25.2.2 公式法（讲义）（解析版）

第二十五章一元二次方程25.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当时，方程a公式法定义：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx【解读】1）求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a≠0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是，即求根公式使用的前提条件是a≠0且.2）适用范围：适用于所有一元二次方程，求根公式为用公式法解一元二次方程的一般步骤：方法典例将一元二次方程整理成一般形式；将原方程化为一般形式：确定公式中a、b、c的值；（易错点：忽略系数前面的符号）求出的值；当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解.即学即练1．（25-26九年级上·广东广州·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式，即可求解．【详解】解：∴，，故选：D．2．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程．【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，给定根为，∴，故，，故，又，∴，代入，得，即，故，因此方程为，即，故选：C．3．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______．【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．用公式法求解即可．【详解】解：，，，∴，∴，．故答案为：，．知识点二根的判别式定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.一元二次方程根的情况与判别式的关系：1）方程有两个不相等的实数根:x=-b±b22）方程有两个相等的实数根：x1=x3）方程没有实数根.【解读】1）在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定.2）已知一元二次方程有两个根，隐含着.3）一元二次方程根的判别式只运用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时应对方程进行分类讨论.4）若关于x的方程有实数根，应分为两种情况讨论：当a=0时，b≠0；当a≠0时，.【注意】1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根即学即练1．（25-26九年级上·河南周口·期末）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根【答案】A【分析】先确定一元二次方程的各项系数，计算根的判别式，再根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：∵一元二次方程中，，，∴∴原方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程（，、、为常数）的根的判别式的应用，理解判别式对应的根的三种情况是解题的关键，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．且【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及判别式的性质，先将方程整理为一元二次方程的标准形式，根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）及判别式的性质（有两个实数根则判别式）求解的取值范围即可．【详解】将方程整理为标准形式得又方程有两个实数根此方程为一元二次方程，故二次项系数且判别式，其中，，，解得，∴的取值范围是且．故选：D．3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）若关于x的一元二次方程无实数解，请你写出一个符合题意的k的值是______．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式需小于零，计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键．【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数解，∴，解得：，∴符合题意的k的值是，故答案为：（答案不唯一）．题型01根据求根公式判断一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程．【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为．题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得：，故；，故；，故．因此，该一元二次方程为；故选：C．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（）A． B．5 C． D．7【答案】A【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填．【详解】解：∵原方程，移项得，∴，，．求根公式为，∴“□”处应填．故选A．2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算．【详解】解：方程中，，一次项系数为，常数项为．代入求根公式，得：与选项A一致，故选：A．3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键．通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程．【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为，对比可得：，因此，，因此，根号内部表达式为，得，因此一元二次方程为，即故答案为：．题型02用公式法解标准形式的一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·上海·月考）点在线段上，且，如果，那么的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设，则，∵，∴，∴，即，解得或（舍去），故选：B．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键．【详解】解：，，∵，∴，∴．故选：D．2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____．【答案】【分析】本题主要考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义可得，解方程即可．【详解】解：，解得，故答案为．3．（25-26九年级上·吉林白山·期末）解方程：．【答案】．【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，解得．题型03用公式法解非标准形式的一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（）A．， B．，C．， D．以上答案都不对【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此确定m的值，然后代入方程求解根，与选项对比即可得到答案．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，∴，∴原方程为，即，∵，∴，∴，故选：D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【详解】一元二次方程化简，得．，，，即．，该方程有两个正根，且有一根大于3．2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________．【答案】【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键．根据新定义运算，将给定表达式转化为关于的方程，然后求解二次方程，并根据的条件选取合适的根．【详解】由定义和，得则即，由于，故取故答案为：．题型04不解方程，判断根的情况典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的实数根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式与0的大小关系，即可判断方程实数根的情况.【详解】∵一元二次方程中，，，，∴，∴该方程有两个不相等的实数根.变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）方程的根的情况是（

）A．两实根的和为 B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可．【详解】解：在方程中，，，．，∴方程没有实数根．故选：D．2．（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个相等的实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况．【详解】解：由题意知，∴，整理得，∵，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）下列方程无解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个一元二次方程的判别式，若，则方程无实数解，据此进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、∵，∴，方程有解，故该选项不符合题意；B、∵，∴，方程有解，故该选项不符合题意；C、∵，∴，方程有解，故该选项不符合题意；D、∵，∴，∴，方程无解，故该选项符合题意；故选：D．题型05已知方程根的情况，求参数的取值范围典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______．【答案】且【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不为，再由方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于．【详解】解：因为是一元二次方程，所以．因为方程有两个不相等的实数根，所以方程根的判别式，即解得.所以的取值范围为且．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是_________．【答案】【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数即可，掌握相关知识是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件，判别式大于或等于零．【详解】解：一元二次方程中，，，，判别式，由，得，即，所以．故答案为：．2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）关于的一元二次方程没有实数根，那么的值可以是___________．（写出一个即可）【答案】1（答案不唯一）【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根与判别式的关系，当判别式小于零时，方程没有实数根，由此求出m的取值范围，并选取一个符合条件的值．【详解】解：由题意得，．解得．因此，m的值可以是1．故答案为：1（答案不唯一）．3．（25-26九年级上·湖南湘西·月考）若关于变量x的方程有且仅有一个实根，则______．【答案】3或7/7或3【分析】本题主要考查了方程的根，分类讨论是解题的关键；方程有且仅有一个实根需分两种情况讨论：当二次项系数为零时为一元一次方程，有一个实根；当二次项系数不为零时为一元二次方程，判别式为零．【详解】解：方程，当即时，方程化为，解得，有且仅有一个实根．当即时，方程为一元二次方程，判别式．令，得，即，整理得，解得．验证时，，符合条件．故答案为：3或7．题型06应用判别式证明方程根的情况典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南文山·期中）已知关于x的方程(1)求证：此方程总有实数根；(2)若方程有两个相等的实数根，求m的值．【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了解一元二次方程，掌握根的判别式是解决本题的关键．（1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用根的判别式的意义得到，则可得到．【详解】（1）证明：，方程总有实数根；（2）解：方程有两个相等的实数根，，解得．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；(2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．（1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可；（2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∵是非负数，∴．∴无论m取何实数时，原方程总个实数根；（2）解：，解得，，∵原方程有一个根不小于5，∴，∴．2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程．(1)求证：此方程必有实数根；(2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）由（1）可知，然后问题可求解．【详解】（1）证明：∵是关于的一元二次方程，∴，，方程必有的实数根；（2）解：由（1）可知：当时，方程有两个相等的非零实数根，，方程即，解得．3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程．(1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根．【答案】(1)见解析(2)，此时方程的根为【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程；（1）由根的判别式，可证出：不论取何值，方程总有两个实数根；（2）由关于的方程有两个相等的实数根，可得出根的判别式，解之可得出的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）证明：，不论取何值，方程总有两个实数根；（2）解：关于的方程有两个相等的实数根，，解得：．将代入原方程得：，即解得：，的值为，此时方程的根为．题型07含参方程的根的情况分类讨论典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．分两种情况讨论：当时，方程变为一次方程，有实数根；当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式求解．【详解】解：当，即时，方程为，解得，有实数根；当，即时，方程为一元二次方程，判别式，由得，解得，综上，实数的取值范围是．故答案为：．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_____．【答案】【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围．【详解】解：当，即时，原方程为，解得：，∴符合题意；当，即时，，解得：，∴且．综上所述，m的取值范围是．故答案为：．2．（24-25九年级上·全国·期中）已知方程有实数根，则k的取值范围是_______【答案】【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．分类讨论当时和时两种情况，即可求解．【详解】解：当时，原方程为，解得，满足题意；当时，原方程可化为由题意得：，解得：；综上所述：，故答案为：．3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程．(1)若方程有实数根，求k的取值范围．(2)若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【答案】(1)k的取值范围为(2)，【分析】（1）分两种情况讨论，当k≠0时，该方程为一元二次方程；当k＝0时，该方程为一元一次方程，再分别求得k的取值范围即可；（2）只要让根的判别式△=，求得k的值，进而求得方程的解即可．【详解】解：（1）当时，方程为一元一次方程，有解，满足题意；当时，方程为一元二次方程．方程有实数根，，解得，则且．综上所述，k的取值范围为．（2）方程有两个相等的实数根，，且，解得，原方程为，解得．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题的关键.题型08判别式与几何图形综合典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的一元二次方程.若的两边，的长是这个方程的两个实数根.第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为（

）A．3或4 B．4或5 C．5 D．4【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：或时为等腰三角形，然后求出k的值．【详解】解：，解得，，的长是这个方程的两个实数根，，，中有一个数为5．当时，解得，此时三边分别为，能构成三角形，则是等腰三角形，当时，此时三边分别为，能构成三角形，是等腰三角形，即k为值为：