26.2.3 二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象和性质（第2课时 总结提升与综合应用复习）导学案（解析版）

.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第二课时总结提升与综合应用复习）（导学案）(1)系统熟记二次函数一般式全套图象与性质，精准掌握a、b、c对抛物线的影响；能熟练用配方法、公式法解决图象符号判断、含区间限定最值、多点函数值比较、参数分析等高阶综合问题，规避常见易错点.(2)通过体系梳理、拔高典例探究、错题复盘，提升知识归纳能力、数形结合分析能力、分类讨论推理能力，掌握二次函数中档综合题的解题思路与答题规范.(3)通过知识整合构建完整知识体系，突破中档难点题型，消除畏难心理，提升解题自信心；培养严谨的数学思维、规范的答题习惯，养成复盘纠错的学习意识.重点:二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与性质的综合拔高应用；由a、b、c、△的符号判断抛物线图象特征，由图象特征反推系数符号；闭区间内动态最值问题、多点函数值大小比较高阶方法.难点：对称轴在区间内外、区间内部的分类最值讨论；利用“点到对称轴的距离”比较任意多点函数值大小；数形结合双向推理的综合应用.第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课复习回顾：（1）二次函数一般式配方的关键步骤是什么？（2）对称轴、顶点坐标公式是什么？（3）比较抛物线上两个点的函数值，除了代入计算，有没有更快捷的方法？快速复盘：开口规律、对称轴公式、顶点、增减性、基础最值，引出本节课拔高内容：区间分类最值、对称轴距离比较函数值.【学法指导】新知自研：自研课本第44-45页的内容【学法指导】自研课本P44-45页内容（一）二次函数解析式的确定根据二次函数解析式的一般式、顶点式等特点，用待定系数法求抛物线解析式．问题1：已知抛物线经过，，两点，求抛物线的解析式．【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式．正确运算是解题的关键．待定系数法求抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线经过，，两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（二）系数与图象的对应关系结合图象系统归纳核心规律：1.a：开口方向、开口大小；2.a、b（左同右异）：对称轴位置；3.c：y轴截距.问题2.如图，在直角坐标系中，已知函数．(1)完成以下列表：…01234………(2)画出这个函数的图象；(3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴．【分析】（1）把x代入二次函数即可求解；（2）根据列表即可作图；（3）根据二次函数图象即可求出坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴．此题主要考查二次函数图象，解题的关键是根据表格画出函数图象．【详解】（1）如图，列表如下…01234……5005…故答案为：5，0，，，，0，5；（2）如图，函数的图象如下：（3）由图可知：与x轴交于，，与y轴交于，顶点坐标，对称轴．（三）二次函数的综合应用二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象性质的综合应用.问题3.已知抛物线经过点，．(1)求，的值；(2)若是抛物线上的点，求的值．【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、根据自变量值求函数值等知识，熟记二次函数图像与性质，掌握待定系数法及点在图像上的含义是解决问题的关键．（1）利用待定系数法，将，代入函数表达式，解二元一次方程组即可得到答案；（2）由（1）中所得，确定函数表达式，将代入即可得到值．【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得；（2）解：由（1）知抛物线表达式为，若是抛物线上的点，则．（四）二次函数的实际应用建立合适的平面直角坐标系，转化为二次函数型问题.问题4.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；(3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到）【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．（1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解；（2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可；（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解．【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：则，，抛物线的顶点坐标为，，设抛物线的函数表达式为，将代入，得：，解得：，∴该抛物线的表达式为；（2）解：在中，当时，则，解得：，，∴水面上升2米后的水面宽度为米，（3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，

∵货船的高为米，宽为米，∴米，，设米，则米，∴点的坐标为，将代入，得：解得，∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米．自研课本P42-43页内容典型例题例1：已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数解析式．【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤，准确计算．【详解】解：∵抛物线的顶点是，∴可设抛物线的函数解析式为，∵点在该抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为：．例2.已知二次函数y=-x²+2x+3，完成下列问题：（1）将函数化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标；（2）判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点个数；（3）当0≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（4）若点A(1,)、B(2,)在抛物线上，比较、的大小.【分析】本题为综合性复习典例，全覆盖本节课核心考点：配方变形、公式应用、系数图象对应关系、区间最值、函数值大小比较。解题核心逻辑：先通过配方或公式确定抛物线基础特征，再结合对称轴、开口方向分析增减性，最后结合自变量取值区间求解最值、比较函数值，完整复刻二次函数综合题解题流程，规范答题步骤.【详解】解:（1）配方化为顶点式，求对称轴、顶点y=-x²+2x+3=-(x²-2x)+3=-(x²-2x+1-1)+3=-(x-1)²+4可得：对称轴为直线x=1，顶点坐标(1,4).（2）判断开口与坐标轴交点a=-1<0，抛物线开口向下；判别式△=b²-4ac==4+12=16>0，因此抛物线与x轴有两个交点；当x=0时，y=3，抛物线与y轴交于正半轴。（3）抛物线开口向下，对称轴x=1,当0≤x≤3内；∴当x=1时，函数取得最大值，；分别计算区间端点函数值：x=0时，y=3；x=3时，y=-9+6+3=0；对比可得：当x=3时，函数取得最小值，（4）比较函数值大小对称轴x=1，开口向下，∴当x>1时，y随x增大而减小；∵1<2，∴>.例3.阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”．(1)请写出二次函数的一个“问真二次函数”．；(2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求a的值．【分析】本题考查二次函数的性质．（1）先将配方求出顶点坐标，然后根据题干中“问真二次函数”定义求解．（2）由二次函数可得顶点坐标为，二次函数的顶点坐标为，根据题干中“问真二次函数”定义求解即可．解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解．【详解】（1）解：设二次函数的一个“问真二次函数”为，，，，，，两个函数图像开口方向相反，的值可以是，二次函数的一个“问真二次函数”可以是，即（答案不唯一）；（2）∵图象的顶点为．的顶点坐标为．∵，且∴．例4.如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为．(1)试写出的面积与之间的函数表达式；(2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？【分析】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出，的长是解题关键．（1）利用两点运动的速度表示出，的长，进而表示出的面积即可；（2）利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案．【详解】（1）由题意得：，，；；（2），当时，的面积最大，最大值是．第二环节合作探究讨论交流:讨论怎样画二次函数解析式的求法.讨论二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质及综合应用.讨论如何将实际问题转化为二次函数型问题.拓展提升：1.如图，已知女排球场的长度为米，位于球场中线处的球网的高度米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方米的点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点的水平距离为米时，到达最高点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)写出点坐标___________；点坐标___________．(2)若排球运行的最大高度为米，求排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；(3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．【详解】（1）∵，是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：，；（2）解：由排球运行的最大高度为米，则顶点的坐标点，则设抛物线的解析式为，∵点坐标为，点在抛物线上，∴，解得，∴，（3）这次发球可以过网且不出边界，理由：当时，，当时，．故这次发球可以过网且不出边界．1．已知抛物线．(1)用配方法将化成的形式；(2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；【详解】（1）．（2）∵抛物线，∴对称轴为直线，顶点坐标为．1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示．x…﹣201…y…﹣2﹣21…（1）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值．【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x=-2+02∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k．又∵图象过（0，﹣2），（1，1），∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k．∴a＝1，k＝﹣3．∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2．（2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3，∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）．作图如下．（3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后，∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3．∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上．∴①当3≤n﹣1时，即n≥4，∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3．又∵最大值与最小值的差为5，∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5．∴n=103②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4，∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3．又∵最大值与最小值的差为5，∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5．∴n＝1+5或n＝1-5（不合题意，舍去）或n＝4+5（不合题意，舍去）或n＝③当n﹣1≤0时，即n≤1，∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3．又∵最大值与最小值的差为5，∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2﹣3＝5．∴n=53综上，n＝1+5或n＝4-2．（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．（1）求a的值．（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，得：1﹣a+5＝0，解得：a＝6；（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，∴对称轴为直线x=--6∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，又∵点B为线段AC的中点，∴xc＝2xB，∴xB∴xB＝2，∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，∴t＝﹣3；（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：∴当x2﹣6x+5＝12时，解得：x1＝7，x2＝﹣1，即n＝7，m＝﹣1，∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．3．（2026·江门校考期中）如图，在中，，，，点从出发沿向点以1厘米/秒的速度匀速移动；点从出发沿向点以2厘米/秒的速度匀速移动．点、分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为秒．(1)填空：_______，_______．(2)当为何值时，的面积等于？(3)当为何值时，的面积最大．【详解】（1）由题意得，，，∴；故答案为：，；（2）根据题意得：，解得：；∵点从出发