数学教案 人教a版选修2-3 同步练习-第1章计数原理跟踪训练含解析

两个计数原理及其简单应用

04课时跟踪训练您注重双基落实，精准高效调练

[A组学业达标]

1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮

船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为（）

A.14-1+1=3B.34-4+2=9

C.3X4X2=24D.以上都不对

解析：分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种定法；第二类，乘火车，从4次中选1次有

4种走法：第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3+4+2=9（种）不同的走法.

答案：B

2.现有3名老师、8名男学生和5名女学生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不

同的选法种数为（）

A.39B.24

C.15D.16

解析：先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法.由分步乘

法计数原理知，不同的选法种数为3X13=39.

答案：A

3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果•条K裤与•件上衣配成•套，则不同的

配法种数为（）

A.7B.12

C.64D.81

解析：分两步：第一步选上衣，有4种不同的选法.第二步选长裤，有3种不同的选法.故共有4X3

=12种不同的配法.故选B.

答案：B

4.已知*£包3,7｝,yG（-31,—24,4｝,则（x,y）可表示不同的点的个数是（）

A.1B.3

C.6D.9

解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合⑵3,7｝中任取一个值x有3种方法；第二步，在集

合｛-31,—24,4｝中任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3X3=9个不同的点.

答案：D

5.某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张

不能报A小组，则不同的报名方法有（）

A.27种B.36种

C.54种D.81种

解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2X3X3X3

=54(种)不同的报名方法，选C.

答案：C

6.从集合{(),1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有个.

解析：第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共

有6义6=36(个).

答案：36

7.4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有.

解析：本题中要完成的•件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”.•・•跳高冠军的分配

有4种不同的方法，跳远冠军的分配有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法，，根据分步

乘法计数原理，冠军的分配方法有4X4X4=64(种).

答案：64

8.从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x]=ax?+bx+c的各项的系数，可组成不同

的二次函数共有个，其中不同的偶函数共有个.(用数字作答)

解析：一个二次函数对应着a,b,c(aWO)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法

有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数为3X3X2=18.其中不同的偶函数的个数为3X2

=6.

答案：186

9.某商店有甲型号电视机10台，乙型号电视机8台，丙型号电视机12台，从这三种型号的电视机

中各选一台检验，有多少种不同的选法.

解析：完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成，

第一步：从甲型号中选一台，有10种不同的选法；

第二步：从乙型号中选一台，有8种不同的选法；

第三步：从丙型号中选一台，有12种不同的选法.

根据分步乘法计数原理,有10X8X12=960种,因此共有960种不同选法.

10.已知集合八二⑵4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,组

成数对(m,n),问：(1)有多少个不同的数对？

(2)其中所取两数in>n的数对有多少个？

解析:(1)因为集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9),在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,

组成数对(m,n),先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5X5=25

个不同的数对.

(2)在(1)中的25个数对中所取两数m>n的数对可以分类来解.，当m=2时，n=l,有1种结果：当m

=4时，n=l,3,有2种结果；当m=6时，n=l,3,5,有3种结果；当m=8时，n=l,3,5,7,有4种结

果；当m=10时，n=l,3,5,7,9,有5种结果.综上所述共有1+2+3+4+5=15种结果.

[B组能力提升]

11.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）

A.81B.64

C.14D.12

解析：对于笫一个小球有4种不同的放法，

第二个小球也有4种不同的放法，

第三个小球也有4种不同的放法，

即每个小球都有4种可能的放法，

根据分步乘法计数原理知共有4X4X4=64种放法.

答案：B

12.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者

活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

Imnc

।~~IlTi_irn

A.24B.18

c.12i）.y

解析：由题意可知E-F有6种走法，F-G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6X3=18种走法.

答案：B

13.用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有_______个.

解析：分三类：第一类：3个1,1个2即为1112,有1个.

第二类：3个2,1个1,即为2212,2122,1222,有3个.

第三类：2个2,2个L即1122,1212,2112,有3个.

故共有3+3+1=7个.

答案：7

14.某运动会上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条

跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.

解析：分两步安排这8名运动员.

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，共有4X3X2=24种方法；

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5X4X3X2X1=120种

第2课时两个计数原理的综合应用

04课时跟踪训练磅-----------------------注-重--双-基--落--实-，--精-准--高-效--调-练-

[A组学业达标]

1.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（）

A.15B.12

C.1（）D.5

解析：分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类

组成3位整数，其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个.

答案：D

2

2.已知函数y=ax+bx+c为二次函数，其中a,b,Ce{0,1,2,3,4},则不同的二次函数的个数为（）

A.125B.15

C.100D.10

解析：若y=ax2+bx+c为二次函数，则aWO,要完成该事件，需分步进行：

第一步，对于系数a有4种不同的选法；

第二步，对于系数b有5种不同的选法；

第三步，对于系数c有5种不同的选法.

由分步乘法计数原理知，共有4X5X5=100（个）.

答案：C

3.若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4,另外两边长分别为b,c,且满足bW4Wc,则这

样的三角形有（）

A.10个B.14个

C.15个D.21个

解析：当b=l时，c=4；当b=2时，c=4,5；当b=3时，c=4,5,6；当b=4时，c=4,5,6,7.故

共有10个这样的三角形.

答案：A

4.把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A.144B.120

C.72D.24

解析：摆好的3个座位共有4个空隙供3人（不妨记为甲、乙、丙）选择就座，因此，可分三步：甲从

4个空隙中任选一个空隙，有4和不同的选择：乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择:

丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择.根据分步计数原理，任何两人不相邻的坐法种

数为4X3X2=24.故选D.

答案：D

5.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使

用，则不同的染色方法共有（）

A.48种B.72种

C.96种D.108种

解析：①用四色时

AC同色或BD同色.

当AC同色时.

AC有4种涂色方法.

B有3种涂色方法.

P有2种涂色方法.

D有1种涂色方法.

共有4X3X2X1=24种不同的涂色方法.

同理当BD同色时也有24种不同的涂色方法.

②用三色时

AC同色且BD同色

AC有4种涂色方法

B1）有3种涂色方法

P有2种涂色方法

共有4X3X2=24种不同的涂色方法

综上所述，共有24+24+24=72种不同的涂色方法.

答案：B

6.如图所示为一电路图，则从A至共有条不同的单支线路可通电.

解析:按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2X2=4（条）.根

据分类加法计数原理，共有3+1+4=8（条）.

答案：8

7.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的

报法有种.

解析：由于每个同学报哪个运动队没有限制，因此，每个同学都有3种报名方法，4个同学全部选完,

才算完成这件事，故共有3X3X3X3=81种不同的报法.

答案：81

8.两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的

情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有种.

解析：由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局.当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，

共2种；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲感2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若

乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；当比赛局数为5局时,前4局，甲、乙双方各赢2局，最后

一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3^4

局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2X6=12（种）,综上可知，共有2+6+12=20（种）.

答案：20

9.某文艺小组有20人，其中会唱歌的有14人，会跳舞的有10人，从中选出会唱歌与会跳舞的各1

人参加演出，且既会唱歌又会跳舞的至多选1人，有多少种不同的选法？

解析：第1类，首先从只会唱歌的10人中选出1人，有1（）种不同的选法，从会跳舞的10人中选出1

人,有10种不同的选法，共有10X10=100种不同的选法；笫2类，从既会唱歌又会跳舞的4人中选1

人，再从只会跳舞的6人中选1人，共有4X6=24种不同的选法.所以一共有100+24=124种不同的选

法.

10.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种

作物，有多少不同的种植方法.

解析：分别用a,b,c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a,再安排第二块

田，有2种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.

⑴若第三块田放c：

abc

第四、五块田分别有2种方法，共有2X2=4（种）方法.

⑵若第三块印放a：

aba

第四块有b或c2种方法：

①若第四块放c：

abac

第五块有2种方法；

②若第四块放b：

abab

第五块只能种作物C,共1种方法.

综上，共有3X2X（2X2+2+l）=42（种）方法.

[B组能力提升]

11.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比3542大的四位数的个数是（）

A.360B.240

C.120D.60

解析：因为3542是能排出的四位数中千位为3的最大的数，所以比3542大的四位数是千位只能是4或

5,所以共有2X5X4X3=120个比3542大的四位数.

答案：C

12.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，答对甲题得

10。分，答错得一100分；答对乙题得90分，答错得一90分.若4位同学的总得分为0,则这4位同学不

同的得分情况的种数是（）

A.48B.36

C.24D.18

解析：分两类：第一类，都选甲题，则两人正确两人错误，所有可能的情况有6种；第二类，都选乙题，

则两人正确两人错误，所有可能的情况有6种；第三种，若两人选甲题，两人选乙题，并且一对一错，则

所有的情况有6X2X2=24（种）.综上，这4位同学不同的得分情况的种数为6+6+24=36.

答案：B

13,成都市的出租中年牌号规定为“川A-TXXXX”的格式，其中后四位为数字，那么成都市最多可以

有辆出租车.

解析：后面四位每一位都可以在0〜9这10个数字中任选1个数，且可以重复，故一共可以组成

10X10X10X10=10’个车牌号,即最多有10’辆出租车.

答案：10,

14,用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求在A,B,C,I）四个区域

公共边的）区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法？

解析：法一：分类：

笫一类，A,D涂同色，有6X5X4=120种涂法，（用三色）

第二类，A,D涂异色，有6X5X4X3=360种涂法，（用四色）

共有120+360=480种涂法.

法二：分步：先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A,D区域，各有4种涂法，

所以共有6X5X4X4=480种涂法.

15.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数?

解析：完成这件事可分为三类：

第一类是个位数字为0的比200。大的四位偶数，可以分三步完成：

第一步，选取千位上的数字，只芍2,3,4,5可以选择，有4种选法；

第二步，选取百位上的数字，除0和干位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；

第三步，选取十位上的数字，有3种选法.

由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4X4X3=48.

第二类是个位数字为2的比2()0。大的四位偶数，可以分三步完成：

第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数

字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；

第三步，选取十位上的数字，有3种选法.

由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3X4X3=36.

第三类是个位数字为4的比200。大的四位偶数，其方法步骤同第二类.

对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2000大的四位偶数有48+36+36=120(个).

第1课时排列与排列数公式

04课时跟踪训练磅-----------------------注-重--双-基--落--实-，--精-准--高-效--调-练-

[A组学业达标]

1.4*5*6...(n—l)・n等于()

A.KB.A：-4

C.n!-4!D.A：-3

解析:因为A：：=n(n—1)(n—2)…(n—m+1),所以A；：''=11(11—1)(n—2)…[n—(n—3)+1]=n・(n—

1),(n—2)....6,5,4.

答案：D

2.将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()

A.50种B.60种

C.120种D.90种

解析：5本书进行全排列，相=120种.

答案：C

3.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编

排方案共有()

A.12种B.24种

C.48种D.120种

解析：•・•同学甲只能在周一值日，，除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，・・・5名同学值日顺

序的编排方案共有A；=24(种).

答案：B

4.已知A%—A：=10,则n的值为()

A.4B.5

C.6D.7

解析：因为A——A；=10,则(n+l)n—n(n—1)=10,整理得2n=10,即n=5.

答案：B

5.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值

的个数是()

A.9B.10

C.18D.20

a

解析：Iga—lgb=lgp从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a,b,共有A：=20种，其中lgq=lg

339

G，lgT=lg鼻，故其可得到18种结果.

yio

答案：c

6.计算丁=------.

解析：因为A?=7X6XA?,A?=6XA；,

Q/2

所以原式=十=36.

答案：36

7.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条

毕业留言.（用数字作答）

解析：根据题意，得鼠=1560,故全班共写了1560条毕业留言.

答案：1560

8.8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有种不同的种法.（用数字作答）

解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的

地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有A；=8X7X6X5=1

680（种）.

答案：1680

9.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3

面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号.

解析；第1类，挂1面旗表示信号，有AL种不同方法；

第2类，挂2面旗表示信号，有店种不同方法；

第3类，挂3面旗表示信号，有Aj：种不同方法.

根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A:+A：+A；=3+3X2+3X2X1=15（种）.

10.一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问

原有多少个车站？现有多少车站？

解析：由题意可知，原有车票的种数是A：种，现有车票的种数是A'?种，・・・片+2—2=58,

即（n+2）（n+1）—n（n—I）=58.

解得n=14.

故原有14个车站，现有16个车站.

[B组能力提升]

11.将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（）

A.1260B.120

C.240D.720

解析：相当于3个元素安排在10个位置上，共有鼠=720种分法，故选D.

答案：D

12.下列各式中与排列数A：相等的是()

_____n_!______

A，n—m+1!

B.n(n-1)(n-2)(n-m)

nA：L

*n-m+1

D.AnAn-}

n।n1"n।

解析：VA：=-------:-而A：・A：二:=「7---------:---------------',=--------:--.\A：=A1-.

n—m!Ln-1—m-1J!n-m!

答案：D

13.满足不等式\>12的n的最小值为______.

An

n।n-51

解析：由排列数公式得=一—―7>12,即(n—5)(n—6)>12,解得n>9或nV2.又n力7,所以

n—I：n!

n>9,

又nWN,所以n的最小值为10.

答案：10

14.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为

解析：这四张卡片可组成的四位数是

2011、2(01、2110、1021、1012、1102、1120、120k1210共9个.

答案：9

15.根据要求完成下列各题.

小5侑A;+A；

(D计算：A?o-A?o；

(2)解方程：3及=4A£i.

初圻5A；+A；6解6A；63

解析：⑴尿式-5A；。-A；14A；。-40A厂40-20-

819!

⑵由排列数公式,原方程可化为3X卞」=4X

10-x

4X9

化简得3=

10—x9—x

即X：—19x+78=0,解得x1=6,x2=13.

因为x<8,所以原方程的解是x=6.

16.(1)求由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且哈有三个相同数字的四位数的个数.

(2)从0,1,2,3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有

三位数.

解析：(1)本题要求首位数字是1,且恰有三个相同的数字，用树形图表示为:

2—2—22—1—1

长3—3—3《3—1—1

4—4—44—1——1

由此可知共有12个.

(2)大于200的三位数的首位是2或3,于是大于200的三位数有.：

201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.

第2课时排列的综合应用

04课时跟踪训练磅-----------------------注-重--双-基--落--实-，--精-准--高-效--调-练-

[A组学业达标]

1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有（）

A.60种B.48种

C.36种【）.24种

解析：把A,B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A：=24种排法.

答案：D

2.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）

A.192种B.216种

C.240种D.288种

解析：根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类.

第一类，甲在最左端，有6=5X4X3X2X1=120（种）方法；

第二类,乙在最左端，有4A：=4X4X3X2X1=96（种）方法.

所以共有120+96=216（种）方法.

答案：B

3.5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，这样

的排列种数为（）

A.5760B.57600

C.2880D.28800

解析：先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个大元素，从大元素和另外的3

名男生中选2个排在两端,剩下的和女生全排列，故有A；•储•储•熊=5760男种）排法.故选B.

答案：B

4.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）

A.144个B.120个

C.96个D.72个

解析：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2,此时满足条件的偶数共有2A；=48（个）；当五位数的

万位为5时，个位可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有3A：=72（个）.所以比40000人的偶数共有48

+72=120（个）.

答案：B

5.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着规.如果甲、

乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）

A.12种B.18种

C.24种D.48种

解析：把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有虐♦内种方法，再把丙、丁插入

到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有收种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为

A：・居・居=24.

答案：C

6.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，巨产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有

种.

解析：先将A,B捆绑在一起，有收种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A；种摆法，共有解A；

种摆法.而A,B,C这3件产品在一起，且A,B相邻，A,C相邻有2A：种摆法.故A,B相邻，A,C不相

邻的摆法有AM：—2A：=36(种).

答案:36

7.从班委会的5名成员中送出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人

不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.(用数字作答)

解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A；=12种方法.由分步乘法计数原理知，

共有3X12=36种选法.

答案：36

8.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参

观券连号，那么不同的分法种数是.

解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号.方法数为：1和2,2和3,3和4,4

和5,四种连号，其他号码各为一组，分给4人,共有4XA：=96(种).

答案：96

9.分别求出符合下列要求的不同排法的种数.

(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；

(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；

(3)6人排成一排，甲、乙不相邻.

解析：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为加=720.

(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A；种选法，然后其他5人排，有庭种排法，故排

法种数为A；庭=480.

(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右

及之间的空位中排，共有A：依=480(种)排法.

10.7名班委中有A,B,C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.

(1)若正、副班长两职只能从A,B,C三人中选两人担任，有多少种分工方案？

(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C三人中的一人担任，有多少种分工方案？

解析：（1）先排正、副班长有后种方法，再安排其余职务有At种方法，依分步乘法计数原理，知共有

A就=720（种）分工方案.

（2）7人中任意分工方案有A；种，A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AiA：；,因此A,B,

C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A；—A：定=3600（种1.

[B组能力提升]

11.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）

A.24B.48

C.60D.72

解析：第一步，先排个位，芍用种选择；

第二步，排前4位，有A；种选择.

由分步乘法计数原理，知有A；・A：=72（个）.

答案：D

12.航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序【）不相邻，则实

验顺序的编排方法共有（）

A.216种B.288种

C.180种D.144种

解析：当B,C相邻，且与D不相邻时，有AU需=144种方法；当B,C不相邻，且都与D不相邻时，

有A；A：=144种方法，故共有288种编排方法.

答案：B

13.将A,R,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,R均在C的同侧，则不同的排法共有种

（用数字作答）.

解析：按C的位置分类，在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的，所以只

看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时，有A：；种，当C在左边第2个位置时有A；-A；种，

当C在左边第3个位置时，有A；-Al+&-A；种.这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法

共有480种.

答案：480

14.在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑

设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展

出这5件作品的不同方案有种.

解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A：=48种方案.其中，2

件绘画作品相邻，有2X2,=24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48—24=24种.

答案:24

15.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条

件的节目编排方法有多少利1?

(l)i个唱歌节目开头，另一•个放在最后压台；

(2)2个唱歌节目互不相邻；

(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.

解析：(1)先排唱歌节目有种排法，再排其他节目有A：种排法，所以共有A”就=144。种排法.

(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A：种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，

有相种插入方法,所以共有您・监=30240种排法.

⑶把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共用种排法，再将•3个舞蹈节目插入,

共有眉种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有般种排法，故所求排法共有A；-A；・A；=2880种排

法.

16.从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列.问：

(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？

(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？

解析：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个.第一步先在奇数位置

上排上奇数共有靡种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为鹿种，由

分步乘法计数原理知，排法种数为星•晨=1800.

(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A；种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在

奇数位置上，排法为A；种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A”解=2520种.

第1课时组合与组合数公式

04课时跟踪训练您注重双基落实，精准高效调练

[A组学业达标]

1.给出下列问题:

①从甲、乙、因3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的送法？

②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？

③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？

其中属于组合问题的个数为i）

A.0B.1

C.2D.3

解析：①与顺序有关，是排列问题：②③均与顺序无关，是组合问题.

答案：C

2.计算：2+或+/=（）

A.120B.240

C.60D.480

"7X8,6X7X8,8X9…

解析：Cs+Cs+Cq—OVI^-QVOVI^-QVI—12°,

答案：A

3.某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门.若要求两类课程中各至少选

1门，则不同的选法共有（）

A.15种B.30种

C.45种D.90种

解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门,

因比，共有点・成+以・^=45（种）选法.

答案；C

4.方程逢=CL的解集为（)

A.(4)B.{14}

C.{4,6}D.{1412}

x=2x—4,x=14—2x—4

解析：由题意知2X-4W14,2X-4W14,

xW14,xW14,

解得x=4或6.

答案：c

5.异面直线a,b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（）

A.20B.9

c.dD.dcJ+dc；

解析：分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C；个平面；第二类，在直线b上任取

一点，与直线a可确定C!个平面.故可确定C；+C!=9个不同的平面.

答案：B

6.某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同

的选派方案种数为.

解析：法一：分类完成.第1类，选派1名女生、3名男生，有C；•窗种选派方案；第2类，选派2

名女生、2名男生，有Ch种选派方案.故共有&・渭+6・d=14（种）不同的选派方案.

法二：6人中选派4人的组合数为C,其中都选男生的组合数为C；,所以至少有1名女生的选派方案

有以一C：=14（种）.

答案：14

7.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法

共有种.

解析：从4名男医生中选2人，有6种选法，从3名女医生中选1人，有以种选法.由分步乘法计数

原理知，所求选法种数为渭或=18.

答案：案

8.不等式—nV5的解集为.

解析：由《一nV5,得^"与」---n<5,nJ—3n—10<0.

解得一2VnV5.由题设条件知n22,且n£N*,

An=2,3,4.故原不等式的解集为｛2,3,4）.

答案：｛2,3,4｝

9.（1）解方程：M=6C：；

（2）解不等式：cr]>3G.

解析：（1）原方程等价于

m—1m—2m—3

m(m—1)(in-2)=6X-

4X3X2X1