专题05 实际问题与一元二次方程（专项训练）（原卷版）

专题05实际问题与一元二次方程常考题型·精准突破题型1传播问题（重）题型2增长率问题（重）题型3与图形有关的问题（高频）题型4数字问题题型5营销问题（高频）题型6动态几何（难）题型7握手、循环赛问题综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1传播问题1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．(1)每轮传播中平均一人传染几个人？(2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由．3．（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染．(1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？◆题型2增长率问题4．（25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次．(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；(2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？5．（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米．(1)求每周路程的平均增长率；(2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？6．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人．(1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率；(2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？◆题型3与图形有关的问题7．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3．(1)种菜区的面积为,休闲区能接的雨水量为L（用含有x的代数式表示）；(2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值．8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏．(1)如图，当时，设长为米．请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围．若围成的菜地面积为平方米，求的长．(2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由．9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米．(1)如图①，当时，①___________米（用含的代数式表示）．②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长．(2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由．◆题型4数字问题10．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数．11．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数．【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和；【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数．12．（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题：(1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________；(2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决）◆题型5营销问题13．（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元．(1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式）(2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？14．（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元．(1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？(2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？15．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系．【素材呈现】素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶．素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个．素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润．【问题解决】(1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是个，每天的利润为元；(2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价；(3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由．◆题型6动态几何问题16．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为．(1)当时，求长．(2)当的面积为时，求t的值．(3)当时，求t的值．17．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒．(1)当时，的面积为__________；(2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由；18．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发．(1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．①经过几秒，的面积等于？②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由．(2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？◆题型7握手、循环赛问题19．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？20．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）列方程解决下列问题．2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？21．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：(1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？(2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明；综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（

）A． B．C． D．3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（

）A． B．C． D．二、填空题4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人．5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________．6．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________．三、解答题7．（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率．8．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为．(1)请用含的代数式表示横向通车道的长；(2)求该停车场的每个停车位的宽．9．（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个．(1)关于的函数解析式为；(2)若销售单价不低于元时，求最大销售量；(3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？10．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．11．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长；(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽；(3)能否围成面积为的花圃？请说明理由．12．（25-26八年级下·广西百色·期末）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息：素材1该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同．素材2该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个．【任务驱动】(1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率．(2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？13．