四种线性代数模型

线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学

课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代数,

也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一.

实验一生物遗传模型

1.工程背景

设一农业研窕所植物园中某植物的基因型为AA.Aa和aa。常染色体遗传的规律是：后

代是从每个亲体的基因对中个继承•个基因，形成自己的基因对。如果考虑的遗传特

征是由两个基因A.a控制的，那末就有三种基因对，记为AA.Aa和aa。研究所计划采

用Aa(.AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，

这种植物的任意一代的三种基因型分布如何

2.问题分析

分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。

表6-4基因型概率矩阵

后代父体一母体的基因对

基因对AA—AAAA—AaAA-aaAa-AaAa-aaaa—aa

AAI1/201/400

Aa01/211/21/20

aa0001/41/21

3.模型建立与求解

设分别表示第n代植物中基因型AA.Aa、aa型的植物占植物总数的百分率。则第n代植

物的基因型分布为，表示位物型的初始分布。依据上述基因型概率矩阵，有，，，

,表示为矩阵形式

1/2

%=01/2

I。0

记，则。

于是问题归结为如何计算可将对角化。易于计算的特征值为1、1/2、0,其相

应的特征向量为

令，则。

11/20

于是心)=MM01/21尸空。)

(00

0rT00101Y

0-1-20(1/2)"00-1-2x<0)

01,,000001，

ril-(l/2n)1-(1/2,,_1)%+%+Co-(l/2”)d-(l/2i)c。、

1/c"fl/.(0)

1000II0

\/\z

<nw,>

l-(l/2)b0-(l/2-)c0

=(l/2")%+(l/2"T)Coo

、°,

当，，因此，可以认为经过若干年后,

培育出的植物基本上呈现AA型。

实验二员工培训问题

1.工程背景

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支

援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经培训及实践至年终考

核有2/5成为熟练工。若记第n年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为。

2.问题

问题1:第年熟练工与非熟练工所占比例与第n年熟练工与非熟练工所占比例

的关系。

问题2：若第1年熟练工与非熟练工所占比例为，求0

3.模型建立与求解

依据题意，有，。

整理化简得，

即，记，亦有。

由问题1结果，有。

问题归结为求，可将A对角化。易于计算1.1/2是矩阵A的两个特征值，且相应的特征向

量为0

记，则

U4-nf10）（\nj4+（；）”4一4（夕

/\一8-v

因此=An2

。用JJ.

I2J2+3（%

实验三多金属分选流程计算

1.工程背景

设一原矿产率及第种产品产率，%,；

一原矿中第种金属品位,％；

一第种产品中第种金属品位,％；

一第种产品中第种金属的理论回收率.％：

按照金属平衡和产率平衡进行计算。为了计算方便，尾矿视为产品。

金属平衡，

ya尸工兀鱼,i=1,2,…,m

J=I

产品平衡，

1>,=1（X）%

>=>

其中，尾矿产率及金属品位为

解次多元线性方程组求出产品产率。

各产品任一金属回收率2%=[4xioo%

六1

2.问题

某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、锌、硫精矿和尾矿，已化验知各产品的金属品位（见

下表），试计算各产品产率和回收率。

表6-5各产品的化验品位

产品名称品位

铅(金属1)锌(金属2)硫(金属3〉

原矿

铅

锌

硫

尾矿

F模型建立写泵解

设铅、锌、硫和尾矿的产率为和，按照金属平衡与产率平衡，可建立以下线性方程

组：

71.04%+1.20X2+0.38」+0.34%=100x3.14

3.7+5I.50X2+0.354+0.10x4=100x3.63

15.70%+30.80々+42.38&+1.40%=100x15.41

+x2++x4=100

MATI.AB源代码:

A=[；；Jill]

%创建系数矩阵

b=[3143631541100],;%常数列矩阵

x=A\b%利用x=inv(A)*b

又x0=repmat(x,[1,4]);%创建多维数组

B0-rcpmat(b,[14])';

s=xO.*A,./BO界计算各产品的理论回收率，最后一列为产率

s=

将计算结果填入下表

表6-6各产品产率及回收率计算结果

回收率/%

产品名称产率/%

铅锌硫

原矿100100100100

铅

锌

硫

尾矿

实验四交通流量模型

1.问题

图6-8给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数），计算各线路上车辆数.

600700

图6-8

假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量.

（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流星.

2.模型的建立与求解

由假设可知，所给问题满足如下线性方程组:

x2-x3+x4=300

x4+xs=500

x7-x6=200

Xj+x2=800

+x5=800

x7+Xg=100

xt)=400

x\o-=200

x10=600

+x6=10()

3.Matlab程序实现

A=[0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0:1,1,0,0,0,0,

0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,l,0;0,0,0,0,0

,0,0,0,-1,l;0,0,0,0,0,0,0,0,0,l;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0]

%矩阵A

h=[300:500,200:800:800：100:400:200:600,100]

B=[A,b]%增广矩阵B

Rank(A)舟计算矩阵A的秩

Rank(B)舟计算增广矩阵B的秩，若秩相等，则有解

rref(B)%将增广矩阵B化为最简型

4.结果分析

增广矩阵

B=

01-11000000300

0001100000500

00000-11000200

1100000000800

1000100000800

0000001100100

0000000010400

00000000-11200

0000000001600

0010010100100

系数矩阵的秩Rank伍)=8

增广矩阵的秩Rank(B)=8<10,说明该非齐次线性方程组有无穷多个解.

增广矩阵的最简型为：

1000100000800

0010000000200

0001100000500

0000010100-100

0000001100100

0000000010400

0000000001600

00000000000

00000000000

其对应的齐次同解方程组为：

X1+x5=800

x2-x5=0

x,=200

x4+x5=500