2026-2027学年北师大版(新教材)初中数学九年级上册第二章单元测试

2026-2027学年北师大版(新教材)初中数学九年级上册

第二章单元测试（基础卷）一、单选题1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中改编）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A． B． C． D．2．（原创精品）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（

）A．4，1，3 B． C． D．3．（原创精品）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（

）A．2 B．4 C．8 D．164．（原创精品）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根5．（2026·重庆·二模改编）2026年油价突涨，以“98号”汽油为例，某加油站3月份收入为8.25万元，加油站5月份收入为16.17万元，若每个月涨价的百分率相同，则每个月收入的平均增长率为（）A． B． C． D．6．（原创精品）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．不存在7．（原创精品）为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（

）A． B． C． D．8．（2024·内蒙古赤峰·期末测试改编）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（）A．或 B．或 C． D．9．（原创精品）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．10．（原创精品）若a≠b，且则的值为（

）A． B．1 C．.4 D．3二、填空题11．（2024·广东广州·中考真题改编）定义新运算：例如：，．若，则的值为______．12．（原创精品）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．13．（原创精品）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．14．（原创精品）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．15．（原创精品）在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则________．三、解答题16．（24-25九年级上·天津静海·期末改编）解方程：(1)；(2)．17．（2024·上海·中考真题改编）解方程组：．18．（原创精品）已知关于的一元二次方程．(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围．(2)当方程的两个根满足时，求的值．19．（原创精品）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．20．（原创精品）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．21．（原创精品）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？22．（原创精品）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？23．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测改编）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件．(1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率；(2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？24．（25-26九年级上·重庆·开学考试改编）年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同．(1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元；(2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值．25．（原创精品）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，且．(1)求直线的解析式；(2)如图2，在射线上有一动点F，连接、，M为x轴上一动点，连接、，当时，求的最大值；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿直线平移得到，若在平移过程中是以为一腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．答案解析一、单选题1．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【知识点】解一元二次方程——配方法【详解】解：∵，∴，即．2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（

）A．4，1，3 B． C． D．【答案】B【知识点】化成一元二次方程的一般式【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值．【详解】解：把一元二次方程化成一般式：，对比一般式，可得，，．3．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴根的判别式，整理得，解得．4．一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，先计算判别式的值，再根据判别式与0的大小关系得出结论．【详解】解：对于一元二次方程，可得，，，∵，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．5．2026年油价突涨，以“98号”汽油为例，某加油站3月份收入为8.25万元，加油站5月份收入为16.17万元，若每个月涨价的百分率相同，则每个月收入的平均增长率为（）A． B． C． D．【答案】C【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)【分析】设每个月收入的平均增长率为，根据3月和5月的收入关系列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果．【详解】解：设每个月收入的平均增长率为，由题意得，，解得，（舍去），因此每个月收入的平均增长率为．6．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．不存在【答案】C【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得是否符合要求．【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，判别式，对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根，由根与系数的关系得,，，，整理得：，解得：或，的值为或1．7．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形的一边长为米，根据围栏总长为10米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可．【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为10米，∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽），设矩形的一边长为米，则另一边长为米，∵矩形区域的面积为21平方米，∴根据矩形面积公式可得方程：．8．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（）A．或 B．或 C． D．【答案】C【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、因式分解法解一元二次方程【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底边长为，腰长为，∴这个三角形的周长为，故选：．9．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】三角形三边关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可．【详解】解：∵，∴或，当时，则，当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，∴，，，解得：，∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，∴，∴，∴，解得：，综上：，故选：C10．若a≠b，且则的值为（

）A． B．1 C．.4 D．3【答案】B【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【详解】解：由得：∴又由可以将a，b看做是方程的两个根∴a+b=4，ab=1∴故答案为B.【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．二、填空题11．定义新运算：例如：，．若，则的值为______．【答案】或【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵而，∴①当时，则有，解得，；②当时，，解得，综上所述，x的值是或，故答案为：或．12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：；故答案为：．13．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．【答案】【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）；故答案为：．14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．【答案】2【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：故答案为：215．在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则________．【答案】【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、公式法解一元二次方程、折叠问题、利用菱形的性质求线段长【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解一元二次方程，直角三角形的性质等知识点，难度较大．连接，过点作交延长线于点，作交于点，过点作于点，可得，，设，则，则，由翻折得到，设，在中由勾股定理建立方程，解得：（舍），在中，由勾股定理求得，再由勾股定理求解，由勾股定理求解，可得，再由斜边中线得到．【详解】解：连接，过点作交延长线于点，作交于点，过点作于点，∵四边形是菱形，∴，∴，，∴在中，，在中，，设，则，∴，∵，∴，∵翻折，∴，设，∵在中，，∴，解得：（舍），∴，，∴，∴在中，，∵，∴，∵，∴，解得：，∵与的角平分线交于点，∴，∵，∴，∴，∴∵点为的中点，∴，故答案为：．三、解答题16．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有直接开方法，因式分解法，公式法，配方法，属于中考常考题型．（1）用公式法先求出根的判别式再代入求根公式求解即可；（2）用十字相乘法将方程先变形成，再解两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：，，，，．，；（2）解：，．或．，．17．解方程组：．【答案】，或者，．【知识点】因式分解法解一元二次方程、二元二次方程组及其解法【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，当时，，当时，，∴方程组的解为或者．18．已知关于的一元二次方程．(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围．(2)当方程的两个根满足时，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键．（1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解；（2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解．【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根，∴，整理得，，解得，；（2）解：方程的两个根，∴，∵，∴，整理得，，∴，整理得，，∴，解得，，当时，，解得，，符合题意；当时，，∵，∴原方程无实数，∴舍去，∴．19．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．【答案】(1)见解析(2)，方程的另一个根为【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理）．（1）根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解．（2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路．【详解】（1）证明：由题意得：，则：，无论取何值，，则，不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．（2）解：将代入方程可得，解得，当时，原方程为，解得：，即方程的另一个根为．20．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；(2)解：不能，理由如下：由题意，得．化简，得．∵，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到．【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．【详解】（1）解：设矩形的边，则边．根据题意，得．化简，得．解得，．当时，；当时，．答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．（2）略【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．21．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为；(2)当商品降价5元时，商场获利4250元．【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；（2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：二、三这两个月的月平均增长率为；（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：当商品降价5元时，超市获利4250元．22．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为(2)这种玩具应降价2元【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答．（2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答．【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，依题意，得：，解得：，(不符合题意，舍去)，答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．（2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个∴每降价1元，其销售量增加12个设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，依题意，得：，整理，得：，解得，(不符合题意，舍去)，答：这种玩具应降价2元．23．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件．(1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率；(2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？【答案】(1)(2)20元【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．（1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得；（2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得．【详解】（1）解：设月平均增长率为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：月平均增长率为．（2）解：设售价应降低元，由题意得：，整理得：，解得或，∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴，答：售价应降低20元．24．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同．(1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元；(2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值．【答案】(