25.3 实际问题与一元二次方程（基础达标）（解析版）

25.3实际问题与一元二次方程知识点一增长率问题（一元二次方程的应用）1．（2026·云南保山·二模）某县2024年沃柑种植产值为200万元，在政策扶持与技术推广下，产值逐年稳步增长，2026年达到288万元．设每年产值的平均增长率为x，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题根据初始产值、平均增长率，依次表示出增长两年后的产值，再结合2026年的实际产值列出方程即可．【详解】解：∵2024年沃柑种植产值为200万元，年平均增长率为，∴2025年的产值为万元，∴2026年的产值为万元，又∵2026年的产值为288万元，∴可列方程为．2．（2026·重庆渝中·二模）某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据月平均下降率依次表示降价后的售价，结合3月份售价列方程即可，从1月到3月共经过2次降价，降价次数为2．【详解】∵该款汽车售价的月平均下降率是，1月份售价为万元，∴2月份售价为万元，∴3月份售价为万元，又∵3月份售价为万元，∴可列方程为．3．（2026·陕西渭南·二模）某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为，经过2分钟反应时间后，总质量变为，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为，则可列方程为_____．【答案】【分析】已知初始质量，平均减少率和变化后的质量，根据平均变化率的数量关系列方程即可．【详解】解：初始质量为，每分钟减少的百分率为则分钟后反应物的质量为，分钟后反应物的质量为，已知分钟后反应物质量变为，因此可列方程．4．（2026·安徽合肥·二模）某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率．【答案】每年投资的平均增长率为．【分析】设每年投资的年平均增长率为x，根据题意可得，2025年投资额年的投资额，据此列方程求解．【详解】解：设每年投资的年平均增长率为x，根据题意，得：，解得：，（舍去），答：每年投资的平均增长率为．知识点二传播类问题（一元二次方程的应用）1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可．【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支，∴支干的数量为个，小分支的数量为个，又∵主干、支干和小分支的总数是121，∴可列方程为，故选：A．2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可．【详解】解：由题意得：，故答案为：．3．（25-26九年级上·河南开封·期末）九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值．【答案】7【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程，再解方程即可．【详解】解：由题意得，解得，（舍去）答：x的值为．4．（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染．(1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？(2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人(2)三轮后共有125人被感染【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可；（2）根据题意列出算式进行计算即可．【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得：，解得，（舍去），答：每轮感染中平均一人传染4人．（2）解：人答：三轮后共有125人被感染．知识点三几何面积基础问题（一元二次方程的应用）1．（2026·云南西双版纳·一模）清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据中间画作的面积为，列出方程即可．【详解】解：设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据题意得：．2．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，这是一块面积为的矩形空地，已知该空地的长宽之比为，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设矩形空地的长为，宽为，根据面积求出的值；根据四角正方形面积求出其边长；最后利用矩形面积公式计算阴影部分面积．【详解】解：设矩形空地的长为，宽为，矩形空地面积为，，解得：或（舍去），矩形空地的长为，宽为，四角正方形面积均为，正方形边长为，由图可知，阴影部分为矩形，其长为、宽为，阴影部分面积为．3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在一块长为，宽为的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠的宽为多少？【答案】【分析】设水渠的宽为，则挖了水渠后的6个矩形小块可以拼成长为，宽为的矩形，据此列出方程，求解即可．【详解】解：设水渠的宽为，由题意得，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），答：水渠的宽为．4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）有一块长，宽的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．【答案】【分析】设裁去的正方形的边长为，则可得这个长方体盒子的底面的长是，宽是，再由矩形面积公式建立方程求解．【详解】解：设裁去的正方形的边长为，则可得这个长方体盒子的底面的长是，宽是，∴，整理得，解得，当时，此时，不符合题意；当，此时，，符合题意∴小正方形的边长为．知识点四数字问题（一元二次方程的应用）1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168即可列出方程．【详解】解：∵较大的偶数为，则较小的连续偶数为，∴根据题意，可得方程．2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____．【答案】（或）【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系．先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程．【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为．根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为，将其整理为一元二次方程的一般形式为．故答案为：（或）．3．（25-26八年级下·山东东营·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____【答案】【分析】设最小的数为x，则最大的