25.1 一元二次方程的概念（基础达标）（解析版）

25.1一元二次方程的概念知识点一一元二次方程的定义1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程是“只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，对各选项逐一判断即可得到答案．【详解】解：含有2个未知数，不是一元二次方程，选项A不符合题意；只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义，选项B符合题意；中是分式，该方程不是整式方程，选项C不符合题意；含有2个未知数，不是一元二次方程，选项D不符合题意．2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，A选项：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求；B选项：，含有两个未知数和，不符合要求；C选项：，含有两个未知数和，不符合要求；D选项：，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义．3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可．【详解】解：A、整理原方程，得，满足一元二次方程的所有条件，故此选项符合题意；B、原方程分母含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意；C、原方程未说明，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、原方程中未知数最高次数为，是一元一次方程，故此选项不符合题意．故选：A．4．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐个判断四个方程即可．【详解】解：①、，是一元二次方程；②、，当时方程不是一元二次方程；③、，是一元二次方程；④、，整理方程得：，不是一元二次方程；综上所述，一定是关于的一元二次方程的是①③，共2个．知识点二一元二次方程的一般形式1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据平方差公式将等号的左边去括号，再移项、整理即可得到结果．【详解】，去括号，得，移项，得．2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________【答案】【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，即．3．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程化成一般形式，得到，则的值为（

）A．3 B． C．7 D．【答案】A【分析】将方程化为一般形式，比较系数即可解答．【详解】解：，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，∴．

知识点三一元二次方程各项及系数的识别1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．【答案】3【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数．【详解】解：，∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为．2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的一元二次方程中，二次项系数是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中即为二次项系数，整理后即可得到结果【详解】解：原方程为移项得根据一元二次方程一般形式定义，二次项为，其系数为3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1，【答案】C【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可．【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，∵原方程为，移项整理得，∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为．4．（25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项；(2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项；(3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项；(4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项．【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可．【详解】（1）解：，，∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；（2）解：，，∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；（3）解：，∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；（4）解：，∴二次项系数为，一次项系数为，常数项．知识点四一元二次方程根的判断1．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意；D、即，不是一元二次方程，不符合题意．2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可．【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意；故选：D．3．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键．根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可．【详解】解：方程的两根分别为和，方程可表示为，展开得．故选：．4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（

）A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项【详解】∵方程中，选项A：二次项是，正确，不符合题意；选项B：一次项系数是，不是3，错误，符合题意；选项C：常数项是1，正确，不符合题意；选项D：当时，，是根，正确，不符合题意；故选B知识点五根据实际情境列一元二次方程1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________．【答案】【详解】根据题意，原价为118元，降价百分率为x，可得第一次降价后的售价为．第二次降价是在第一次降价后的价格基础上下降x，因此第二次降价后的售价为76，所以可列方程为．2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______．【答案】【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为，∴平行于墙的边长为，根据题意，可得．故答案为：．3．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________．【答案】【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系．设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程．【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意，得．故答案为．4．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈