26.3 二次函数与一元二次方程（讲义）（解析版）

第二十六章二次函数26.3二次函数与一元二次方程知识点一二次函数图像与x轴的交点和一元二次方程根的关系求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：判别式二次函数一元二次方程与x轴交点个数图像与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点一元二次方程有两个不相等的实数根2个交点△＝0抛物线与x轴交于这一点一元二次方程有两个相等的实数根1个交点△＜0抛物线与x轴无交点一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）0个交点即学即练1．（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】抛物线顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的根的判别式等于，据此列方程求解的值．【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上，∴抛物线与轴只有一个公共点，∴根的判别式满足，解得．2．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵二次函数，∴二次项系数，又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根，∴，化简得，解得，综上的取值范围是且．3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线与轴交于、两点，则______．【答案】【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系求出和，再利用完全平方公式求出，最后计算的值，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵抛物线与轴交于和两点，∴和是方程的两个根，由根与系数的关系，得，，∴，∴，故答案为：．4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________．【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可．【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线，函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为，∴一个交点的横坐标为，∴关于的一元二次方程的解是．故答案为：．知识点二利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根1）利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下：（1）作图：通过列表、描点、连线，作二次函数的图像；（2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点；（3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围；（4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值.2）由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值.3）在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间.当x由x1取到x2对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看作方程的近似根.即学即练1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（

）x1.61.82.02.22.4y0.220.72A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案．【详解】解：∵当时，；当时，，∴在之间，二次函数的函数值由负变正，∴方程的一个解x的范围是，故选：C．2．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（

）…1.21.31.41.5……0.160.75…A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48【答案】C【分析】本题考查根据二次函数的函数值估算一元二次方程的解；由表格数据可知，当时，；当时，，因此方程根m在1.3和1.4之间，然后对照选项判断即可.【详解】解：∵时，；时，，∴方程根m在1.3和1.4之间，即∴只有C项符合题意.故选：C.3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数中部分和的值如表所示：0.890.560.25则方程的一个较大的根的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质及用图象法确定一元二次方程的近似根，利用二次函数的对称性是解题关键，先求对称轴，再根据表格确定较小根的范围，最后通过对称求出较大根的范围．【详解】解：∵二次函数的对称轴为，由表可知，当时，；当时，，∴方程的较小根满足，∵二次函数的图象关于对称轴对称，设较大根为，则，∴，当时，；当时，，∴．故选C．知识点三二次函数与不等式的关系不等式图像解集抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n即学即练1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围．【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为，∴另一个交点的横坐标为，即，结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即，∴不等式的解集为或．故选：D．2．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系，利用图象以及二次函数的性质解决问题．根据二次函数的对称性求得与轴的另一个交点坐标，根据图象与轴的交点坐标即可得到不等式的解集．【详解】解：由图象得：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点坐标为，，即，由图象可得或．故选D．3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是________．【答案】或【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解．【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或，即不等式的解是或．4．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：则当时，的取值范围是________．【答案】【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴，再根据开口方向判断函数值小于时自变量的取值范围．【详解】解：由表可知，当和时，，二次函数的对称轴为直线，当时，，由对称性可知，当时，，由表可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，二次函数开口向上，当时，的取值范围为．故答案为：．题型01求抛物线与x轴的交点坐标典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）抛物线的对称轴为（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】B【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答．【详解】解：∵，∴令时，则，解得，即抛物线与x轴的交点坐标分别是，则对称轴为直线，故选：B．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（

）A． B．1 C．2 D．0【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可．【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线，∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为，设另一个交点的横坐标为，则，即，∴，故另一个交点的横坐标为；故选D．2．（25-26九年级上·天津和平·期中）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一元二次函数的实际应用、一元二次方程的解法．铅球落地时高度，解二次方程求x的正根即可．【详解】解：当时，令，得方程，，解得（水平距离为正，舍去负根），综上，推出铅球的水平距离为，故选：B．3．（25-26九年级上·吉林松原·月考）若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______．【答案】或【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出函数解析式．先根据抛物线与y轴的交点坐标求出，得到函数解析式，再令，求出函数图像与x轴的交点坐标．【详解】解：∵二次函数的图像与y轴的交点坐标为，∴，∴解析式为，当时，，解得或，∴该函数图像与x轴的交点坐标为或，故答案为：或．4．（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可．【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接，∵点和点关于抛物线的对称轴对称，∴，要使的值最小，则应使的值最小，∴与对称轴的交点P，使得的值最小，令，则，解得，，∴，，抛物线的对称轴为，∴点P的横坐标为1，当时，，∴，设直线解析式为，把，代入得，，解得，∴直线解析式为，当时，，∴点P坐标为．故答案为：．题型02求抛物线与y轴的交点坐标典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川南充·月考）抛物线与轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案．【详解】解：在中，当时，，∴抛物线与轴的交点坐标为，故选：A．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）二次函数中x与的部分对应值如表，下列说法错误的（

）x…01………A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线C．c的值为 D．当时，随x的增大而增大【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可．【详解】∵点和的纵坐标相同，∴对称轴为直线，故B正确；∵当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，∴抛物线开口向下，故A正确；当时，，即，故C正确；由表格可知，当时，随增大而减小，故D错误，故选：D．2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数（m为常数）的图象与y轴的交点为，则m的值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点问题，属于基本题型，正确代入、准确计算是关键．根据二次函数图象与y轴的交点特征，令代入函数解析式即可求出m的值．【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与y轴交于点，∴当时，，代入解析式：，即．故选：C．3．（25-26九年级上·吉林·期末）二次函数的图象如图所示，则的面积为________．【答案】1【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．分别令，，求出点A，B的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积即可求解．【详解】解：对于二次函数，令，则，解得，∴，∴．令，则，∴，∴，∴．故答案为：1．题型03抛物线与坐标轴交点个数典｜例｜精｜析1．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（

）A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点【答案】C【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论．【详解】解：当时，，解得，故图象与轴的交点为；当时，，故图象与轴的交点为，∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点，故选：C．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线与坐标轴的交点个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求抛物线与坐标轴的交点，需分别求与x轴和y轴的交点，然后问题可求解．【详解】解：当时，，∴抛物线与y轴交点为，当时，，∴，∴方程有两个相等实数根，即与x轴有一个交点；综上，抛物线与坐标轴共有两个交点；故选：C．2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴有3个交点，如；抛物线与坐标轴有2个交点，如__________；抛物线与坐标轴有1个交点，如．【答案】，等【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点个数问题，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴交点个数与系数的关系．抛物线与坐标轴有2个交点，则抛物线与x轴有1个交点或与x轴有2个交点但其中一个交点为原点．【详解】解：解：抛物线与坐标轴有2个交点，则抛物线与x轴有1个交点或与x轴有2个交点但其中一个交点为原点，当抛物线与x轴有1个交点时，函数关系式为，当抛物线与x轴有2个交点但其中一个交点为原点时，函数关系式为．故答案为或.3．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线与坐标轴交点个数为（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点【答案】C【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先求出时，的值，再求出当时，判别式的值，由此即可得出交点个数．【详解】解：∵，当时，，即与轴的交点为，有1个，当时，，此时即抛物线与轴无交点，综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为1个，故选：C．题型04由二次函数图像与坐标轴的交点情况求参数典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为______．【答案】【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题关键是一元二次方程根的判别式的应用，需注意抛物线的二次项系数不能为(否则为一次函数，不满足抛物线的定义)．首先明确抛物线与轴只有一个交点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式；然后代入判别式公式建立关于的方程，求解后验证不为0即可得到结果．【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，∴对应的一元二次方程有两个相等的实数根，且，对于一元二次方程，判别式，解得，且符合抛物线的条件；故答案为：．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______．【答案】【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将问题转化为关于的方程有实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得．【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，即二次方程有实数根．其中,,．∴．解得．故答案为．2．（25-26九年级上·江苏连云港·周测）函数的图象与轴有且只有一个交点，那么的值为______．【答案】0或或【分析】本题考查了函数图象与x轴的交点问题．由于a的取值不确定，需分和两种情况讨论：当时，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当时，函数为二次函数，利用判别式为零求解．【详解】解：，当时，函数为，是一次函数，与x轴有一个交点，符合条件．当时，函数为二次函数，对于，．令，得，解得．故a的值为0或或．故答案为：0或或．3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）若二次函数的图像与x轴没有交点，则a的值可以是________．（填一个即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意由二次函数的图像与x轴没有交点，可得，进而求出a的取值范围即可解答．【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有交点，∴，即，解得：．∴的值可以是2．故答案为：2．4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若二次函数经过点，，则的值是________．【答案】/【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据二次函数与x轴的交点对应一元二次方程根的关系，利用根与系数的关系求解即可．【详解】解：二次函数经过点和，则方程的两个根为和；由根与系数的关系，得，，所以；故答案为．题型05根据二次函数图像确定相应方程根的情况典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先求出点也在这个抛物线上，再根据二次函数图象的平移可得抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的两个解为，，由此即可得．【详解】解：∵点在抛物线上，且其对称轴为直线，∴点也在这个抛物线上，将二次函数的图象先向右移动1个单位，再向下平移2个单位长度所得到的二次函数的解析式为，即为，∴抛物线经过点，，即，，∴关于的一元二次方程的两个解为，，即关于的一元二次方程的解是，，故选：C．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图是二次函数的图象，与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点坐标为，则关于x的方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数与一元二次方程,掌握知识点是解题的关键。根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可．【详解】解：∵二次函数的部分图象与x轴的交点坐标为和点，∴关于x的方程的解为；故选B．2．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图是二次函数的图象，则关于的方程根的情况是______．【答案】没有实数根【详解】解：由图像可知，二次函数的最大值是，二次函数的图像与的图像没有交点，方程没有实数根．故答案为：没有实数根．3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是_________．【答案】【分析】本题考查方程与二次函数图象的关系：根据图象得到二次函数的最小值，根据方程与函数图象的关系即可求解．【详解】解：由图可知二次函数的最小值为，方程有实数根，可看作二次函数与常数函数的图象存在交点，故方程有实数根的条件是，故答案为：．4．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·月考）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________…0123……3003．…(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4)进一步探究函数图象发现：①关于的方程实数根为___________；②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________．【答案】(1)0(2)见解析(3)见解析(4)①；②【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．（1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论；（2）根据表格数据，描点补充完图形；（3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解；（4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围．【详解】（1）解：把代入函数，得，∴；（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大；（4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点，∴对应的方程有3个实数根，运用数形结合思想，得关于x的方程实数根为．②由函数图象知：关于的方程有4个实数根，即函数与直线有四个交点，运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是．题型06图像法求一元二次方程近似解典｜例｜精｜析1．（2025九年级上·河北保定·专题练习）根据下列表格的对应值：判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键．根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围．【详解】解：令，∵当时，；当时，，且，∴在和之间，存在使得，即方程的一个解满足．故选：．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，理解抛物线的轴对称性质是解题的关键．令方程的正数解为，根据在x轴的位置确定的位置即可．【详解】解：令方程的正数解为，如图可知，，点关于直线的对称点坐标为，抛物线关于直线对称，．故选：B．2．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示：则方程的一个较大的根的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键．先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围．【详解】解：二次函数的对称轴为，由表可知，当时，；当时，，方程的一个较小根满足。根关于对称轴对称，设较大根为，则，。当时，；当时，；，故选：C．3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力．【问题再现】你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值【解决问题】解：当时，当时，．x的近似值可能为1或2当时，∴（精确到1）．(1)补充以上解题过程；(2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为，所以．【答案】(1)，3，1，，1(2)，，【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根．（1）观察画出的抛物线，取1和2的中间数代入表达式中试值；（2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近似值．【详解】（1）解：当时，，当时，．．x的近似值可能为1或2当时，．（精确到1）．故答案为：，3，1，，1．（2）解：由（1）可知．当时，，当时，．．取中间值，当时，，当时，，．．精确到0.1，．题型07求x轴与抛物线的截线长典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，∴令，则，解得：，，∴线段的长度为，故选：C．变｜式｜巩｜固1．（浙江省台州市椒江区界牌中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学卷）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________．【答案】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键．设点A、B的横坐标分别为m、n，，即可求解．【详解】解：令，设点A、B的横坐标分别为m、n，∴，，则，解得：，∴点C的坐标为，故答案为：．2．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数的图像与一次函数的图像交于点，若函数的图像与轴仅有一个交点，则的值是（

）A．6 B．8 C． D．7【答案】A【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，．首先根据一次函数的图像交于点，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可．【详解】解：一次函数的图象经过点，，解得：，当时，，，当时，，∵函数的图像与轴仅有一个交点，的图象与轴的交点为，∴又∵，∴，∴，解得：∴，故选：A．3．（2025九年级·全国·专题练习）抛物线过点，对称轴是直线，且在x轴上截取的线段长度为，则抛物线的表达式为________________．【答案】【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．由对称轴为，设抛物线顶点式为。代入点得方程．由在轴上截取线段长度为，可得关系式，联立方程求解和，得抛物线表达式．【详解】解：设抛物线方程为，代入点：，即，在轴上截取线段长度为，即方程的两根之差为，设两根为，则，化简方程得，，解得，∴，因此，即，故，将（2）代入（1）：，解得：，则，抛物线表达式为，验证：过点，且方程的判别式，根为，距离为，符合条件，故答案为：．题型08图像法解一元一次不等式典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果．【详解】解：由图象可知，不等式的解集是；故选C．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图象即可得到答案．【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，∴直线与抛物线交于点，两点，图象如图所示，当时，，∴的解集是，故选：D．2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________．【答案】或【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点的左侧和点的右侧不等式成立，再根据点、的横坐标写出不等式的解集．【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立，点的坐标是，点的坐标是，不等式的解集是或．故答案为：或．3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________．【答案】，或【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可．【详解】解：由图象可知：方程的解是，；不等式的解集是或；不等式的解集是．故答案为：，；或；．题型09二次函数与直线的交点问题典｜例｜精｜析1．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个【答案】C【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．【详解】解：∵直线过一、二、三象限，∴．由题意得：，即，∵△，∴此方程有两个不相等的实数解．∴直线与抛物线的交点个数为2个．故选：C．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．变｜式｜巩｜固1．（2025·辽宁·一模）一次函数与抛物线的交点个数为______个．【答案】2（或“两”）【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键．【详解】解：联立方程组，化简得，∴，∴方程有2个不等的实数根，∴一次函数与抛物线的交点个数为2个，故答案为：2．2．（2024·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数）（1）直线经过的定点坐标为______；（2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______．【答案】或【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．（1）求得直线过定点；（2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值．【详解】解：（1）∵直线，当时，，∴直线经过的定点坐标为；故答案为：；（2）∵抛物线与轴的交点为，，当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点，∴满足题意；当时，∵无论为何值，直线和抛物线总有公共点，∴时，，即，解得，∴满足题意；综上，当或时，抛物线与直线总有公共点．故答案为：或．3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（为常数且）的图像与轴交于点，(1)求该二次函数的表达式；(2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由．【答案】(1)(2)直线与抛物线有个交点，理由见解析【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式及根据一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．（1）把点代入，解方程求出值即可得答案；（2）联立直线与抛物线解析式，得出关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式得出，得出方程有两个不相等的实数根，即可得直线与抛物线有个交点．【详解】（1）解：∵二次函数（为常数且）的图像与轴交于点，∴，解得：，∴二次函数的表达式为：．（2）解：直线与抛物线有个交点，理由如下：联立直线与抛物线解析式得：，∴，整理得：，∵，∴方程有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有个交点．题型10抛物线与x轴交点上的四点问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·福建南平·月考）将抛物线位于x轴上方的图象沿着x轴翻折，原抛物线在x轴下方的部分与翻折后所得图象共同组成的新图象与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，不等式的基本性质，解题的关键是掌握以上性质．根据二次函数的性质求出对称轴和顶点纵坐标，确定m的范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．【详解】解：由得，对称轴为直线，则顶点纵坐标为，∴m的范围为，当时，，解得，∴抛物线与轴的交点坐标为和，将抛物线沿x轴翻折后，解析式变为，直线与抛物线的交点横坐标满足方程，即，∴；直线与抛物线的交点横坐标满足方程，即，∴；则，∵，∴，∴t的范围为．故选：A．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·福建福州·期中）二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确分情况讨论．首先求出对称轴为直线，然后根据题意分和两种情况讨论，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】∵二次函数的图象经过，，∴对称轴为直线①当时，抛物线开口向上∴当时，y随x的增大而增大∵，∴∴，∵∴∴离对称轴的距离比近∴∴，故A正确，B错误；②当时，抛物线开口向下∴当时，y随x的增大而减小∵，∴∴，∵∴∴离对称轴的距离比近∴∴，故C，D均错误．故选：A．2．（2022九年级·全国·专题练习）如图，将抛物线yx2+x+3位于x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的直线AD∥x轴，且与翻折后的图象交于A、B、C、D四点，若AB＝BC＝CD，则BC的长度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设B（x1，k）、C（x2，k），A（x3，k）、D（x4，k），由题意得kx2+x+3或﹣kx2+x+3，然后利用根与系数的关系用含k的代数式表示x1x2和x3x4，另外，根据AB＝BC＝CD构造关于k的方程，从而求出k的值，利用BC＝|x1﹣x2|即可求解结果．【详解】解：设B（x1，k）、C（x2，k），A（x3，k）、D（x4，k），由题意得kx2+x+3或﹣kx2+x+3，整理得：x2﹣2x﹣6+2k＝0或x2﹣2x﹣6﹣2k＝0∴x1、x2是方程x2﹣2x﹣6+2k＝0的两个根，x3、x4是方程x2﹣2x﹣6﹣2k＝0的两个根，∴x1+x2＝2，x1x2＝2k﹣6，x3+x4＝2，x3x4＝﹣2k﹣6，∵AB＝BC＝CD，∴AD＝3BC，∴3×|x1﹣x2|＝|x3﹣x4|，∴9（x1﹣x2）2＝（x3﹣x4）2，∴9[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（x3+x4）2﹣4x3x4，即9[4﹣4（2k﹣6）]＝4﹣4（﹣2k﹣6），解得k＝2.8，∴BC＝|x1﹣x2|，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的图像及性质，二次函数与与平行x轴的直线交点，一元二次方程根与系数的关系以及对称变换，构造恰当方程是解题的关键．3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，该二次函数的图象经过点，，，四点，则的取值范围是______．【答案】或【分析】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征．由点和的纵坐标相同，可知抛物线的对称轴为；再由，以及抛物线开口向上，可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可得的取值范围．【详解】解：因为点和点的纵坐标相同，所以抛物线的对称轴为直线．因为，所以抛物线开口向上，所以点离对称轴越远函数值越大，因为，所以，所以点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即．所以或．故答案为：或4．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____．【答案】【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，抛物线的性质，如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上，再进一步结合矩形的性质与抛物线的对称性解答即可.【详解】解：如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，，结合抛物线的对称性可得：，，∴，∴，∴，故答案为：题型11由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围典｜例｜精｜析1．（2022·广西南宁·一模）当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将和代入求出直线经过，再分别将点坐标代入抛物线解析式求出t的值，求出抛物线与直线只有1个交点时t的值，进而求解．【详解】解：将代入得，将代入得，∴直线经过，将代入得，解得，将代入得，解得，令，整理得，当时，，此时抛物线与直线只有1个交点，，解得，综上所述，当时满足题意．变｜式｜巩｜固1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与直线有两个交点，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将抛物线解析式化为顶点式得出抛物线的顶点坐标为，从而可得，再联立抛物线与直线方程得出，设，，则，是方程的两个根，再结合一元二次方程根与系数的关系，结合列不等式求解，即可得到的取值范围．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，∵抛物线与直线有两个交点，，∴，联立抛物线与直线方程得，整理可得：，设，，则，是方程的两个根，∴，，∵，且，，∴，∴，∴的取值范围为．2．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：（1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是．等价转化：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是．探究问题2：（3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）；；；（3）【分析】本题考查二次函数与直线的交点问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与直线的交点问题是解题的关键．（1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则，即可求出m的取值范围；（2）联立两个函数解析式可得，即，根据两个函数图象有两个交点得到，即可求出m的取值范围．由，可得，从而问题可等价转化为：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个