考点03 根的判别式和根与系数的关系的应用（3考点5题型＋能力强化）（解析版）

考点03根的判别式和根与系数的关系的应用考点一：根的判别式（Δ=b²−4ac）对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）：Δ>0：两个不相等的实数根；Δ=0：两个相等的实数根；Δ<0：无实数根。作用：定根的个数、求待定系数、判断方程与函数/几何的关系。例1：判断方程2x2解：a=2，b=−3，c=1Δ=b²−4ac=(−3)²−4×2×1=9−8=1>0∴方程有两个不相等的实数根。例2：关于x的一元二次方程kx2+4x-2=0解：需满足：{Δ=16+8k>0⇒k>−2∴k的取值范围：k>-2且考点二：根与系数的关系（韦达定理）若方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则：两根之和：x两根之积：x前提：a≠0且Δ≥0（必须有实根）。例3：已知方程x2-5x+6=0的两根为x₁、x₂，求x₁+x₂和x₁x解：a=1，b=−5，c=6x1+x例4：方程x2-8x+m=0的两根x₁、x₂满足x₁=3x₂，求解：x1+x2=8，又x₁=3x₂⇒m=x考点三：常见代数式变形（韦达定理常用）x(1x1+1例5：已知x₁、x₂是方程x2-2x-1=0的两根，求x解：x1+x1题型一：利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况步骤1：先判定是不是一元二次方程必须先看二次项系数：若二次项系数含字母，先讨论系数是否为0系数=0：不是一元二次方程，退化为一元一次方程，直接求根判断系数≠0：才可用根的判别式步骤2：确定a、b把方程化成一般形式ax2+bx+c=0，准确写出含字母的步骤3：计算Δ=b展开、化简判别式，整理成完全平方+常数或整式形式。步骤4：配方/变形判断Δ正负利用平方非负：任何数平方≥0，判断Δ大于0、等于0还是小于0步骤5：下结论对应写出根的三种情况。1.忘记二次项系数不为0：含字母系数直接套判别式，忽略a≠0前提，字母使二次项系数为0时不是二次方程，不能用Δ。2.a、b、c找错符号：方程没化成一般式，b、3.Δ化简不彻底，不会配方：算出Δ后不整理、不配方，看不出正负，无法判断根的情况。4.Δ≥0认为就一定有两个根：只有a≠0时，Δ≥0才有两个实数根；若a=05.字母取值范围遗漏限制：题目有隐含条件（整数、正数、取值范围），判断后不结合范围取舍。6.混淆“实数根”和“两个相等实数根”：Δ=0是两个相等实数根，不能说成“一个实数根”【例1】求证关于x的方程(m2解：1.二次项系数：m2+1≥1>0，恒不为2.a=3.Δ4.∵m25.结论：方程总有两个不相等实数根。【变式1-1】（25-26九年级下·河南新乡·期中）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【详解】解：根据新运算定义可得，整理方程得，，，，∴方程有两个不相等的实数根．【变式1-2】（2026·河南漯河·一模）已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断【答案】B【详解】解：对于一元二次方程，，根据图象可得，，，，，即，一元二次方程有两个不相等的实数根．【变式1-3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有一实数根为3，求m的值；(2)求证：无论m取何值，方程总有实数根．【详解】（1）解：方程有一实数根为3，∴，解得；（2）证明：∵关于x的一元二次方程，无论取何值，方程总有实数根．【变式1-4】（25-26九年级下·四川南充·期中）为实数，关于的方程为．(1)求证：原方程一定有实数根．(2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值．【详解】（1）证明：当时，．此时原方程为．有实数根．当时，，∴原方程有两个实数根，综上，原方程一定有实数根．（2）解：由（1），原方程的根．则，．由，知是6的因数．，．当，即时，（舍）．当，即时，（舍）．当，即时，．当，即时，．综上，a的值为2或5．【变式1-5】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）已知关于x的一元二次方程．(1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根；(2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，这里，，，，无论k取何值，这个方程总有实数根．（2）解：当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8，将代入方程，得，解得，将代入方程，得，解得，，所以这个等腰三角形的周长为：，当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根，所以，即，所以方程为，解得，所以这个等腰三角形的周长为：，综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18．题型二：利用根的判别式和根与系数的关系求值1.先定二次项系数：a≠0必须保证2.Δ≥0先算判别式：有实数根前提，3.再用韦达定理：写出x1+4.代数式变形：把所求式子化成只含x1+x2易错点1：忽略二次项系数a≠0题目含参数m、k时，默认是一元二次方程，a≠0一定要先写易错点2：只用韦达定理，不检验Δ只要题目说“方程有两个实数根/存在两根”，Δ≥0必须先求参数范围，再代入求值；很多同学直接套韦达算出答案，参数超出有根范围，答案直接错易错点3：混淆韦达定理符号记死：-baca和是，积是易错点4：代数式变形出错求x12+x22忘记2x1x2减易错点5：题目没说一元二次方程，当成二次方程做题目只说“方程有实数根”，要分两种情况：①一次方程a=0；②二次方程a≠0,Δ易错点6：分式求值不考虑分母不为0求1x1+1x2类，要隐含【例2】已知x1,x2是方程x2-2mx+m+2=01.a=1≠02.有实根：ΔΔ3.韦达：x4.变形：x再在m≤-1或m≥2范围内求二次函数最小值。【变式2-1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（

）A．5 B． C． D．1【答案】C【详解】解：∵是一元二次方程的两个根∴根据根与系数的关系可得，又∵将代入，得，解得，将代入，得，∴，即，整理得，因此，检验：当时，该方程的判别式，符合题意，故m的值为．【变式2-2】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）若关于x的方程有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（

）A．c B． C． D．【答案】C【难度】0.4【详解】解：去分母得，整理为一元二次方程标准形式：，∵方程有两个绝对值相同，符号相反的根，即两根互为相反数，∴两根之和为0，且二次项系数不为0，∵一元二次方程两根和为，且，∴，展开得，提取公因式得，∴．【变式2-3】（2026·河北·二模）已知、是关于x的一元二次方程的两实根，且，求的值．【答案】2【难度】0.44【详解】解∵是一元二次方程的两实根，∴判别式，解得；根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，∵，∴将，，代入得解得，，∵，∴舍去，得，∴．【变式2-4】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程．(1)求m的值；(2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值．【详解】（1）解：由题意得，解得；（2）解：由（1）知，则原方程变为，设这个方程的两个根是，，∴，，∴，∵，∴，解得．【变式2-5】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值．【详解】（1）证明：∵，∴原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵、是原方程的两根，∴，∵，∴，∴，∴，整理得，解得，．【变式2-6】（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．(3)在（2）的条件下，求的值．【详解】（1）解：根据题意得，解得；（2）解：，解得或（不符合题意，舍去）∴；（3）解：，将，代入上式得，∴（负值已舍）．题型三：利用根与系数的关系解决新定义问题【例3】（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵“二次方值点”满足纵坐标是横坐标的平方，即，∴联立与，得，整理得，∵函数图象在第一象限存在两个不同的“二次方值点”，说明该一元二次方程有两个不相等的正实数根，故方程有两个不等实根，∴，解得，又∵两个根均为正数（第一象限横坐标），对于该方程，两根之和，满足两根均为正数，则还需满足两根之积大于，两根之积，解得，综上，的取值范围是．【变式3-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．【详解】（1）解：∵，∴，∴或，∴，，∴，∴方程是“差根方程”．（2）解：∵方程是“差根方程”，∴，∴，∵，，∴，解得：，∴方程为，解得，．（3）解：∵，∴∵方程关于x的“差根方程”，∴，∴，∴，∴，∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），∴，∴，．将代入方程可得：，解得：，，∴，∴方程是“差根方程”，它的根为，．即，或，．∴方程是“差根方程”．它的根是，或，．【变式3-2】（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．(1)写出一元二次方程的“友好方程”___________；(2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论；(3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根．【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为，故答案为：．（2）解：一元二次方程的“友好方程”为，解得，，根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数，证明如下：∵一元二次方程的两根为，，“友好方程”的两根为，，∴，，∴，，即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数．故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数．（3）解：∵方程的两根是，∴该方程的“友好方程”，即的两根为，，则，即中或，∴该方程的解为，．【变式3-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数．材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．(1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值．(2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数．(3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和．【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得：，，∵，∴即，解得．（2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程：∴．∵是正整数，∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数．因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数．方法二：假设存在正整数、，使得，将方程两边乘以4，变形为，∴因为、都是正整数，故有，解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数．（3）解：是一个“双倍快乐数”，，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，即，，，若能被6整除，设，，能被6整除，即能被6整除，由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除，是1到9的整数，、6、9，当时，，当时，，当时，，所有满足条件的的和为．题型四：利用根与系数的关系解决几何问题【例4】（25-26九年级下·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，且分别为的两条直角边的长度，则该直角三角形的斜边长为_______【答案】【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，∴，，又∵a，b分别为的两条直角边的长度，∴该直角三角形的斜边长．【变式4-1】（25-26九年级下·四川成都·自主招生）若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是________．【答案】【详解】解：设的两条直角边长分别为，，斜边长为，方程的两根是两条直角边的长，由根与系数的关系可得：，，由勾股定理得：．【变式4-2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________．【答案】【详解】解：四边形是边长为的菱形，，，，，，，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，，，，，，，解得，，当时，，不符合题意，舍去，，，，，即，．【变式4-3】（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____．【答案】或【详解】解：∵关于x的方程，∴，，，∴，，∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根，∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且，∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则；②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则．∴综上所述，的值为或．题型五：利用根与系数的关系解决论证与猜想问题【例5】（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）．(1)当时，求证：方程总有实数根；(2)若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由．【详解】（1）证明：∵，∴．∵∴方程总有实数根．（2）解：由（1）可知，方程总有实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，．∴①；②．②①得：，即，所以，即．∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形．【变式5-1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：该方程总有实数根；(2)设，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由．【详解】（1）证明：，，，，所以该方程总有实数根；（2）存在实数m，使得代数式的值为，理由如下：由根与系数的关系可知，，，，，．【变式5-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合与实践从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究．设原矩形长为，宽为．【特例感知】（1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______；【类比探究】（2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由；【一般验证】（3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在．【详解】解：（1）设其2倍矩形长为，宽为，根据题意，得，解得或（不符合题意，舍去），故答案为12，2；（2）不存在，理由：设其倍矩形长为，宽为，根据题意，得，整理得，∴，∴方程无解，∴方程组无解，∴不存在；（3）设其2倍矩形长为，宽为，根据题意，得，整理得，∴，∴方程有解，又，，∴方程有正数解，∴方程组有正数解，∴无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在．【变式5-3】（25-26九年级上·福建南平·月考）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1．我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为．(1)代数式的正值是_____；(2)判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由；(3)①若关于x的代数式的正域值为0，求a的值；②若关于x的代数式的正域值为正整数，求整数b的值．【详解】（1）解：，则，即，解得或4，故答案为：或4；（2）解：无正值，理由如下：令，则，∵，∴方程无解，∴代数式无正值；（3）解：①正域值为0，说明“正值”只有1个（最大、最小正值相等）．令，整理得，∵方程有两个相等的实数根，故，∴，化简得，即，解得；②令，则设两根为，则正域值为：，先将化简：∴，由于正域值为正整数，且为整数，∴或，当时，；当时，；当时，；当时，，舍去，因此整数的值为．1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）．【答案】①②③【详解】解：结论①，原方程的倒方程为，将代入得，解得，故①正确；结论②，当时，判别式，两个方程均有两个不相等的实数根，故②正确；结论③，原方程无解，，即，倒方程判别式，倒方程无解，故③正确；结论④，举反例说明，当时，原方程为，若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：，即，原方程的倒方程为，，，倒方程为，是一元一次方程，只有一个根，故④错误．故答案为①②③．2．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）阅读材料并解答相关问题．材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程．材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则(1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号）①；②；③；④．(2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根．②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根．(3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由．【答案】(1)②③(2)①方程②的根为，

；方程③的根为；②(3)或，理由见解析【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程；②中，是“和差”的二次方程；③中，是“和差”的二次方程；④中，不是“和差”的二次方程；故答案为：②③；（2）解：①解方程，，，，；解方程，，；②设方程的另一根是，由韦达定理可得，．，，即，解得：；（3）解：∴



或

．理由：是“和差”二次方程的两个根，，又，，，，，或，或．3．（25-26九年级上·江西新余·月考）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．(1)该方程的“最值码”是（用含m的式子表示）:(2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：故答案为：；（2）解：由（1）知，方程的“最值码”为，方程的“最值码”为：，由于两个方程的“最值码”相等，则，整理得：，因此=．4．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且