考点02 一元二次方程的解法（4考点6题型＋能力强化）（解析版）

考点02一元二次方程的解法考点一：直接开平方法适用：形如x2=p口诀：左边平方，右边非负，直接开方，正负两个。例题：解方程(2x-3解：直接开方得，2x-3=±4当2x-3=4时，2x=7，解得x=7当2x-3=-4时，2x=-1，解得x=-1综上，方程的解为x1考点二：配方法步骤：①二次项系数化为1；②移常数项到右边；③两边加一次项系数一半的平方；④写成完全平方，再开方求解。例题：用配方法解方程2解：①二次项系数化为1：x2②移常数项：x2③配方（加一次项系数一半的平方，即(-1)x2-2x+1=12④开方求解：x-1=±62，解得考点三：公式法求根公式：x=判别式：Δ=Δ>0：两个不相等实数根；Δ=0：两个相等实数根；例题：用公式法解方程3解：由方程可知，a=3,b=-2,c=-2；第一步，计算判别式：Δ=第二步，代入求根公式：x=-b±综上，方程的解为x1考点四：因式分解法适用：能分解成两个一次因式乘积形式：(x-则根：x常用：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。例题：用因式分解法解方程x解：十字相乘法分解因式，将常数项6分解为-2和-3，满足-2+(-3)=-5（一次项系数）；原式化为(x-2)(x-3)=0；则x-2=0或x-3=0；解得x1题型一：直接开平方法求解易错点1：忽略右边非负条件，当p<0时，仍强行开方，导致错误（无实数根）；易错点2：开平方漏写正负号，如x2=4，只写x=2，漏掉易错点3：整体平方开方后，未对括号内的式子完整求解，如(2x-3)2=16【例1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程．【答案】【详解】解：，，，，解得．【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：．【答案】，【详解】解：，移项得，直接开平方得，，．【变式1-2】（2025九年级·广西·专题练习）解方程：【答案】，．【详解】解：，，，∴，．【变式1-3】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）解方程：．【答案】，【详解】解：方程可化为，由此得或，解得题型二：因式分解法求解易错点1：因式分解不彻底，如x2-4x=0，只分解为x(x-4)=0是正确的，易误分解为x2=4x后两边同除以易错点2：十字相乘法分解时，常数项分解错误，导致因式分解后与原方程不符；易错点3：分解后忘记令每个因式等于0，直接写出根，步骤不规范且易出错；易错点4：混淆平方差、完全平方公式，如x2-6x+9，易误分解为(x-3)(x+3)，正确为【例2】（2026·安徽淮南·一模）解方程：．【答案】，【详解】解：∵，∴，∴或，解得，．【变式2-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：．【答案】，【详解】解：，，，，或，，．【变式2-2】（2026·重庆·模拟预测）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：，∴，∴或，∴，．（2）解：，∴，∴，∴，∴或，∴，．【变式2-3】（2026·宁夏银川·一模）解下列方程(1)(2)【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：，，，，，或，，．（2）解：，，或，，．题型三：配方法求解易错点1：二次项系数不为1时，未先化为1就直接配方，导致常数项加错；易错点2：配方时，只给左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，等式不成立；易错点3：计算一次项系数一半的平方时出错（如一次项系数为-4，一半为-2，平方为4，易误算为-4）。【例3-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）解方程：．【答案】，【详解】解：，，，，∴，【例3-2】（25-26九年级上·广东惠州·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题．解：①②③或④∴⑤(1)上述解题过程有误，错在步骤____________（填序号）；(2)请你写出正确的解答过程．【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1，故答案为：②；（2）解：或∴．【例3-3】（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题．解：①③或④⑤(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）；(2)请你写出正确的解答过程．【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1，故答案为：②；（2）解：，配方得，即，开方得或，∴．【变式3-1】（2026·安徽淮南·一模）解方程：．【答案】，【详解】解：解得，．【变式3-2】（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）用配方法解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：，∴，；（2）解：，．【变式3-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）下列是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程．小明步骤：①由，得；②两边同时除以，得；③配方时，在等式两边同时加上，得；④整理，得；……请根据以上信息，完成下列问题．(1)小明的推导过程中，从第_________步开始出现错误．（填序号）(2)请写出正确且完整的推导过程．【详解】（1）解：在第③步中，配方时应在等式两边同时加上，而不是同时加上，故从第③步开始出现错误．但步骤④本身也存在由步骤③推导至此的逻辑错误，但根源在步骤③．故答案为：③．（2）解：由，移项得，两边同时除以，得，配方时，在等式两边同时加上，得，整理，得．当时，，即．题型四：公式法求解易错点1：代错系数符号，尤其是b为负数时，忘记求根公式中的-b（如b=-2，易误写为-b=-2）；易错点2：计算判别式Δ=b2易错点3：Δ<0易错点4：化简根式时出错（如28，易误化简为214，正确为2【例4-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：【答案】，【详解】解：【例4-2】（2026·陕西西安·二模）解下列方程：（用公式法）；【答案】，【详解】解：，，，，，∴方程有两个不等的实数根，，即，．【变式4-1】（2026·安徽合肥·一模）解方程：．【答案】，【详解】解：方程可化为，，，，，，解得：，．【变式4-2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）解方程：．【答案】，【详解】解：，，，，，，．【变式4-3】（2026·安徽芜湖·一模）解方程：．【答案】【详解】解：，由，∵，∴，∴．题型五：分类讨论解含绝对值的一元二次方程解方程|ax2+bx+c|=m或x2-|x|-6=0解题步骤令绝对值内代数式=0，求出分界点；按分界点划分定义域区间，分类讨论去绝对值符号；在每个区间内解普通一元二次方程；检验解是否在当前讨论区间内，不在则舍去。不验根：求出解后不看是否在当前区间，直接全留；漏分区间，直接去掉绝对值；把|x|当成x，忽略负数情况。【例5】解方程：x解：零点：x=0，分x≥0、x<0两种情况讨论：①当x≥0时，|x|=x方程变为：x解得x=2或x=-1∵x≥0，舍去x=-1，保留x=2②当x<0时，|x|=-x方程变为：x解得x=-2或x=1∵x<0，舍去x=1，保留x=-2综上：方程根为x【变式5-1】解方程：|解：根据绝对值定义，分两种情况：x2-2x=3或①x解得x=-1,x=3②xΔ=4-12=-8<0∴实数根：x【变式5-2】（25-26九年级上·湖南·月考）阅读题例，解答下题：例：解方程解：当，即时解得：（不合题设，舍去），（2）当，即时解得（不合题设，舍去）综上所述，原方程的解是或依照上例解法，解方程．【答案】或【详解】解：当，即时，，，，解得，；当，即时，，，解得不合题设，舍去，不合题设，舍去．综上所述，原方程的解是或【变式5-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程，解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），．原方程的根是，．(1)解方程；(2)解方程．【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；当时，原方程化为，解得，（不合题意，舍去）；原方程的根是，．（2）当，即时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；当，即时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；原方程的解是，．题型六：用换元法解一元二次方程适用题型方程含重复整体结构：如(x2+x)核心思路把重复出现的复杂代数式设为t新元，将高次/复杂方程降为一元二次方程，解出t后再回代求x。解题步骤观察方程，设重复部分为t；换元，化为普通一元二次方程；解出t的值；回代，解关于x的方程；分式/根式方程必须验根。忘记回代：只求出t，不再求x；换元后没看清取值范围（如t=|x|≥0，负的t直接舍去）；分式换元后不验增根；设元错误，没找准重复整体。【例6】解方程：(解：设t=xt解得t回代：①x解得x②xΔ=1-8=-7<0∴方程实根：x【变式6-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料：解方程：．我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得：，．当时，，则，解得；当时，，则，解得，原方程的解为，，，．根据上面的解答过程，解决下面的问题：解方程：．【答案】，【详解】解：令，则原方程化为：，解得，，当时，，则该方程无实数解；当时，，解得，．综上，该方程的解为：，．【变式6-2】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料：解方程．解法如下：将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解得，．（1）当时，，解得；（2）当时，，解得．综合（1）（2），可得原方程的解为．请你参考明明同学的思路，解方程．【答案】，【详解】解：设，则原方程可化为：，解得：，，（1）当时，，解得，，（2）当时，，此方程无实数根，综合（1）（2），可得原方程的解是：，．【变式6-3】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）阅读下面的材料：解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下：设，则．原方程可转化为，解得．当时，；当时，．综上，原方程的解为．以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：；(2)已知实数a，b满足，试求的值．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）设，原方程可转化为，解得．当时，，解得；当时，，解得．综上，原方程的解为；（2）设，原方程可转化为，解得．∵，∴舍去，∴．1．（24-25九年级上·山西朔州·月考）用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：，，，，或，∴，；（2）解：，，，，，或，∴．2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或【详解】（1）解：，由，可知，∴，∴；（2）解：，整理，得，由，可知，∴，∴；（3）解：，由，可知，∴，∴；（4）解：，整理，得，因式分解，得，即，∴．3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【详解】（1）解：，，解得，；（2）解：，，，，，解得，；（3）解：，，或，解得，；（4）解：，，，或，解得，．4．（25-26九年级上·海南·期中）解下列方程:(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法【详解】（1）解：或解得；（2）解：或解得；（3）解：，即；（4）解：或解得．5．（25-26九年级下·内蒙古·开学考试）按要求解方程：(1)；（用直接开平方法）(2)；（用配方法）(3)；（用公式法）(4)；（用因式分解法）【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴∴；（4）解：∵，∴，∴．6．（25-26九年级上·云南昭通·期末）（1）解一元二次方程：．（2）下面是某同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．解方程：．解：方程右侧提取公因式得：第一步移项，得：第二步方程两边同时除以，得：第三步移项，得：第四步系数化为1，得第五步回答下列问题：①这位同学的解法从第___________步开始出现错误；②此方程正确的解应该是___________．【答案】（1）；（2）①三；②，【详解】（1）解：，，，解得，方程的解为；（2）解：①这位同学的解法从第三步开始出现错误，因为当时，方程两边不能同时除以，否则会丢失这个根；②，，移项得，提取公因式得，或，解得，．7．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似．例如：解方程，解得，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请解答以下问题：(1)填空：______，______，______，(2)在复数范围内解方程：；(3)在复数范围内解方程：．【答案】(1)，，(2)，(3)，【详解】（1）解：，；；；（2）解：，两边同时开平方得：，解得：，；（3）解：，移项得：，方程两边同时加得：，合并同类项得：，两边同时开平方得：，解得：，．8．（25-26九年级下·安徽六安·月考）阅读理解题．定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．读完这段文字，请你解答以下问题：(1)填空：，，．(2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程．(3)在复数范围内解方程：．【答案】(1)，1，0(2)（答案不唯一，符合题意即可）(3)，【详解】（1）解：，，．（2）解：∵，∴，即，∴，∴，，即，∴一个以a，b的值为解的一元二次方程可为．（3）解：，，，，∴，．9．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．(1)写出一元二次方程的“友好方程”________；(2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________；(3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．【答案】(1)；(2)，，互为倒数；(3)，【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”，一元二次方程的“友好方程”为；故答案为：；（2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为，解，得到，解得，，观察可知，，；所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数．故答案为：，，互为倒数；（3）解：已知关于的方程的两根是，，那么的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，即，；故答案为：，．10．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得．当时，；当时，；原方程有四个根：．(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(2)已知实数满足，求的值；(3)解方程：．【答案】(1)(2)5(3)【详解】（1）解：设，那么，于是方程可变为，故答案为：；（2）解：∵，∴，设，则，解得，∴或，∴或（实数范围内无意义，舍去），故的值为5．（3）解：设，则可化为，解得，∴，∴（无实数根），或，∴，解得．1