ED，∴∠B=∠D，∴∠A=∠DFC，∵∠DFC=∠AFE，∴∠A=∠AFE，∴EA=EF，∴点E在线段AF的垂直平分线上.9.A∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在△ABC的三边垂直平分线的交点处，故选A.能力提升全练10.A∵直线l为边BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵BP为∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠CBP，∴∠PBC=∠PCB=∠ABP，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，∵∠A=64°，∠ACP=26°，∴∠ABP=30°.故选A.B∵AB边的垂直平分线交BC于点E，AC边的垂直平分线交BC于点G，∴AG=CG，AE=BE，∴∠C=∠CAG，∠B=∠BAE，∴∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，∴∠EAG=∠BAE+∠CAG-∠BAC=100°-80°=20°，故选B.C由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，∵AB=7，AC=12，∴AB+AC=19，∴△ABD的周长是19，故选C.13.答案4解析∵∠B=∠ADB，AB=4，∴AD=AB=4，∵直线DE是边AC的垂直平分线，∴DC=AD=4，故答案为4.14.答案34°解析连接OB，AC，如图所示，∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，∴OA=OB，OC=OB，∴∠OBA=∠OAB，∠OBC=∠OCB，∵∠AOC=68°，∴∠OAC+∠OCA=180°-68°=112°，∵∠OAC+∠OCA+∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°，∴112°+2∠OBA+2∠OBC=180°，∴2(∠OBA+∠OBC)=68°，∴∠OBA+∠OBC=34°，即∠ABC=34°.15.答案14解析如图，连接AD，AE，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD，∴当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，∵∠ADB=90°，AB=10，BD=6，∴AD=AB2−BD2=8，∴△BDE16.解析(1)DE⊥DP.理由：∵PD=PA，∴∠A=∠PDA，∵直线EF是线段BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠PDA+∠EDB=90°，∴∠PDE=180°-90°=90°，∴DE⊥DP.(2)如图，连接PE，CP=AC-AP=2，PD=PA=1，设DE=x，则EB=ED=x，∴CE=4-x，∵∠C=∠PDE=90°，∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，即22+(4-x)2=12+x2，解得x=198，故DE=19素养探究全练17.解析(1)∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA=DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA=EC，∵△ADE的周长为12cm，∴DA+DE+EA=12cm，∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=