专题03 配方法的应用（专项训练）（解析版）

专题03配方法的应用常考题型·精准突破题型1利用配方法求代数式的最值问题（高频）题型2利用配方法比较代数式的大小问题（重）题型3利用配方法求几何动点的的最值问题（重）题型4利用配方法求新定义型的综合问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1利用配方法求代数式的最值问题1．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面的例题：求代数式的最小值．解：．，，的最小值是1．请利用以上方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值．(2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值．【答案】(1)2(2)有最大值，最大值为12【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．（1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答；（2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值．【详解】（1）解：．，，的最小值是2．（2）．，，有最大值，最大值为．2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：解：．，，的最小值是9．请根据以上材料，完成下列问题：(1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；(2)比较代数式与的大小，并说明理由．【答案】(1)1；大；8(2)，理由见解析【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性．（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值；（2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系．【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8；故答案为：1，大，8．（2）解：，理由如下：，．3．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用例1

因式分解：．解：原式第一步第二步第三步第四步二、配方法在求最值问题中的应用例2

求的最小值．解：原式．，∴当，即时，的值最小，最小值为．任务：(1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示）(2)用配方法将因式分解．(3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少．(4)当___________时，代数式有最___________值，是___________．【答案】(1)；(2)(3)当时，有最小值，最小值为(4)1；大；【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键．（1）根据题意即可求解；（2）模仿例1使用配方法进行因式分解；（3）模仿例2使用配方法求代数式的最值；（4）模仿例2使用配方法求代数式的最值．【详解】（1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式；第三步将写成，依据平方差公式，故答案为：，；（2）解：；（3）解：，∴当时，有最小值，最小值为；（4）解：，∵，∴，∴当时，有最大值，最大值为，故答案为：1，大，．◆题型2利用配方法比较代数式的大小问题4．（2025九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数，①，；②，．请模仿上述方法解答：(1)求证：对于任何实数，都有；(2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系．（1）根据非负数的性质解答；（2）利用作差法比较大小即可．【详解】（1）证明：，；（2）解：，，，．．5．（2025九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：，，∴，即的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题：(1)已知，求的最小值．(2)比较代数式与的大小，并说明理由．【答案】(1)3(2)，理由见解析【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法．（1）根据题目给的方法将原式配方成，即可判断；（2）利用作差法结合配方法解答即可．【详解】（1）解：，∵，∴的最小值是3，即y的最小值是3；（2）解：∵，，∴∴．6．（2025九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：．根据上述过程，解答下列问题：(1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．(2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)(2)．理由见解析【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答．（2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答．【详解】（1）解：，，∴，则；（2）解：，理由如下：由题意，得，则，，∵，，即，则．◆题型3利用配方法求几何动点的的最值问题7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若．_______，_______．（2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______．（3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为【分析】本题考查配方法的应用：（1）利用配方法求解；（2）利用配方法得出，即可求解；（3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解．【详解】解：（1），，；故答案为：；（2），当时，代数式有最小值，最小值是；故答案为：；（3）解：由题意得：，则，∴,∵,∴,∴,∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为．8．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs．(1)用含x的式子表示：______cm，______，______；(2)当的面积为时，求运动时间；(3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．(4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2．②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？【答案】(1)；；(2)或(3)四边形的面积不能等于，理由见解析(4)运动时间时，四边形APQC的面积最小【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可；（2）根据，求出，即可；（3）根据，求出；再根据，即可；（4）将四边形面积变形得，根据即可求解．【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动，∴，∵，∴，∵动点从点开始沿边向点以的速度移动，∴，∵，∴．∵，∴；（2）解：由（1）得，∴当的面积为时，∴，∴，，∴当的面积为时，求运动时间为：或．（3）解：由（1）得，，当四边形的面积等于，，∴，（舍），∵，∴，∴四边形的面积不能等于；（4）解：②，∵，∴，∴运动时间时，四边形APQC的面积最小．9．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）综合与实践[规律探究]（1）教材第54页《数学活动》活动一中部分问题如下：观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？证明如下：由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②．设这两个两位数的积为y，则有③，将此函数化为顶点式为④，根据函数图象和性质，当⑤，y有最大值．因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明，可以得出这个猜想是真命题．[实践运用]（2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值．【答案】（1）①190；②；③；④；⑤95；（2）四边形ABCD的面积最大值为50【分析】本题核心考查二次函数的图象与性质，配方法，数字类规律探索，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键．（1）根据题意，逐步分析计算，即可解答；（2）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答．【详解】解：（1）①．②设其中一个两位数为x，则另一个两位数为．③设这两个两位数的积为y，则．④将化为顶点式，．⑤∵二次函数的二次项系数为负数，∴当时，y有最大值．故答案为：①190；②；③；④；⑤95（2）∵四边形的对角线互相垂直，∴四边形的面积．∵，根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”，∴当时，取得最大值，∴四边形面积的最大值．答：四边形面积的最大值为50．◆题型4利用配方法求新定义型的综合问题10．（2025九年级上·全国·专题练习）小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当的值为任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当，即或0时，的值均为5；当，即或-1时，的值均为8．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于镜像，例如关于1镜像．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：(1)多项式关于________镜像；(2)若式子关于镜像，求出方程的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可；（2）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可得到的值，将求出的代入方程，利用配方法求出方程的解即可．【详解】（1）解：∵，∴当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，∴多项式关于镜像，故答案为：．（2）原式，当或1时，原式，，关于的方程可化为，即，，．故方程的解为．11．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方．解：．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”．(1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是．(2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为；(3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值．(4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”．【答案】(1)8，10(2)6(3)(4)解：设，（a、b、c、d为整数），∴，．又∵a、b、c、d为整数，∴，均为整数，∴是“雅美数”．【分析】本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键．（1）根据“雅美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值；（3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可；（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可．【详解】（1）解：8是“雅美数”，理由：因为；10是“雅美数”，理由：因为．故答案为：8，10．（2）解：∵，，∴，，∴．故答案为：6．（3）解：，又∵，，∴∴，∴．（4）略12．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题．【材料一】我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”．【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．解：；当时，的最小值为2．请通过阅读以上材料，解决以下问题∶【解决问题】(1)下列各数中，“完美数”有(只填序号)；①；

②；

③．【探究问题】(2)若可配方成，为正整数），则的值为；(3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；【拓展应用】(4)已知实数，均满足，求代数式的最小值．【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）依据“完美数”的定义求解即可；（2）将配方成的形式，即可得解；（3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可；（4），据此求解即可．【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数，；所以,不能表示成(a，b是整数)的形式，不是完美数故答案为：②；（2）由，可配方成，，，，故答案为：9；（3），理由如下：，要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，此时，符合“完美数”定义，；（4），，，，当时，的最小值为2025．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（

）A． B．1 C．3 D．2【答案】C【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可．【详解】解：∵，又∵，，∴当,时，多项式取最小值3，故选C．2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（）A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定【答案】A【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键．利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可．【详解】解：∵∵对于所有实数，都有，∴因此，多项式的值总是正数．故选：A．3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”，则将方程变形为，由“同形二次方程”定义可知，“同形二次方程”定义中，，则两边同时除以得，，由②得，将代入①得，∴代数式．二、填空题4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N．（填“＞”，“”或“”）【答案】【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N．【详解】解：，∵,∴∴．故答案为：．5．（25-26九年级上·全国·课后作业）当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是__．【答案】5【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答．【详解】解：，∵，∴，则，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，故答案为：，5．6．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____．【答案】2027【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答．【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，∴，，，解得，，则，当时，则，∴，即代数式的最小值是，故答案为：．三、解答题7．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式，(1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数；(2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？【答案】(1)见解析(2)当时，代数式的值最小，最小值为1【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键．（1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数；（2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值．【详解】（1）解：，∵，∴，∴不论取何值，这个代数式的值总是正数；（2）解：令，∴，∵，∴函数开口向上，有最小值，∴当时，最小值为1．8．（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．【解决问题】（1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________；（2）若可配方成（、为常数），则________；【探究问题】（3）已知，则________；（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；【答案】（1）（2）（3）（4），理由见详解【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键．（1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可；（2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可；（3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可；（4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可．【详解】解：（1），符合“完美数”的定义．故答案为（答案不唯一）；（2）对配方，得到

，，．故答案为；（3）对式子进行配方

，，且，，．故答案为；（4）先对配方，得到

，要让为完美数，可令，即，又、是整数，和也是整数，符合“完美数”的定义，符合条件的一个值为．（答案不唯一）9．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题：(1)______（用“”“”“”填空）(2)当，式子的最小值为______．(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．【答案】(1)(2)6(3)【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．（1）根据题意可知，（2）令，，则由，即可得出答案．（3）设，根据题意可得出，即可得出当且仅当，即时，，四边形面积．【详解】（1）解：∵，，∴，故答案为：（2）解：令，，则由，得当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6，故答案为：6；（3）解：设，已知，，则由等高三角形可知：，，，四边形的面积当且仅当，即时，取等号，四边形面积的最小值为．10．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式的最小值．解：，，，当时，的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式的最小值；(2)【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________；(3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)，大，1(3)当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为【分析】本题考查了配方法求代数式最大值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．正确的配方是解题的关键．（1）将原式配方，根据，再根据不等式的性质求解即可；（2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可；（3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，再根据栅栏总长度表示出的长度，由面积公式建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值，注意的取值范围．【详解】（1）解：，，时，取最小值，且最小值为3；（2）解：，，时，取最大值，且最大值为1，故答案为：，大，1；（3）解：设，∵长方形与长方形面积比为，∴，∴，∴，∴长方形的面积，∵，∴，∵，∴，∴当时，长方形的面积最大，最大值为48，即当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为．11．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践【项目主题】配方法的应用．【项目准备】(1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求