26.2.2 二次函数y＝a(x-h)^2＋k的图象与性质（讲义）（原卷版）

第二十六章二次函数26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质知识点一二次函数的图像及性质函数a的符号a＞0a＜0k的符号k＞0k＜0k＞0k＜0图像开口方向向上向下对称轴y轴顶点坐标（0，k）函数的增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.最值当x＝0时，y有最小值k当x＝0时，y有最大值k. 对于二次函数来说，当k＞0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向上平移|k|个单位长度得到的；当k＜0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向下平移|k|个单位长度得到的.即学即练1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．开口向下 B．与y轴交于点C．对称轴是直线 D．顶点坐标为2．（25-26九年级上·福建厦门·期末）已知点在抛物线上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．无法判断3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（

）A． B． C． D．4．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（）A．B．C．D．5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可）知识点二二次函数的图像及性质函数a的符号a＞0a＜0h的符号h＞0h＜0h＞0h＜0图像开口方向向上向下对称轴x=h顶点坐标（h，0）函数的增减性当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.最值当x＝h时，y有最小值0当x＝h时，y有最大值0对于二次函数来说，可看成是将的函数图像沿着x轴向左或向右平移|h|个单位长度得到的.即学即练1．（25-26九年级上·福建泉州·月考）已知抛物线，下列说法不正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小2．（2025九年级上·上海·专题练习）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．4．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上）①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点．5．（25-26九年级上·河南安阳·月考）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为______．知识点三二次函数的图像及性质函数a的符号a＞0a＜0图像开口方向向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标（h，k）（h，k）函数的增减性当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.最值当x＝h时，y有最小值k当x＝h时，y有最大值k对于二次函数来说，是由的函数图像通过向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位而得到即学即练1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线，则下列说法正确的是（

）A．开口向下B．顶点为C．对称轴为直线D．此抛物线的图像由向下平移3个单位得到2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（

）A．当时，有最大值4 B．当时，有最小值4C．当时，有最大值4 D．当时，有最小值43．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知是抛物线（为常数）上的点，的大小关系是（）A． B．C． D．4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________．5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为____________．题型01根据二次函数的解析式判断其性质典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）关于二次函数的图象和性质，下列说法中不正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是C．当时，随的增大而减小 D．顶点是变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（

）A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小2．（24-25九年级上·全国·暑假作业）对于二次函数，下列结论正确的是（）A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大3．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小D．抛物线的顶点坐标为题型02已知抛物线上一点坐标，求参数的值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线的对称轴为直线，则k的值为______．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为___．2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___．3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是_______．4．（23-24九年级上·福建莆田·月考）二次函数的最小值为2，则的值为_________．5．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______．题型03比较抛物线上两点的函数值大小典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东云浮·期中）若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级下·吉林长春·月考）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（

）．A． B． C． D．3．（25-26九年级下·安徽·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______．4．（25-26九年级上·天津武清·月考）点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（）A． B． C． D．题型04图象平移问题典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）要得到抛物线，可以将抛物线（

）A．向右平移个单位，再向下平移个单位B．向左平移个单位，再向下平移个单位C．向左平移个单位，再向上平移个单位D．向右平移个单位，再向上平移个单位变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）将二次函数的图象向左平移个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（

）A．持续向上 B．持续向右C．先向上再向下 D．先向下再向上2．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是______．3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则______．题型05二次函数增减性与含参问题典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段检测）对于函数，下列说法正确的是（

）A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________．3．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________．题型06画二次函数图象典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线．(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：(2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到；(3)当时，的取值范围是______．变｜式｜巩｜固1．如图，二次函数（a为常数，），当时，．(1)求a的值；(2)求此抛物线与x轴、y轴的交点坐标；(3)画出此二次函数的图像．2．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）小明同学学习二次函数后，对函数研究，在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题：(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了函数图象的一部分，补全剩余函数图象；(2)写出该函数的一条性质：______．(3)观察研究①方程的解为______．②关于的方程有四个实数根时的取值范围是______．题型07与二次函数有关的开放性问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）写出一个开口向下、顶点是的抛物线解析式为___________（写出一个即可）．变｜式｜巩｜固1．（2026·福建三明·二模）在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值）2．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式_____．3．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质．1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小；3：该函数的形状与函数的图象相同甲同学写出几个二次函数表达式：①②③④请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质___________．题型08二次函数与最值问题典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·浙江温州·月考）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（

）A．当时，甲有最大值 B．当时，甲有最小值C．当时，乙有最大值 D．当时，乙有最小值变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北荆州·月考）已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________．2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段检测）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是_______．3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______．4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______．题型09利用待定系数法求二次函数解析式（顶点式）典｜例｜精｜析1．（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表：x…1234…y…74…则关于新二次函数的说法不正确的是（）A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时，变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·广东汕头·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球运动的时间为；③小球抛出3秒时，其高度达到最高；④当时，小球的高度．其中正确的是（

）A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④题型10二次函数与一次函数交点问题典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则______．2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，点，，当L与线段有交点时，h的取值范围是______．3．（2025·江西·二模）已知二次函数．(1)当时，此函数图象的顶点坐标为________．(2)若此函数图象经过点，求m的值．(3)求证：此函数图象与直线必有两个不同的交点．(4)设（3）中的交点为A，B，请判断：的长是否是一个定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由．题型11二次函数与几何图形综合典｜例｜精｜析1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数，其图像如