25.3 实际问题与一元二次方程（讲义）（解析版）

第二十五章一元二次方程25.3实际问题与一元二次方程知识点一用一元二次方程解决实际问题的步骤审：理解并找出实际问题中的等量关系；设：用代数式表示实际问题中的基础数据；列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；解：求解方程；验：考虑求出的解是否具有实际意义；答：实际问题的答案.与一元二次方程有关应用题的常见类型：1）变化率问题解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住2）“每每型”销售问题在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，常用公式：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量.3)面积问题几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.常见类型1：如图1，矩形ABCD宽为a，长为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)．常见类型2：如图2，矩形ABCD宽为a，长为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．常见类型3：如图3，矩形ABCD宽为a，长为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)．4)分裂（传播）问题解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为(1+x)2.②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.即学即练1．（2026·重庆渝中·二模）某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据月平均下降率依次表示降价后的售价，结合3月份售价列方程即可，从1月到3月共经过2次降价，降价次数为2．【详解】∵该款汽车售价的月平均下降率是，1月份售价为万元，∴2月份售价为万元，∴3月份售价为万元，又∵3月份售价为万元，∴可列方程为．2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键是理解互赠的含义．计算总赠出书签的数量，从而列出方程．【详解】解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签，∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为，又已知共赠主题书签2450张，∴可列方程．3．（重庆市铜梁区2025-2026学年下学期九年级指标数学试题）匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设外框的宽度为，根据题意可知，加上外框后，整个矩形的长变为，宽变为，利用矩形面积公式（长×宽=总面积）即可列出方程．【详解】解：∵匾额原长为，宽为，且在四周加宽度为的外框，∴制成后的总长度为，总宽度为，∵制成后的总面积为，∴根据矩形面积公式可列方程：．4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．【答案】8【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可．【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个，根据题意，可得：，整理得：，因式分解得：，解得：，，当时，定价为元/个，当时，定价为元/个，因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个．5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米．【答案】1【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可．【详解】设石板小径的宽度为米，根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形，草坪总面积为平方米，石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的，列方程得：，解得：，当时，，不合题意，舍去，所以．即石板小径的宽度为1米．故答案为：1．6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________．【答案】【分析】列一元二次方程解决实际问题．【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得：，解得，（舍去）．题型01变化率问题典｜例｜精｜析1．（2026·重庆·模拟预测）某大宗商品原价为100万元，连续两次降价后售价为81万元，则m的值为______．【答案】10【分析】等量关系为：原价(降价百分率现售价，将相关数值代入求解，舍去不符合实际意义的解即可．【详解】解：第一次降价后价格为，第二次降价后价格为，由此列方程得：，解得，，因为降价百分率不大于，所以不合题意，舍去．故答案为：．变｜式｜巩｜固1．（2026·安徽合肥·二模）某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率．【答案】每年投资的平均增长率为．【分析】设每年投资的年平均增长率为x，根据题意可得，2025年投资额年的投资额，据此列方程求解．【详解】解：设每年投资的年平均增长率为x，根据题意，得：，解得：，（舍去），答：每年投资的平均增长率为．2．（2026·安徽池州·二模）某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数）【答案】【分析】设原价为a，两次降价的百分比为x，则“双十一”之前价格为，“双十一”期间售价为，据此建立方程求解即可．【详解】解：设原价为a，两次降价的百分比为x，由题意得，，解得或（舍去），答：两次降价的百分比约为．题型02单/双循环问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级下·黑龙江·期中）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生．【答案】30【分析】设全班有名学生，可得每名同学需要给名同学写留言，根据总留言数为列出一元二次方程，求解后舍去不合实际意义的解即可得到答案．【详解】解：设全班有名学生，根据题意，列方程得，整理得，解得，（舍去），则全班有名学生．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？【答案】13个【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系．设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可．【详解】解：设共有x个球队参加比赛．．

整理得：．解得：（不合题意，舍去）

答：共有13个球队参加比赛．2．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人．(1)填空：根据题意，可列方程：；(2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．【答案】(1)(2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可．（2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程为：，故答案为：．（2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27依题意可以得到方程化简为解得或因为为正整数，所以答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9．3．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话：(1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确；(2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值．【答案】(1)，淇淇的说法正确(2)10【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．（1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；（2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可．【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：，∴，整理得，解得，不为整数，∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确；故答案为：；（2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，解得，（舍去），∴x的值为10．题型03数字问题典｜例｜精｜析1．（2026·辽宁鞍山·二模）小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______．【答案】2【分析】设这个数为x，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设这个数为x，根据题意得：，整理得：，解得：，即给出的答案是2．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为__________．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键．根据日历的特点列出方程即可．【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为16，这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，根据题意得：．故答案为：．2．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）．(1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示）(2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由．(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数．【答案】(1)(2)小颖的说法正确，理由见解析(3)7【分析】（1）根据月历表的特点列式即可；（2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案；（3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案；【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为；（2）解：小颖的说法正确，理由如下：设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，∵框出的4个数之和为45，∴，解得：，根据题意得：m为整数，∴不符合题意，∴小丽一定算错了，小颖的说法正确．（3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，∴，∴，∴，∴或，解得或（舍去），∴这4个数中最小的数为7．3．（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数．【答案】原来的两位数为53【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式．设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可．【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，依题意，得，整理，得，解得，（不符合题意，舍去），∴．答：原来的两位数为53．4．（25-26九年级上·江西南昌·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．(1)八进制数换算成十进制数是多少？(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：（2）根据题意有：，∴，解得，（负值舍去），故的值为9．题型04年龄问题典｜例｜精｜析1．（2025·吉林辽源·三模）周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为_________．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【详解】解：设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意可得：，故答案为：．变｜式｜巩｜固1．（21-22九年级上·北京大兴·期末）小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．【详解】设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，根据题意即可列方程：．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．2．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）在一次亲子活动中，一对父子搭档表演的一个精彩节目得到了观众的高度赞扬．演出后记者到后台对这对父子进行了采访．当记者问到他们的年龄时，儿子说：“三年前，我父亲的年龄恰好是我年龄的平方，今年我们父子的年龄和为36．”，请你根据他们谈话的信息求出这对父子今年的年龄．【答案】父亲今年的年龄为28岁，儿子今年的年龄为8岁【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设儿子今年的年龄为岁，则父亲今年的年龄为岁，根据三年前，父亲的年龄恰好是儿子年龄的平方建立方程，解方程即可得．【详解】解：设儿子今年的年龄为岁，则父亲今年的年龄为岁，由题意得：，整理得：，解得或（不符合题意，舍去），则，答：父亲今年的年龄为28岁，儿子今年的年龄为8岁．题型05传播问题典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________．【答案】或【分析】根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答．【详解】解：∵初始患流感人数为1，∴第一轮传染后，患流感人数为∴第二轮传染时，有人，每人传染x人，∴新传染人数为，∴第二轮后总患病人数为，又∵两轮后共有16人患流感，∴.变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________．【答案】【分析】本题考查了列一元二次方程．设每个支干长出个小分支，由题意，主干长出的支干数目为，因此主干有1个，支干有个，小分支有个，根据总数为43列方程即可．【详解】解：设每个支干长出个小分支，则主干长出的支干数目为，故支干有个，小分支有个．根据题意，主干、支干和小分支的总数为43，因此列方程得．故答案为：．2．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学．【答案】4名【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可．【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意，得．解得，（不合题意，舍去）．答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学．3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染．(1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？(2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人(2)三轮后共有125人被感染【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可；（2）根据题意列出算式进行计算即可．【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得：，解得，（舍去），答：每轮感染中平均一人传染4人．（2）解：人答：三轮后共有125人被感染．题型06分裂问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·期末）有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键．细胞分裂每次使细胞数量变为原来的x倍，经过两次分裂后细胞总数为，据此列方程即可．【详解】解：∵初始1个细胞，一次分裂后细胞数为x，∴二次分裂后细胞数为．又∵二次分裂后共得225个细胞，∴．故选A．变｜式｜巩｜固1．（22-23九年级上·山东济宁·月考）某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在，设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个相同数目的有益菌．根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据“现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：由题意得，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型07工程问题典｜例｜精｜析1．（2022·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？【答案】100箱【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得．【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”，根据题意得整理得：解得，(舍去)经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去，故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验．变｜式｜巩｜固1．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得，解得，米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．2．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递．(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值．【答案】(1)乙分拣机至少工作小时(2)的值为【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键．（1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可；（2）根据题意，列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意列不等式，解得答：乙分拣机至少工作小时；（2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时，根据题意列方程，，解得（不符合题意，故舍去），答：的值为．3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；(2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼(2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键．（1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可；（2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可．【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意，得，解得，答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼；（2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得，整理得，解得，（不符合题意，舍去），答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单．题型08行程问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点．【答案】8【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间．【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为．当时，有．整理得．为方便计算，方程两边同乘2，得．．因为，所以．解得，．由于时间不能为负数，故．故答案为8．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步．【答案】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键．【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，即：，，，根据题意可得：，即：，解得：，（舍去），答：甲走了步．故答案为：．2．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒；(2)小球滚动24米用了多少秒？【答案】(1)2，(2)4秒【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解．（1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式．（2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间．【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）．从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）．故答案为：2，．（2）根据题意，平均速度．因为运动路程即，且米，解得，．因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去．答：小球滚动24米用了4秒．3．（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了;(2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了.【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可；甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可.【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm.，解得，（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了.（2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度.，解得，（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键.题型09营销问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山西阳泉·月考）一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价_______元时，平均每天盈利元．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，根据“总利润＝每件利润×销售数量”列出方程求解可得．理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．【详解】解：设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，即元，依题意，得：，解得：或，∵为了扩大销售量，增加利润，∴，∴每件衬衫降价元时，平均每天盈利元．故答案为：．变｜式｜巩｜固1．（2025九年级下·上海·专题练习）某公司推出了一款产品，成本为50元，以的盈利率定价，该公司希望通过调整售价的方式提高收入．据专业人士分析，以当前售价可以售出200件商品，若售价每件每涨5元，就少售出10件．若该公司想卖出后收入12600元，且让顾客享受到最大优惠，求调价后的盈利率为______．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设涨价x次，成本为50元，初始盈利率，则定价为元，则售价为元，销售量为件，然后根据收入建立方程求解，再求解盈利率．【详解】解：设涨价x次，由题意得，整理得，解得或．为让顾客享受最大优惠，取最小涨价，∴售价为元，∴盈利率为．故答案为：．2（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【答案】每千克应涨价元【分析】每千克涨价元，根据题意，可列方程：，解得，，结合题干的要求，尽快减少库存，因此选择涨价5元．【详解】解：设每千克涨价元，根据题意，可列方程：，整理，得，解得，，当时，对应的日销量为（千克）；当时，对应的日销量为（千克）；∵要尽快减少库存，又∵∴．答：每千克应涨价元．3．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？【答案】(1)每次下降的百分率为；(2)涨价5元【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是，需舍去不合题意的解．（2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)．【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，根据题意可得：，解得，(舍去)，答：每次下降的百分率为．（2）解：设每盒应涨价元，根据题意可得：，展开化简得：，因式分解得：，解得，，∵要尽快减少库存，∴，答：每盒应涨价5元．题型10与图形有关的问题几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般通过分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米．【答案】/【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程。设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积是整个地毯面积的，列出方程求解即可．【详解】解：设条纹的宽度为米，依题意得，解得：(不符合，舍去)，，答：配色条纹宽度为米．变｜式｜巩｜固1．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，某市近郊有一块长为、宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地．若塑胶场地总占地面积为，则通道的宽为_____m．【答案】2【分析】本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键．结合图形列代数式，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可．【详解】解：设通道的宽为，则，根据题意得，整理得，解得，(不符合题意，舍去)．即通道的宽为．故答案为：2．2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）．(1)若设，则的长为_________；（用含x的代数式表示）(2)当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？【答案】(1)(2)当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地．【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答．（2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答．【详解】（1）解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设，∴，则的长为；（2）解：由（1）得，则，∵围成一个面积为的矩形菜地，∴，整理得，解得．当时，；当时，；答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地．3．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与实践主题“知耕园”生态农场田地设计情境为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之贵，厚植劳动情怀：学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为米，宽为米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程．任务一要求：设计的每一条小路宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．问题一（1）①以上三种方案中小路面积的大小关系？你的判断是___________；（填“相等”或“不相等”)②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为平方米，则每条小路的宽度是___________米．任务二为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图，花圃一边利用水池，其它边用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．问题二（2）若可利用的水池长米，花圃的面积刚好为平方米，求矩形花圃的一边的长．【答案】（1）①相等；②；（2）米．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，生活中的平移现象，正确理解题意是解题的关键．（1）①根据图形平移的性质，即可得出答案；②设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积约为平方米列方程，解方程即得答案；（2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为平方米列方程，解方程即得答案．【详解】解：（1）①将各种方案中的小路向左或向上平移后所得的图形均为下图：∴三种方案小路面积相等；故答案为：相等．②每条小路的宽度是米根据题意得，解得，（不符合题意，舍去），∴每条小路的宽度是米；故答案为：．（2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，∵水池长米，∴，解得，根据题意得，，解得，（不符合题意，舍去），答：的长为米．4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，线段的长为1，点在线段上，满足关系式．(1)求线段的长度；(2)点在线段上，且．直接写出线段与的数量关系．【答案】(1)(2)线段与的数量关系【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，解题的关键是根据题中线段之间的关系列方程．（1）设线段的长度为，则，根据列方程进行解答即可得；（2）设线段的长度为，则线段，根据列方程求解，即可得到线段与的数量关系．【详解】（1）解：设线段的长度为，则，∵，∴，，，解得，

（舍），∴；（2）解：设线段的长度为，则线段，∵，∴，，解得，（舍），∴；∴，∴线段与的数量关系．题型11动态几何问题典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒．【答案】【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了一元二次方程的求解，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．根据路程速度时间，表示出，，，根据面积等于面积的，可得面积等于面积的列方程求解即可．【详解】解：根据路程速度时间得：，，则，的面积等于四边形的面积的，面积等于面积的，，即，解得．当秒时，的面积等于四边形的面积的．故答案为：．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？【答案】2秒或4秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，，，，，，∴，解得：，．答：运动2秒或4秒后的面积为．故答案为：2秒或4秒2．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs．(1)用含x的式子表示：______cm，______，______；(2)当的面积为时，求运动时间；(3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．(4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2．②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？【答案】(1)；；(2)或(3)四边形的面积不能等于，理由见解析(4)运动时间时，四边形APQC的面积最小【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可；（2）根据，求出，即可；（3）根据，求出；再根据，即可；（4）将四边形面积变形得，根据即可求解．【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动，∴，∵，∴，∵动点从点开始沿边向点以的速度移动，∴，∵，∴．∵，∴；（2）解：由（1）得，∴当的面积为时，∴，∴，，∴当的面积为时，求运动时间为：或．（3）解：由（1）得，，当四边形的面积等于，，∴，（舍），∵，∴，∴四边形的面积不能等于；（4）解：②，∵，∴，∴运动时间时，四边形APQC的面积最小．3．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速