第26章 二次函数 基础通关卷（解析版）

-2027学年九年级上册数学单元自测第二十六章二次函数·基础通关建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各式中，是关于的二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可．【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意；B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意；C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意；D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意．2．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为．【详解】解：抛物线顶点坐标为．3．当时，的函数值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值．【详解】将代入得．4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知二次函数的图象开口向下，则“□”可能是（

）A． B．0 C． D．2【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象开口向下，则二次项系数小于零，即可求解．【详解】解：∵二次函数的开口方向由决定，当时开口向下，又∵题目中二次项系数为“□”，∴，故选：A．5．把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可．【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为．6．（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可．【详解】∵二次函数解析式为∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离：点到对称轴的距离：点到对称轴的距离：点到对称轴的距离：∵∴．7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数与x轴无交点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．根据二次函数与x轴无交点，得出方程无实数根，再列出不等式求解．【详解】解：∵二次函数与x轴无交点，∴方程无实数根，∴，解得：，故选：C．8．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（

）A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小【答案】D【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可．【详解】解：把化为顶点式：，∵，∴图象开口向上，A错误；该函数的对称轴为直线，B错误；∵开口向上，顶点坐标为，∴函数的最小值为，C错误；∵，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小．9．（25-26九年级上·北京平谷·期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长．【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为，将代入得：，解得，，当时，，解得，（不合题意，舍去），点的坐标为，的长为，该男生此次掷实心球的成绩是．故选：B．10．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．图象的对称轴是直线【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确．【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误；B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点，方程有个不相等的实数解，，故B选项错误；C选项：二次函数的图象经过点，当时，，故C选项错误；D选项：二次函数的图象经过点，，抛物线的对称轴是，故D选项正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．二次函数与轴交于，则的值为______．【答案】【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值．【详解】解：∵二次函数与轴交于点，∴将，代入得，整理得，∴，解得,∴的值为．12．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______．【答案】【详解】解：由题意，可得k2解方程，得，解得或；由，得，故.13．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________．【答案】【分析】先根据题意得到新正方形的边长.再利用正方形面积公式列出与的关系式.整理后即可得到函数解析式．【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为根据正方形面积公式，可得：展开整理得：由的实际意义可知，∴．14．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下：x…13…y…4…则关于x的方程的解为：________．【答案】，【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可．【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，，点与点纵坐标相等，抛物线的对称轴为直线，设点关于对称轴的对称点横坐标为，则，解得，即对称点坐标为，当时，的值为或，即关于的方程的解为，．15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______【答案】【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可．【详解】解：∵二次函数图象经过点和点，∴二次函数的对称轴为直线，∵在中，，∴该二次函数的图象开口向上，∴在对称轴处函数有最小值，又∵当时函数取得最小值，∴该函数的对称轴为直线，∴，∴．16．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______．【答案】或【分析】由题意易得，设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可．【详解】解：令时，则有，解得，不妨令点在点的左侧，∴，设，∴，，，当为直角三角形，且时，根据勾股定理得：，∴，解得，此时点T与点重合，故不符合题意；当时，同理可得：，解得：，此时点T与点重合，故不符合题意；当时，同理可得：，解得，∵不符合题意，∴或，∴当时，则；当时，则；综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标．【答案】抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可．【详解】解：设抛物线解析式为，把代入得，解得：，所以抛物线解析式为，而，所以抛物线的顶点坐标为．18．已知抛物线的对称轴是直线．(1)求证：；(2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根．【答案】(1)已知抛物线的对称轴是直线，∴，∴，∴．(2)方程的另一个根为【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解；（2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解．【详解】（1）略（2）解：∵关于的方程的一个根为2，∴，∵，∴，解得，，∴，∴，整理得，，解得，，∴方程的另一个根为．19．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当时，直接写出y的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式；（2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围．【详解】（1）解：把，代入得，解得∴二次函数的解析式为；（2）解：将二次函数配方得，函数的对称轴为直线∵∴二次函数开口向上，∴当时，y取得最小值；当时，，当时，；即在时，y的取值范围是．20．如图，已知抛物线经过两点，顶点为．(1)分别求抛物线和直线的解析式；(2)请根据图象直接写出：时的取值范围；【答案】(1)；(2)或【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式；（2）观察图象即可求解．【详解】（1）解：把代入，得，解得，∴该抛物线解析式是：，把代入，得，解得，∴该直线的解析式是；（2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值．21．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数．(1)将化成的形式；(2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象；(3)当时，结合图象，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可；（3）根据函数图象可得答案．【详解】（1）解：；（2）解：列表如下：…0………函数图象见解析；（3）解：由函数图象可知，当时，．22．抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点．(1)求的值；(2)如图，为原点，矩形与矩形关于点成中心对称．若抛物线与边相交，矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分，求抛物线的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的对称轴得出方程求解即可；（2）根据题意得出，，，，矩形的面积为，确定抛物线经过点D，抛物线与边相交，设交点为点G，得出，确定，再由题意得出相应方程求解即可．【详解】（1）解：抛物线对称轴为，∵对称轴为，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴当时，，∴，∵矩形与矩形关于点成中心对称，∴，，∴，矩形的面积为，∵抛物线与轴交于点，且对称轴为：，∴抛物线经过点D，∵抛物线与边相交，设交点为点G，如图所示：∴当时，，∴，∴，∴，∵矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分，∴两部分面积为和，∴，解得：，∴抛物线解析式为：．23．（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本．(1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式；(2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数；（2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大．【详解】（1）解：由题意得：，即：．（2）解：，，开口向下，∴当时，W随x的增大而增大，，∴当时，W最大，此时（元），答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元．24．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式；(3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解；（2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解；（3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将点代入，得，解得：，抛物线的函数表达式为；（2）解：,的顶点坐标为，设直线的表达式为，，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，，，解得：，的表达式为；（3）解：令，则，解得：（舍），，，令，则，解得：（舍），，，，抛物线顶点坐标为由（2