考点03 二次函数的图象与字母系数之间的关系（4考点7题型＋能力强化）（原卷版）

考点03二次函数的图象与字母系数之间的关系考点一：核心基础考点（必背）1.系数a：决定开口方向与开口大小a>0：抛物线开口向上，函数有最小值；a<0：抛物线开口向下，函数有最大值；|a|越大：开口越窄；|a|越小：开口越宽隐含条件：a≠0，二次函数的核心判定条件2.系数a、b联合：决定对称轴位置抛物线对称轴公式：x=-b2a对称轴在y轴左侧（x<0）：a、b同号（对称轴在y轴右侧（x>0）：a、b异号（对称轴为y轴（x=0）：b=03.系数c：决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴恒交于点(0,c)c>0：交点在y轴正半轴c=0：抛物线过坐标原点c<0：交点在y轴负半轴4.判别式Δ：决定抛物线与x轴交点个数ΔΔ>0：抛物线与x轴有2Δ=0：抛物线与x轴有1个交点（顶点在xΔ<0：抛物线与x轴【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与y轴负半轴相交，判断考点二：高频特殊代数式符号判断（重难点）x=1，函数值y=a+b+cx=-1，函数值y=a-b+cx=2，函数值y=4a+2b+cx=-2，函数值y=4a-2b+cx=3，函数值y=9a+3b+c特殊推导式子：2a+b、2a-b，通过对称轴x=-b2a与【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c图象特征：开口向下，对称轴0<x<1，抛物线过y轴正半轴，且x=1时图象对应点在x轴下方。判断a+b+c、考点三：通用解题方法（万能思路）1.定a、c符号：开口定a，y轴交点定c2.定b符号：根据对称轴位置，用“左同右异”判定3.判特殊式子：取x=±1、±2等特殊值，看4.判Δ符号：根据抛物线与x轴交点个数判定5.综合判断：结合对称轴范围、最值、函数增减性综合推导复杂代数式考点四：常用二级结论（提速秒杀）1.abc符号：根据a、b、c三者正负判断，负因数个数为偶数则abc>0，奇数则abc<0。2.最值结论：若对称轴x=1，则a+b+c为函数最值，大于或等于/小于或等于任意x对应的函数值。3.韦达定理：抛物线与x轴两交点横坐标x1、x2，满足4.奇偶取值规律：x=1与x=-1、x=2与x=-2的函数值可交叉验证系数关系。题型一：单一系数符号判断1.直接观察图象，开口判a、y轴交点判c、对称轴判b，秒出答案，无复杂计算。对称轴a、b符号混淆

纠错：牢记口诀“左同右异”，对称轴在y轴左，a、b同号；在y轴右，a、b异号，永不记错。【例1】．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（

）A．； B．； C．； D．．【变式1-1】（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图是二次函数的图象，则（

）A． B．C． D．【变式1-2】（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图为，则（

）A．，， B．，，C．，， D．，，题型二：特殊代数式a±b+c符号判断式子对应哪个x值，就看图象上该横坐标对应的点：点在x轴上方则式子为正，下方为负，在x轴上为0。混淆顶点纵坐标与a+b+c

纠错：仅当对称轴x=1时，顶点纵坐标等于a+b+c，其余情况不成立。【例2】（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．阴影部分的面积为4【变式2-1】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（2026·江苏连云港·一模）已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-4】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（）A． B．C． D．题型三：2a±b式子判定（高频难点）对比对称轴与x=1、x=-1若对称轴x<1，即-b2a<1，结合a的正负，不等号变向推导若对称轴x>-1，同理推导2a-b符号2a+b、2a-b变形不等号变向错误

纠错：不等式两边乘除负数必须变号，a为负时，推导对称轴不等式务必注意变号。【例3】已知二次函数开口向上，对称轴x=-b2a<1，判断【变式3-1】（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【变式3-4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【变式3-5】（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．题型四：含Δ正误辨析Δ=0的概念误解

纠错：Δ=0是一个交点，不是无交点，此时抛物线顶点落在x【例4】已知二次函数y=ax2+bx+c图象全部在x轴上方，试判断【变式4-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式4-2】（25-26九年级上·广西南宁·月考）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（

）

A． B． C． D．【变式4-3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C．当时， D．【变式4-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，若a，b，c满足，则（

）A． B．C． D．【变式4-5】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．此函数图象与直线有两个公共点【变式4-6】（2025九年级上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断与的符号．题型五：根据已知函数图象判断其他函数图象【例5】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像不可能是（

）A．B．C． D．【变式5-1】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（

）A．B．C． D．【变式5-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B． C． D．【变式5-3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（

）A．B．C． D．【变式5-4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（

）A．B．C． D．【变式5-5】（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．题型六：函数图象的共存问题【例6】（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（

）A． B．C． D．【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．【变式6-2】（25-26九年级上·黑龙江·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【变式6-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数()和二次函数()在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．题型七：多结论正误判断（压轴）逐个结论套用基础规则，先判断简单式子，再攻克复杂推导，遇到矛盾结论直接排除，切忌凭感觉判断。忽略a≠0隐含条件

纠错：只要是二次函数，a一定不为0，排除一次函数情况。特殊x值与代数式对应混乱

纠错：代数式常数项数字即为x取值，如a+2b+c无对应整数x，仅x=±1、±2【例7】二次函数y=ax2+bx+c图象特征：开口向下，对称轴x=1，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点。现有以下结论：

①abc<0②a+b+c>0③2a+b=0④【变式7-1】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（

）①

②

③

④A．①② B．②③ C．②④ D．①②④【变式7-2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（）①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【变式7-3】（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（

）①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-4】（25-26九年级上·四川成都·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【变式7-5】（2026·宁夏银川·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图像上，则；⑥若为任意实数，则有．其中错误的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-6】（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（

）A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤【变式7-7】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-8】（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________．【变式7-9】（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______．1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若且，则4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．（的实数）5．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论不成立的是（

）A． B． C． D．6．（25-26九年级上·江西新余·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（

）A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④7．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，点两点，其中，，与y轴交于点．下列结论：①；②；③当时，为直角三角形；④若方程的两个根是，，则．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号）9．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图是二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点，以下几种说法：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤若、是抛